13.3.2三角形的外角（分层作业，6大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“三角形的外角”为核心，通过A、B、C三层分级设计，实现从定义理解到综合应用再到思维探究的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|外角定义与性质基础应用|以选择、填空题为主，强化抽象能力| |B组（掌握层级）|外角性质与平行线、三角板、角平分线的综合|结合生活情境（如三角板摆放），培养推理意识| |C组（运用层级）|外角性质的探究性问题|通过多问探究题，发展创新意识|

分层作业 13.3.2 三角形的外角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的外角定义 题型02 由三角形的外角性质求角的度数 B组 能力进阶 题型01 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 题型02 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 题型03 三角形的外角性质与角平分线的综合 C组 思维拔高 题型 与三角形的外角性质有关的探究问题 三角形的外角定义题型01 1．下列命题中为真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂直于同一直线的两直线互相垂直 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和对顶角进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，原命题是真命题，本选项符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、垂直于同一直线的两直线互相平行，原命题是假命题，本选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：A． 2．关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的基本概念，需逐一分析各选项的正确性。 【详解】A选项：每个顶点处有2个外角（互为对顶角），故三角形共有6个外角，而非3个，选项A错误，符合题意. B选项：每个顶点处相邻两边延长形成的两个角均为外角，因此每个顶点处确实有两个外角，选项B正确，不符合题意. C选项：外角的定义是与相邻内角构成邻补角（即两角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为），选项C正确，不符合题意. D选项：三角形共有个顶点，每个顶点处有个外角，总计个外角，选项D正确，不符合题意. 故答案为：A. 由三角形的外角性质求角的度数题型02 1．如图，在中，是边上一点，连接．若，，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和可求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求的度数．本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】解：，， ， ，是的外角， ． 故选：C． 2．如图，已知，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外角的定义及性质解答即可． 【详解】解：∵在，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 3．如图，是的外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵，， ． 故选：C． 4．下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 5．（24-25七年级下·广东东营·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25七年级下·上海·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 7．如图，线段两两相交，连接，则的度数为___________． 【答案】##360度 【分析】本题考查三角形的外角和三角形的外角性质，数量掌握三角形的外角性质是解题的关键，根据外角性质得，再利用三角形的外角和定理即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为______． 【答案】14° 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质解答即可. 【详解】解：如下图： ​ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD， ∴∠3=∠2=44°， ∴∠1=44°﹣30°=14°. 故答案为14°． 【点睛】本题主要考查矩形、平行线的性质、三角形外角的性质，关键是求出∠3=∠2=44°，然后再求∠1的大小. 由三角形的外角性质解决平行线中的问题题型01 1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】A 【详解】∵AB∥CD，∠A=70°， ∴∠1=∠A=70°， ∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°， ∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°． 故选A． 2．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出的度数．由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图， ， ， ， ． 故选：C 3．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点E、F均在上，与相交于点P，点P在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25七年级·浙江义乌·月考）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答． 【详解】解：延长，交于点M，如图 ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵，， ∴， ∴； ④∵， ∴， ∴； 可以判断的有①③④． 故选：A． 6．如图所示，直线的两边分别与直线m，n相交，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用三角形外角的性质求出的度数，根据对顶角相等求出，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图 ∵； ∴； ∴； ∵， ∴. 故选C． 7．如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】如图，根据对顶角相等可得出∠2=∠3，再根据两直线平行得出∠1+∠2=60°，再根据∠1=∠2求出∠2的度数，最后由三角形外角的性质得出结论. 【详解】如图所示， ∵∠2与∠3是对顶角 ∴∠2=∠3 ∵MN//AB ∵∠1+∠3=60°， ∴∠1+∠2=60°， ∵∠1=∠2 ∴∠2=30° ∵∠2+∠DCA=60° ∴∠DCA=60°-∠2=60°-30°=30° 故选：A. 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠2=30°是解决此题的关键. 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键．先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， ， 故选：D． 由三角形的外角性质求三角板中角的度数题型02 1．将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据，，求得，再根据三角形外角的性质即可求解，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 是的一个外角， ， 故选A． 2．（2025·安徽淮南·模拟）已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·河南周口·模拟）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 由三角形外角的性质以及对顶角的性质可得，如图：过F作，则，易得；再根据余角的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由三角形的外角的性质可得：，即； 由对顶角相等可得：， 如图：过F作，则， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选C． 4．将一副三角尺按如图方式进行摆放，则的度数为______________． 【答案】##165度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算．根据三角板中角度的特点得到，，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是______． 【答案】75° 【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合， ∴AB//CD， ∴∠3=∠4=45°， ∴∠2=∠3=45°， ∵∠B=30°， ∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°， 故答案为：75° 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质． 三角形的外角性质与角平分线的综合题型03 1．如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：中，，， ， 是的平分线， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，角平分线的定义等，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，的平分线交于点是外角与外角平分线的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义．根据三角形的内角和定理，可得到，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 4．以下是某数学兴趣小组群内进行测试的聊天记录，组长：任意说出一个与三角形有关的结论．嘉嘉：三角形的中线、高、角平分线都是线段．琪琪：三角形的三条角平分线交于一点．亮亮：任意三角形的外角和都是360°．明明：三角形的外角大于任何一个内角．其中回答的结论错误的人是（   ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】D 【分析】本题主要考查了与三角形有关的性质与概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 根据三角形中线，角平分线，高的定义即可判断选项A、B，根据三角形内角和外角的定义即可判断选项C、D. 【详解】解：∵三角形的中线、角平分线、高都是线段， ∴嘉嘉结论正确，选项A不符合题意； ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴琪琪结论正确，选项B不符合题意； ∵任意三角形的外角和都是360°， ∴亮亮结论正确，选项C不符合题意； ∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，但不一定大于相邻的内角， ∴明明结论错误，选项D符合题意． 故选：D． 5．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】根据三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解：延长AC交BD于点E， 设∠ABP＝α， ∵BP平分∠ABD， ∴∠ABE＝2α， ∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°， ∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠ACD＝α+40°， ∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°， ∠AFP＝∠P+∠ACP ∴α+60°＝∠P+α+40°， ∴∠P＝20°， 故选B． 【点睛】此题考查三角形，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型． 6．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则_____________度． 【答案】## 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】解：和的平分线交于点， ， ， 同理，， ， ， 当时， 故答案为：． 7．如图，在ABC中， A=80， ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1； A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；……； A7BC与A7CD的平分线相交于点A8，得A8，则A8的度数为_________. . 【答案】 【分析】利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A1=∠A，再依此类推得，∠A2= ∠A，……，∠A8= ∠A，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得： ∠ACD=∠A+∠ABC. 又∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1， ∴ ∴∠A1=∠A 依此类推得，∠A2= ∠A，……，∠A8= ∠A== 故答案为. 【点睛】本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系.. 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 与三角形的外角性质有关的探究问题题型 1．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，根据是的外角求解； （2）根据，可得，再根据是的外角可得，即； （3）设，则，通过三角形的内角和定理得到，由三角形角平分线的定义及得到，求出的值再通过三角形的内角和定理求． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ， ， 是的外角， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， 是的外角， ， ； （3）解：， 设，则， ， ，， 又， ， 平分， ， ， ， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）； （3） 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 3．小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣.她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角.小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ ①尝试探究： （1）如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：∠l+∠2=180°+∠A 理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角 ∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4 ∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4) ∵三角形的内角和为180° ∴∠3+∠4=180°-∠A ∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题. ②初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=________； （3）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系？________________.（直接填答案） ③拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.） 【答案】（2）50° （3）∠A+2∠P=180° （4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°， 理由如下： 如图，延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知，∠Q+2∠P=180°． 由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠Q，∴(∠1+∠2-180°)+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°． 【详解】试题分析：（2）根据（1）即可得出结论； （3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，再由三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论； （4）延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知：∠Q+2∠P=180°．由（1）可知：∠1+∠2=180°+∠Q，整理即可得出结论． 试题解析：解：（2）由（1）知：∠l+∠2=180°+∠C，∴∠2－∠C=180°－∠1=180°－130°=50°； （3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A．∵∠P=180°－(∠PBC+∠PCB)=180°－（∠DBC+∠ECB）=180°－（180°+∠A）=90°－∠A，∴∠A+2∠P=180°； （4） 略 点睛：本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质．熟记有关定理结论是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 【答案】（1）①75°； ②． 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴； （2）如图即为所求： AI与之间的数量关系为：． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1）①，根据等腰三角形的性质得，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形外角的性质得，可得答案； 对于②，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得 ，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质得，最后整理得出答案； 对于（2），先画出图形，根据题意得 ，再设，表示出，，及，即可表示，，最后根据x相等得出结论． 【详解】解：（1）①∵在中，, ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴； ② 略 （2）∵平分，， ∴． 设，则， ∴，， ∴，， 即， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.3.2 三角形的外角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形的外角定义 题型02 由三角形的外角性质求角的度数 B组 能力进阶 题型01 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 题型02 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 题型03 三角形的外角性质与角平分线的综合 C组 思维拔高 题型 与三角形的外角性质有关的探究问题 三角形的外角定义题型01 1．下列命题中为真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂直于同一直线的两直线互相垂直 D．相等的角是对顶角 2．关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 由三角形的外角性质求角的度数题型02 1．如图，在中，是边上一点，连接．若，，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东东营·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，线段两两相交，连接，则的度数为___________． 8．如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为______． 由三角形的外角性质解决平行线中的问题题型01 1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A．30° B．40° C．60° D．70° 2．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点E、F均在上，与相交于点P，点P在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级·浙江义乌·月考）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 6．如图所示，直线的两边分别与直线m，n相交，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 由三角形的外角性质求三角板中角的度数题型02 1．将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮南·模拟）已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·模拟）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．将一副三角尺按如图方式进行摆放，则的度数为______________． 5．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是______． 三角形的外角性质与角平分线的综合题型03 1．如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，的平分线交于点是外角与外角平分线的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则    ）． A． B． C． D． 4．以下是某数学兴趣小组群内进行测试的聊天记录，组长：任意说出一个与三角形有关的结论．嘉嘉：三角形的中线、高、角平分线都是线段．琪琪：三角形的三条角平分线交于一点．亮亮：任意三角形的外角和都是360°．明明：三角形的外角大于任何一个内角．其中回答的结论错误的人是（   ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 5．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则_____________度． 7．如图，在ABC中， A=80， ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1； A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；……； A7BC与A7CD的平分线相交于点A8，得A8，则A8的度数为_________. . 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 与三角形的外角性质有关的探究问题题型 1．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 2．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 3．小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣.她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角.小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ ①尝试探究： （1）如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：∠l+∠2=180°+∠A 理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角 ∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4 ∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4) ∵三角形的内角和为180° ∴∠3+∠4=180°-∠A ∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题. ②初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=________； （3）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系？________________.（直接填答案） ③拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.） 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $