5.2.1 基本初等函数的导数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．2　导数的运算 5．2．1　基本初等函数的导数 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（十五） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 0 cos x －sin x axln a 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 ex 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (十五) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq \f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq \r(x)． [问题1]　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ 答：∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq \f(c－c,Δx)＝0， [问题2]　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ 答：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x， (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，(5)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))． [问题3]　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ 答：∵(2)(x)′＝1·x1－1， (3)(x2)′＝2·x2－1， ►知识填空 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈Q*且α≠0) f′(x)＝___________ f(x)＝sin x f′(x)＝__________ f(x)＝cos x f′(x)＝____________ f(x)＝ax f′(x)＝_________(a>0，且a≠1) αxα－1 原函数 导函数 f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax f′(x)＝eq \f(1,xln a) (a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3)))′＝cos eq \f(π,3)．(　　) (2)因为(ln x)′＝eq \f(1,x)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝ln x．(　　) (3)若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1．(　　) (4)若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A．eq \f(1,10) B．10 C．10ln 10 D．eq \f(1,10ln 10) 答案：C 4．已知f(x)＝cos x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝__________． 答案：－eq \f(\r(3),2) 题型一　利用导数公式求函数的导数 [例 1]　(1)y＝x12；(2)y＝eq \f(1,x4)；(3)y＝eq \r(5,x3)；(4)y＝3x；(5)y＝log5x． 解：(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5)； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝eq \f(1,xln 5)． (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．　　 1．f(x)＝ln x在x＝e处的导数值为(　　) A．0　　　　　　　　 B．eq \f(1,e) C．1 D．e 解析：选B　∵f(x)＝ln x， ∴f′(x)＝eq \f(1,x)．∴f′(e)＝eq \f(1,e)． 2．求下列函数的导数： (1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)；(2)y＝xeq \r(x)；(3)y＝logeq \s\do9(\f(1,3))x． 解：(1)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)lneq \f(1,2) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)ln2． 题型二　求函数在某点处的导数 [例 2]　质点的运动方程是s＝sin t， (1)求质点在t＝eq \f(π,3)时的速度； (2)求质点运动的加速度． 解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)． 即质点在t＝eq \f(π,3)时的速度为eq \f(1,2)． (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． (1)速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． (2)求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．　　 (1)求函数f(x)＝eq \f(1,\r(3,x))在(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))处的导数． 解： ＝－eq \f(1,3\r(3,x4))， ∴f′(1)＝－eq \f(1,3\r(3,1))＝－eq \f(1,3)． (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)． 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程 [例 3]　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 又因为直线PQ的斜率为k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，而切线平行于直线PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝eq \f(1,2)， 所以切点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))． 所以所求的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)， 即4x－4y－1＝0． 求曲线方程或切线方程的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．　　 1．(变结论)在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由． 解：假设存在与直线PQ垂直的切线， 因为PQ的斜率为k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1， 令2x0′＝－1，则x0′＝－eq \f(1,2)，y0′＝eq \f(1,4)， 切线方程为y－eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0． 2．函数y＝eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线方程是(　　) A．y＝4x　　　　　 B．y＝－4x＋4 C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4 解析：选B　∵y′＝－eq \f(1,x2)， ∴该切线方程为y－2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))， 即y＝－4x＋4． 3．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解：设切点为(x0，lnx0)， 由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x)． 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1． 所以切点为(1，0)． 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1． [课堂小结] 1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法． 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程． $$