25.2.3降次——解一元二次方程 因式分解 法同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章“因式分解法”同步练习，分“基础夯实·思维提升”两层，共19题100分，45分钟完成，以梯度化设计巩固因式分解法应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|提公因式法、平方差公式等单一知识点|选择题1-6直接考查步骤，填空题9-13强化基本运算，解答题15-16巩固常规解法| |思维提升|因式分解法综合应用及易错分析|选择题7结合几何情境，解答题17-19涉及错解辨析、公式逆用，培养批判性思维与应用意识|

25.2.3 因式分解法 · 同步练习 x² 人教版 · 九年级数学上册 第25章 · 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 同 步 练 习 · 满分：100分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1．用因式分解法解方程 3x(x−2)=5(x−2)，移项并提取公因式后，正确的是（ ） A．(x−2)(3x−5)=0 B．(x−2)(3x+5)=0 C．(x+2)(3x−5)=0 D．x(3x−7)=0 2．方程 4x²−25=0 的解是（ ） A．x= B．x=− C．x= 或 x=− D．x=5 或 x=−5 3．将方程 (x+1)²−16=0 的左边因式分解，正确的是（ ） A．(x−3)(x+5) B．(x−4)(x+4) C．(x−5)(x+3) D．(x+1)(x−16) 4．由 (2x−3)(x+4)=0 得到下一步，正确的是（ ） A．2x−3=0 且 x+4=0 B．2x−3=0 或 x+4=0 C．x=3 或 x=−4 D．x= 且 x=−4 5．关于 x 的方程 x²+(k−5)x−5k=0 可化为 (x−5)(x+k)=0。若一个根为 −8，则 k 的值为（ ） A．3 B．5 C．8 D．13 6．小乐解方程 (x+1)(x−6)=x+1 时，直接两边同除以 x+1，得到 x=7。下列结论正确的是（ ） A．原方程只有根 7 B．原方程的根为 −1，7 C．原方程只有根 −1 D．原方程无实数根 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB 的长是方程 x²−11x+24=0 的较大根，AC=6，则 △ABC 的面积为（ ） A．9 B．18 C．24 D．48 8．方程 (x−2)²=5(x−2) 的解是（ ） A．x=2 B．x=7 C．x=2 或 x=7 D．x=−2 或 x=7 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9．方程 x²−11x+28=0 的根是________________。 10．方程 (2x+5)²−9=0 的根是________________。 11．方程 x²=6x 的根是________________。 12．方程 (x+4)(x+k)=0 的一个根为 −7，则 k=________。 13．方程 (x−3)²−4(x−3)=0 的根是________________。 14．方程 (x−3)(2x+1)=5(x−3) 的根是________________。 三、解答题（共5题，共58分） 15．（10分） 用因式分解法解下列方程。 （1）x²−13x+36=0；（5分） （2）(2x−1)²−25=0。（5分） 16．（10分） 观察方程的结构，用因式分解法求解。 （1）(x+2)²−5(x+2)+6=0；（5分） （2）(x−4)(x+2)=3(x−4)。（5分） 17．（10分） 小琪解方程 (2x+3)(x−2)=2x+3 的过程如下： 解：方程两边同时除以 2x+3，得 x−2=1， 所以 x=3。 （1）指出上述解法的问题，并说明理由；（4分） （2）写出正确的解答过程。（6分） 18．（14分） 阅读材料：因式分解法的依据是“若两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0”。结合平方差公式，可以把某些方程先化成两个一次因式的乘积等于0，再分别求解。 （1）用因式分解法解方程 (2x−1)²−(x+2)²=0；（5分） （2）不用直接开平方法，用因式分解法解方程 (x−1)²=9；（4分） （3）若 x=7 是方程 (x−m)²−16=0 的一个根，求 m 的值。（5分） 19．（14分） 已知关于 x 的一元二次方程 x²+px+q=0 可以写成 (x−2)(x−5)=0。 （1）求 p，q 的值；（4分） （2）写出原方程的两个根，并说明依据；（4分） （3）利用（1）的结果，用因式分解法解方程 x²+px+q−4=0。（6分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．A　2．C　3．A　4．B　5．C　6．B　7．C　8．C 1．答案：A 解析：将右边移到左边，得 3x(x−2)−5(x−2)=0。左边含有公因式 x−2，提取后得 (x−2)(3x−5)=0。故选 A。 2．答案：C 解析：4x²−25=(2x−5)(2x+5)。由 (2x−5)(2x+5)=0，得 2x−5=0 或 2x+5=0，所以 x= 或 x=−。故选 C。 3．答案：A 解析：(x+1)²−16=[(x+1)−4][(x+1)+4]=(x−3)(x+5)。故选 A。 4．答案：B 解析：根据零乘积性质，两个因式的积为0时，应有 2x−3=0 或 x+4=0，而不是两个因式同时为0。故选 B。 5．答案：C 解析：(x−5)(x+k)=0 的两个根为 5 和 −k。已知一个根为 −8，而 5≠−8，所以 −k=−8，得 k=8。故选 C。 6．答案：B 解析：不能在没有说明 x+1≠0 的情况下直接约去 x+1。原方程移项得 (x+1)(x−6)−(x+1)=0，即 (x+1)(x−7)=0，所以 x=−1 或 x=7。故选 B。 7．答案：C 解析：x²−11x+24=(x−3)(x−8)，所以方程的根为 3，8，较大根为 8，即 AB=8。又 AC=6，且 ∠A=90°，所以 S△ABC=×8×6=24。故选 C。 8．答案：C 解析：移项得 (x−2)²−5(x−2)=0，提取公因式 x−2，得 (x−2)(x−7)=0，所以 x=2 或 x=7。故选 C。 二、填空题（详细解析） 9．答案：x=4 或 x=7 解析：x²−11x+28=(x−4)(x−7)，所以 x−4=0 或 x−7=0，得 x=4 或 x=7。 10．答案：x=−1 或 x=−4 解析：(2x+5)²−9=[(2x+5)−3][(2x+5)+3]=(2x+2)(2x+8)。所以 2x+2=0 或 2x+8=0，得 x=−1 或 x=−4。 11．答案：x=0 或 x=6 解析：x²=6x，移项得 x²−6x=0，即 x(x−6)=0，所以 x=0 或 x=6。 12．答案：7 解析：(x+4)(x+k)=0 的两个根为 −4 和 −k。因为 −7≠−4，所以 −k=−7，得 k=7。 13．答案：x=3 或 x=7 解析：(x−3)²−4(x−3)=0，提取公因式 x−3，得 (x−3)[(x−3)−4]=0，即 (x−3)(x−7)=0，所以 x=3 或 x=7。 14．答案：x=2 或 x=3 解析：移项得 (x−3)(2x+1)−5(x−3)=0，提取公因式 x−3，得 (x−3)(2x−4)=0，所以 x=3 或 x=2。 三、解答题（详细解答） 15．解： （1）x²−13x+36=0。 左边因式分解：x²−13x+36=(x−4)(x−9)，所以 (x−4)(x−9)=0。 因此 x−4=0 或 x−9=0，故 x=4 或 x=9。 （2）(2x−1)²−25=0。 利用平方差公式，得 [(2x−1)−5][(2x−1)+5]=0，即 (2x−6)(2x+4)=0。 所以 2x−6=0 或 2x+4=0，故 x=3 或 x=−2。 方法点拨：能直接提公因式或使用平方差、完全平方公式进行因式分解时，优先把方程化为“两个因式的积等于0”。 16．解： （1）把 x+2 看作一个整体。 (x+2)²−5(x+2)+6=[(x+2)−2][(x+2)−3]=x(x−1)。 所以 x(x−1)=0，得 x=0 或 x=1。 （2）移项得 (x−4)(x+2)−3(x−4)=0。 提取公因式 x−4，得 (x−4)[(x+2)−3]=0，即 (x−4)(x−1)=0。 所以 x=4 或 x=1。 方法点拨：当方程中重复出现相同的式子时，可以先把它看作一个整体；当等号两边有相同因式时，应先移项再提公因式，避免直接约分造成丢根。 17．解： （1）错误在于直接把方程两边同时除以 2x+3。因为不能预先确定 2x+3≠0；当 2x+3=0 时，x=− 确实是原方程的一个根，直接约去会丢失这个根。 （2）正确过程如下： (2x+3)(x−2)=2x+3，移项得 (2x+3)(x−2)−(2x+3)=0。 提取公因式 2x+3，得 (2x+3)(x−3)=0。 所以 2x+3=0 或 x−3=0，故 x=− 或 x=3。 18．解： （1）(2x−1)²−(x+2)²=0。 利用平方差公式：[(2x−1)−(x+2)][(2x−1)+(x+2)]=0。 整理得 (x−3)(3x+1)=0，所以 x=3 或 x=−。 （2）(x−1)²=9，移项得 (x−1)²−9=0。 因式分解得 [(x−1)−3][(x−1)+3]=0，即 (x−4)(x+2)=0。 所以 x=4 或 x=−2。 （3）因为 x=7 是方程 (x−m)²−16=0 的一个根，把 x=7 代入，得 (7−m)²−16=0。 因式分解得 [(7−m)−4][(7−m)+4]=0，即 (3−m)(11−m)=0。 所以 m=3 或 m=11。 19．解： （1）由 (x−2)(x−5)=x²−7x+10。 与 x²+px+q 比较，得 p=−7，q=10。 （2）由 (x−2)(x−5)=0，根据零乘积性质，x−2=0 或 x−5=0，所以原方程的两个根为 x=2，x=5。 （3）由（1）知 p=−7，q=10。原方程化为 x²−7x+6=0。 因式分解得 (x−1)(x−6)=0，所以 x=1 或 x=6。 方法点拨：本题只用到了多项式展开、因式分解和零乘积性质，没有使用根与系数的关系。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $