1.1三角形内角和定理（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

1.1三角形内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明 1．（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广西防城港·月考）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 4．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：画图写出已知、求证及证明过程） 【答案】见解析 【分析】画图并写出已知，求证，过点作，由平行线的性质得，，结合平角的定义即可证三角形三个内角的和等于．本题主要考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握辅助线的作法和平角的定义是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 题型二 利用三角形内角和定理进行简单计算 1．（25-26八年级上·天津宁河·月考）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等求出，再利用三角形的内角和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． 在中，， ∴． 故选A． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键． 首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得的度数即可． 【详解】解：如解图，设与交于点E， 根据题意可知，，，， ∴， 在△AEB中，， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方向角、三角形内角和定理，根据方向角得到三角形两个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在处测得灯塔位于北偏东， ， 在处测得灯塔位于北偏东， ， 在中，， . 故选：A 5．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质可得． 本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和等于180度，结合角度比设未知数，列方程求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 7．（浙江省温州市六校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题）在中，当时，这个三角形是 （填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设，则，，列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则，， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 2．（20-21七年级上·广西桂林·月考）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东东莞·月考）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ，即， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定，作即可． （2）根据平行线的性质可得，，在中，根据三角形内角和定理求出，则可得，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，以及尺规作图—作一个角等于已知角．熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．由，求得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，平分交于点D， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可求，利用三角形内角和定理可求，因为是的平分线，则可求，再求出后两角相减即可求解题目； （2）由已知可证，因为，则，又因为，则可证． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ， 又∵平分， ， ， ， ， ∴ ； （2）证明；∵ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴， 在与中， ∴ 7．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，D是的中点，平分，，交的延长线于点F． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，则可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数． （2）先求出的面积，由D是的中点可得的面积是面积的一半，进而可求得的面积． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BE平分， ∴． ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∴D是的中点， ∴． 8．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 9．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型三 三角形折叠中的角度问题 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（    ） A．70°． B．60° C．55° D．40° 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理；由可得，再由折叠的性质可得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 3．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿着折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且点恰好在线段上，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形折叠的性质（对应角相等）和平角的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合平角关系建立等式求解． 根据折叠性质得，结合平角，设，建立含的等式，求解得的表达式． 【详解】解：由折叠性质可知，且 在上 ，且， 设 又长方形中 且 故答案为：． 6．（17-18七年级下·上海普陀·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 题型四 利用三角形内角和定理进行证明 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在上，点E在上，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，运用内角和定理把、表示出来是关键． 在中，，在中， ，由可证明． 【详解】解：在中，， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．若，，，求证：为直角三角形． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角定理，准确分析计算是解题的关键． 根据已知条件得到，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理得到，再根据内角和定理求证即可得解． 【详解】解：，（已知）， （三角形内角和等于）， （等式的性质）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ， 在中， ， 为直角三角形． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，交于点，点为上一点，，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理、平行线的性质，结合图形找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用证明，得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的定义，通过三角形内角和定理推导垂直是解题关键． （1）通过“垂直得直角”推出，进而推出，再结合已知边相等，用证明，进而得到． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，推导，进而证明． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， 即． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质； （1）先根据三角形的高的定义可得，进而证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （3）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． 在与中，， ． （2）证明：， ． ， ， ． （3）解：， ． ， ， ． 题型一 三角形内角和定理的综合应用 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为 ； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则 ． 【答案】 2 /46度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，可得，再求得，由此可解； （2）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中， ， ∴的度数为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，可得，根据，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可证结论成立； (2)根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，根据和垂直定义可得； (3)设，则，根据平行线的性质可知，由(2)可知，可得关于的方程，解方程可以求出，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，是的外角， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明 1．（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 3．（25-26八年级上·广西防城港·月考）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 4．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：画图写出已知、求证及证明过程） 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 6．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 题型二 利用三角形内角和定理进行简单计算 1．（25-26八年级上·天津宁河·月考）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（浙江省温州市六校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题）在中，当时，这个三角形是 （填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 8．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级上·广西桂林·月考）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·广东东莞·月考）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，若，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 7．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，D是的中点，平分，，交的延长线于点F． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的面积． 8．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 9．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 题型三 三角形折叠中的角度问题 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（    ） A．70°． B．60° C．55° D．40° 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿着折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且点恰好在线段上，若，则 ．（用含的式子表示） 6．（17-18七年级下·上海普陀·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 9．（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 题型四 利用三角形内角和定理进行证明 1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在上，点E在上，．请说明的理由． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．若，，，求证：为直角三角形． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，点在的延长线上，，过点作，交于点，点为上一点，，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 题型一 三角形内角和定理的综合应用 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为 ； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则 ． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $