5.1 认识二元一次方程组 课后同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“5.1认识二元一次方程组”课后同步练习，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选8题）|二元一次方程（组）定义、解的判断|聚焦核心概念辨析，如第1-4题强化定义理解，第6题巩固方程解的验证，培养抽象能力| |巩固层（填空4题）|方程解的应用、参数问题、几何图形建模|结合实际情境，如第9题硬币凑数、第11题两位数数字问题，渗透模型意识与几何直观| |提升层（解答5题）|综合应用与新定义问题|通过几何分割（第16题）、量化评价（第17题）、“牛数”新定义（第18题），发展推理能力与应用意识，衔接阶段测评需求|

5.1 认识二元一次方程组 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 4．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 7．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 8．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有5角、1元的硬币若干个，从这些硬币中取出一些凑成4元，则有_______种不同的取法． 10．写出一个解是的二元一次方程组：______． 11．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为______，根据题意得方程组______． 12．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 13．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 三、解答题 14．已知二元一次方程3x＋2y＝18． (1)用关于x的代数式表示y． (2)写出此方程的非负整数解． 15．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 16．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 17．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为 ，高度为 ．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 18．阅读理解：若一个三位数（，b，，且a，b，c均为整数），，则称这个三位数m为“牛数”，比如：341，，则341为“牛数”，将三位数m的个位与百位交换位置得到新的三位数记为，并记，． (1)判断453和913是否为“牛数”，并说明理由； (2)已知m为“牛数”，当能被12整除时，求的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C C B D B 1．【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 2．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，据此一一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1． 选项A中，是二次方程，不符合； 选项B中，有x、y、z三个未知数，不符合； 选项C中，只有x和y两个未知数，且两个方程均为一次方程，符合； 选项D中，为分式，不是整式方程，不符合． ∴ 属于二元一次方程组的是C． 故选C 3．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 5．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 6．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程求解是解题的关键． 设购买笔记本为x本，钢笔为y支，则根据“购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设购买了笔记本x本，钢笔y支， 根据题意得出：， ∴， ∵x，y为正整数， ∴是正整数， ∴x一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支或购买笔记本10本，钢笔1支； 故选D． 8．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 9．【答案】5 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设5角硬币的数量为x，1元硬币的数量为y，根据总金额为4元列出方程，求出非负整数解即可． 【详解】解：设5角硬币的数量为x，1元硬币的数量为y， 由题意，得方程：， ∴ ∴， 由于，且为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有5组非负整数解，因此有5种不同的取法． 故答案为：5． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】 【知识点】列代数式、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组，把原两位数的十位数字乘以10再加上个位数字可得原两位数，把原两位数的个位数字乘以10再加上十位数字可得新两位数，再根据原两位数的两个数字之和为11，新两位数比原两位数大63建立方程组即可． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， ∴原来的两位数为，现在的两位数为， ∴， 故答案为：；． 12．【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 13．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 14．【答案】(1)y＝ (2)非负整数解为，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得； （2）取x＝0，2，4，6分别得到y的值即可． 【详解】（1）解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18−3x， ∴y＝； （2）解：当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0 ∴非负整数解为，，． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键． 15．【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 16．【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 17．【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 18．【答案】(1) 453是“牛数”，913是“牛数”．理由如下： 对于三位数， ∵， ∴453是“牛数”； 对于三位数， ∵， ∴913是“牛数”； (2) 【知识点】有理数四则混合运算、二元一次方程的解 【分析】（1）根据“牛数”的定义判断即可， （2）设牛数，则，计算F(m)的值，根据能被12整除的已知条件，进行分类讨论，求出所有符合条件的m和，计算出的值，从中确定最大值即可． 【详解】（1）略 （2）解：，则， ∵， ∴． ∴ ∵a、b都是正整数，且， ， ， ∵能被12整除， ∴能被12整除． 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）； 当时，解得， 此时，，舍去； 当时，解得，， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）． 综上可知，的最大值为． 【点睛】本题考查了新定义的数，也考查了分类讨论的思想，学会理解新定义的数的运算，以及用代数式表示新定义的数，理解整除的定义等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $