5.2.1　基本初等函数的导数课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，通过“入木三分”辨析题（如f(x)=e^x导数是否唯一）导入，衔接导数定义，结合公式表、简单函数求导及切线问题例题，以探究总结为支架，帮助学生掌握公式应用脉络。 其亮点在于通过辨析思考培养数学思维，分层例题（从幂函数求导到曲线切线、公切线问题）发展推理能力，探究总结用数学语言表达规律。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助例题和巩固题提升教学效率。

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 要点　基本初等函数的导数公式 0 cos x －sin x axln a ex 第页 1．若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex，这种说法正确吗？ 答：不正确．由导数定义知若f(x)－g(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝g′(x)，故f(x)＝ex＋c(c为常数)． 2．函数y＝ex的导数与函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数有何关系？ 答：因为(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a，所以当a＝e时，(ex)′＝(ax)′. 返 回 课时学案 4 题型一　 简单函数的求导 例 1　求下列函数的导数： (1)y＝x12；　 第页 5 第页 (4)y＝log2x 【解析】　(5)∵y＝sin x，∴y′＝cos x. 第页 探究1 根据函数的解析式求函数的导数的方法： (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导、函数解析式能化简的先化简解析式，再选择公式求导． 第页 思考题1　求下列函数的导数： (1)y＝－3； 【解析】　(1)y′＝(－3)′＝0. (2)y＝2x； 【解析】　(2)y′＝(2x)′＝2xln 2. (3)y＝log5x； 第页 第页 题型二　 利用导数研究曲线的切线问题 例 2　过原点作曲线f(x)＝ex的切线，求切点坐标与切线方程．　 第页 11 探究2 求曲线的切线时应注意所给点是否为切点． 第页 思考题2　曲线y＝ln x在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点为________． (e，1) 第页 例 3　已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在曲线AOB上求一点P，使△ABP面积最大．　 【思路分析】　依题意可知，|AB|为定值，只要点P到AB的距离最大，S△ABP就最大，问题转化为在曲线AOB上求一点P到直线AB的距离最大，由导数的几何意义知，P为抛物线上与直线AB平行的切线的切点，求出点P的坐标即可． 第页 【解析】　由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP面积最大，只要点P到直线AB的距离最大， ∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点． 设P(x0，y0)，易知点P在x轴下方的抛物线上， 第页 探究3 利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路： (1)利用导数的几何意义求解曲线上的点到定直线的距离的最值问题，可以转化为曲线上过该点的与已知直线平行的切线问题． (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． 第页 思考题3　已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离． 【解析】　由图象易知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，抛物线在点P处的切线与直线l平行，那么它们的斜率相等，即切线的斜率为－1. 返 回 课后巩固 18 √ √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________． 第页 5．已知函数f(x)＝x3＋a，点A(0，0)在曲线y＝f(x)上． (1)求函数y＝f(x)的解析式； 解析　(1)当x＝0时，f(0)＝a＝0，所以f(x)＝x3. (2)求曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程； 解析　(2)由(1)可知f′(x)＝3x2， 则点(－1，－1)处的切线的斜率为k＝f′(－1)＝3， 所以切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 第页 (3)求曲线y＝f(x)过点E(2，0)的切线方程． 返 回 自助餐 25 第页 例 若直线y＝kx＋b既是曲线y＝g(x)＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝f(x)＝ex的切线，则k＝________.　 e或1 【解析】　设直线y＝kx＋b与函数f(x)＝ex的图象相切于点A(x1，y1)，与函数g(x)＝ln x＋2的图象相切于点B(x2，y2)，则y1＝ex1，y2＝ln x2＋2. 第页 第页 返 回 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝___ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 【思路分析】　对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)＝xeq \s\up20(\f(3,5))等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误．. 【解析】　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y＝eq \f(1,\r(x))； 【解析】　(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝(xeq \s\up20(－\f(1,2)))′＝－eq \f(1,2)xeq \s\up20(－\f(3,2)). (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up20(x)； 【解析】　(3)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up20(x)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x)·lneq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(x)·ln 3. 【解析】　(4)y′＝(log2x)′＝eq \f(1,xln 2). (5)y＝2sineq \f(x,2)coseq \f(x,2). 【解析】　(3)y′＝(log5x)′＝eq \f(1,xln 5). (4)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))； 【解析】　(4)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))) eq \s\up20(′)＝(sin x)′＝cos x. (5)y＝eq \f(1,x4). 【解析】　(5)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5. 【解析】　由f(x)＝ex，可得f′(x)＝ex. 设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为f′(x0)＝eeq \s\up20(x0)， 则eeq \s\up20(x0)＝eq \f(y0－0,x0－0)，又y0＝eeq \s\up20(x0)，得x0＝1. ∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex. 【解析】　y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，设切点为P(x0，y0)， 则切线的斜率为eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，∴x0＝e. ∴y0＝ln x0＝ln e＝1.∴切点为(e，1)． ∴y＝－2eq \r(x)，∴y′＝－eq \f(1,\r(x)). ∵kAB＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(1,\r(x0))＝eq \f(1,2)，x0＝4. 由y＝－2eq \r(x)，得y0＝－4，经检验，满足题意，∴P(4，－4)． 设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0＝－1，∴x0＝－eq \f(1,2)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))). 经检验，满足题意． 由点到直线的距离公式知点P到l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2)),\r(2))＝eq \f(7,8) eq \r(2). 1．【多选题】下列各式正确的是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq \f(π,3)　　　 B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－5x－6 解析　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝0，A错误；(cos x)′＝－sin x，B错误；(sin x)′＝cos x，C正确；(x－5)′＝－5x－6，D正确．故选CD. 2．已知曲线y＝eq \f(x2,4)的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．若直线y＝x＋a和曲线y＝ln x＋2相切，则实数a的值为(　　) A．eq \f(1,2) B．2 C．1 D．eq \f(3,2) 解析　因为y＝ln x＋2，所以y′＝eq \f(1,x)，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)＝1，即x0＝1.所以ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，即a＝1.故选C. 解析　f′(x)＝eq \f(1,xln a)，则f′(1)＝eq \f(1,ln a)＝－1，∴a＝eq \f(1,e). eq \f(1,e) 解析　(3)设切点坐标为(x0，xeq \o\al(3,0))，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)， 所以切线方程为y－xeq \o\al(3,0)＝3xeq \o\al(2,0)(x－x0)， 将点E(2，0)代入切线方程得－xeq \o\al(3,0)＝3xeq \o\al(2,0)(2－x0)，则2xeq \o\al(2,0)(x0－3)＝0，解得x0＝0或x0＝3， 所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0. 利用导数公式求解两曲线的公切线问题 解决公切线问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(f（x1）－g（x2）,x1－x2). 因为f′(x)＝ex，g′(x)＝eq \f(1,x)，则k＝ex1＝eq \f(1,x2). 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝ex1，,y2＝ln x2＋2，,ex1＝\f(1,x2)，,\f(y1－y2,x1－x2)＝\f(1,x2)，))则eq \f(ex1－（ln x2＋2）,x1－x2)＝eq \f(1,x2). 由ex1＝eq \f(1,x2)，可得x1＝－ln x2， 代入上式可得eq \f(\f(1,x2)－（ln x2＋2）,－ln x2－x2)＝eq \f(1,x2)， 化简可得x2ln x2＋x2－ln x2－1＝0， 即(x2－1)(ln x2＋1)＝0， 解得x2＝1或x2＝eq \f(1,e).代入k＝eq \f(1,x2)，可得k＝1或k＝e. 思考题　已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝ln x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线与曲线y＝f(x)切于点(x1，y1)，求xeq \o\al(2,1)－ln(2x1)的值． 【解析】　设公切线与曲线y＝g(x)＝ln x切于(x2，ln x2)，由f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)，则曲线y＝f(x)在(x1，y1)处的切线方程为y－(xeq \o\al(2,1)＋2)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq \o\al(2,1)＋2，曲线y＝g(x)在(x2，ln x2)处的切线方程为y＝eq \f(x,x2)＋ln x2－1. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(1,x2)，,－x\o\al(2,1)＋2＝ln x2－1.))得xeq \o\al(2,1)－ln(2x1)＝3. $