第26章 培优专练4：本章考试热点题型-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学培优训练课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、解析式及实际应用，通过“设计高速公路隧道”“动点问题中的正方形面积”等情境，将抛物线建模、分段函数分析等核心内容串联，帮助学生构建完整的二次函数知识体系。 其亮点在于以真实情境驱动复习，如隧道设计中结合货车尺寸确定抛物线参数，培养学生的抽象能力与模型意识。通过分层问题设计，从基础计算到延伸探究，发展数学推理与创新意识，助力学生巩固知识，教师可精准实施分层教学。

数学 九年级 全一册 配人教版 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十六章　二次函数 培优专练4：本章考试热点题型 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 综合与实践 主题：设计高速公路的隧道 情境素材 素材1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶． 素材2 据调查，一般的大型货车宽2.4 m，货车的总高度从地面算起不超过4 m．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于0.55 m． 数学 九年级 全一册 配人教版 素材3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图P26－4－1），每条车道的宽为x m（3.5≤x≤3.75），车道两端（M，N）与隧道两侧的距离均为1 m． 图P26－4－1 问题解决 【问题1】 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围 【问题2】 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分AA1=9 m，AB=2.95 m， 求抛物线的解析式 数学 九年级 全一册 配人教版 解：【问题1】∵每条车道的宽为x m （3.5≤x≤3.75），AM=A1N=1 m， ∴MN=2x m，AA1=AM＋A1N＋MN= （2x＋2）m． ∵3.5≤x≤3.75，∴9≤2x＋2≤9.5. ∴将要修建的隧道宽度（AA1）的合 理范围为9 m≤AA1≤9.5 m． 【问题2】如答图P26－4－1，取 AA1中点为原点O，以AA1为x轴，建 立平面直角坐标系，过点N作 NP⊥AA1交抛物线于点P． 答图P26－4－1 数学 九年级 全一册 配人教版 　设抛物线的解析式为y=ax2＋c．∵AA1=9 m， ∴OA1=AA1=×9=4.5（m），ON=4.5－1=3.5（m）． 又∵A1B1=AB=2.95 m，∴B1（4.5，2.95）． 由题意，得NP=4＋0.55=4.55（m）． ∴P（3.5，4.55）． 将点B1（4.5，2.95）， P（3.5，4.55）代入y=ax2＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y=－x2＋7. 答图P26－4－1 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 综合与实践 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中， ∠C=90°，D为AC上一点，CD=，动点P以每秒1个单位长度的 速度从点C出发，在△ABC边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时 停止，以DP为边作正方形DPEF． 设点P的运动时间为t s，正方 形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）如图P26－4－2①，当点P由点 C运动到点B时， ①当t=1时，S= ⁠； ②S关于t的函数解析式为 ⁠； 3 S=t2＋2 　图P26－4－2 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函 数，并绘制成如图P26－4－2②所示的图象． 请根据图象信息， 求出S关于t的函数解析式及线段AB的长；（要求写出自变量t的取 值范围） 　图P26－4－2 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（2）由图②可知，当点P运动到点B处时， S=DP2=6， ∴t2＋2=6.解得t=2. ∴当t=2时，S=6. 由图可知，二次函数的顶点坐标为（4，2）， 设S关于t的函数解析式为S=a（t－4）2＋2. 将点（2，6）代入上式，得4a＋2=6. 解得a=1. 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴S=（t－4）2＋2=t2－8t＋18. 令S=18，得t2－8t＋18=18.解得t1=8，t2=0（舍去）． ∴AB=8－2=6. ∴S关于t的函数解析式为S=t2－8t＋18（2≤t≤8）． 数学 九年级 全一册 配人教版 【延伸探究】 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的 面积均相等． 　图P26－4－2 ①t1＋t2= ⁠； ②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积． 4 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（3）①【提示】由（1）（2）可 得，S= 其图象如答图P26－4－2所示． 由图象可知，0≤t≤2的图象与2≤t≤4的 图象关于直线x=2对称，∴=2，即t1＋t2=4. ②由二次函数图象的对称性可知， =4，∴t2＋t3=8.由①知，t1＋t2=4， ∴t3－t1=4. 又∵t3=4t1，∴t1=． ∴此时正方形DPEF的面积S=t2＋2=2＋2=． 　答图P26－4－2 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 数学 九年级 全一册 配人教版 $