第25章 培优专练3：本章考试热点题型-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学培优训练课件（人教版·新教材）

该初中数学课件系统梳理了第二十五章一元二次方程的概念、解法及应用，通过综合与实践（如正方体打孔表面积计算）和综合探究（如矩形周长面积关系）等问题，将代数运算与几何直观结合，构建知识内在逻辑网络。 其亮点在于采用“具体情境-抽象建模-拓展迁移”的复习策略，如正方体打孔问题从边长1cm到参数a cm的探究，矩形存在性从特殊数值到一般字母的推理，培养学生的空间观念（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。分层设计让学生逐步提升，教师可借此精准把握学情，有效巩固知识。

数学 九年级 全一册 配人教版 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十五章　一元二次方程 培优专练3：本章考试热点题型 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （综合与实践）实验与操作： 小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4 cm的正方体． （1）如图P25－3－1①，在正方体顶面中心位置处从上到下打一 个边长为1 cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积 为 cm2； 110 图P25－3－1 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）在（1）的操作基础上，再在正面中心位置从前到后打一个 边长为1 cm的正方形通孔（如图P25－3－1②），那么打孔后的橡 皮泥块的表面积为 cm2； 118 图P25－3－1 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）如果把（1）（2）中的边长为1 cm的正方形通孔均改为 边长为a cm（a≠1）的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的 橡皮泥块的表面积为118 cm2？若能，求出a的值；若不能，请 说明理由． 图P25－3－1 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（3）能． 设打第一个通孔后的表面积为S1，打了两个通孔后的表面积为S2. 则S1=96－2a2＋4a×4，S2=S1－4a2＋4a×4－4a2， ∴96－2a2＋16a－8a2＋16a=118. 整理，得5a2－16a＋11=0. 解得a1=，a2=1. ∵a≠1且a＜4，∴a=． ∴当边长改为 cm时，打了两个通孔后的橡皮泥块的表面积为118 cm2． 图P25－3－1 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （综合探究）【问题】任意给定一个矩形A，是否存在另一 个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分 之一？ 数学 九年级 全一册 配人教版 【探究】 （1）当已知矩形A的边长分别3和1时，小明是这样研究的： 设所求矩形的两边长分别是x和y． 由题意，得方程组 消去y，化简得3x2－4x＋3=0. ∵Δ=（－4）2－4×3×3=－20＜0， ∴此方程 ⁠． ∴满足要求的矩形B ⁠．（填“存在”或“不存在”） 【拓展】 无实数根 不存在 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若已知矩形A的边长分别为10和1，请仿照小明的方法研究 是否存在满足要求的矩形B． 若存在，求矩形B的长和宽；若不存 在，请说明理由； 解：（2）存在． 设矩形B的长为x，宽为y． 依题意，得 消去y，得3x2－11x＋10=0. ∵Δ=（－11）2－4×3×10=1＞0， ∴x==2，y=－2=． ∴存在满足要求的矩形B，它的长为2，宽为． 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）如果矩形A的边长为a和b，请你研究满足什么条件时，矩形 B存在？并求此时矩形B的长． 解：（3）设此时矩形B的长为x，宽为y． 依题意，得 消去y，得3x2－（a＋b）x＋ab=0. 则Δ=2－12ab=a2＋b2－10ab． ∴当Δ≥0，即a2＋b2≥10ab时，矩形B存在，此时它的长为 ． 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 数学 九年级 全一册 配人教版 $