5.4 二元一次方程与一次函数 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，强化运算能力与模型观念，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数平移、象限判断、交点坐标|单选1-5直接考查概念，填空11-14强化基本运算，培养抽象能力| |进阶层|面积计算、方程组与函数交点综合|单选6-8结合图形求面积，填空15引入"衍生函数"新定义，发展推理意识| |拓展层|实际情境应用、跨知识整合|单选9-10关联温度计数据与函数关系，解答19-20以流量套餐、距离公式为背景，提升模型观念与创新意识|

5.4 二元一次方程与一次函数 课后同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．将一次函数的图象向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图像经过点，则该函数图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一次函数的图象与y轴交于点，则b的值是（   ） A．3 B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 7．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 8．平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法： ①方程组的解为； ②直线：的； ③； ④当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确的说法是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标．因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）．小明观察温度计，发现华氏温度y（单位：）是摄氏温度x（单位：）的一次函数，并据此列出了表格．同桌小亮发现下表中有一个函数值写错了，这个错误的函数值是（   ） 20 25 30 35 67 77 86 95 A．20 B．67 C．77 D．86 二、填空题 11．已知一次函数的图象与轴交点的纵坐标是，且平行于直线，那么这个一次函数的表达式是________． 12．如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于____． 13．如图，平面直角坐标系中，直线经过点且与交于点，交点坐标可以看成是相应的二元一次方程组的解，则该方程组中的方程为______． 14．若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 15．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是______；若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则n的值是________． 三、解答题 16．利用一次函数的图象解二元一次方程组 17．已知直线：经过点． (1)求直线的函数表达式，并在图中画出其函数图象； (2)将直线向上平移3个单位，得到直线，画出该函数图象， ①直接写出直线的表达式为： ②直线与x轴的交点坐标为 ． 18．如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点的坐标． (2)若点在直线上，且，求点的横坐标． 19．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 20．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D C B B B B 1．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一次函数图象平移的规律求解． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移1个单位长度， ∴平移后的函数表达式为， 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 将点代入函数解析式求出k值，得到函数的表达式，再根据一次函数的性质判断图像所经过的象限 【详解】解∶∵一次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵，， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限， ∴该函数的图像不经过第四象限， 故选∶D． 3．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 函数与y轴交点的x坐标为0，代入点坐标即可求出b． 【详解】解∶∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∴， 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 【详解】 解：直线：与直线：交于点， 当时，， 点A的坐标为， 关于x、y的方程组的解是， 故选：A． 5．【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求出直线解析式，再令求出其函数值，即可解题． 【详解】解：直线与x轴的交点坐标为， ，解得， 直线解析式为， 当时，， 该直线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 7．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、两直线的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的交点和二元一次方程组的关系． 将点代入、得，联立、得出，然后代入求纵坐标即可． 【详解】解：将点代入、得， ， 整理得， 联立 整理得， 则， ∴、的交点坐标为， 故选：B． 9．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、两点之间线段最短、线段问题(轴对称综合题) 【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线与直线都经过， ∴方程组的解为，故①正确，符合题意； ②把，代入直线，可得，解得， ∴故②正确，符合题意； ③把代入直线，可得， 中，令，则， ∴， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； ④点A关于y轴对称的点为，连接， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 由对称知，,, 当点共线，即点P位于点D处时，,最小， ∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式 【分析】根据表格中的数据，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由自变量的值求函数值，求出函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 点在直线上； 当时，， 此时得到67这个数据是错误的． 故选：B． 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴． ∵一次函数的图象与轴交点的纵坐标是， ∴． ∴这个一次函数的表达式是． 12．【答案】9 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．先根据题意求出，得出P点坐标为，再求出，得出，求出点A的坐标为，点B的坐标为，然后可求出的面积即可． 【详解】解：直线：与直线：相交于点， ， 解得：， ∴P点坐标为， 把代入得， 解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 的面积为：， 故答案为：9． 13．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，求解析式，由直线经过点且与交于点，设解析式为，然后代入求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点且与交于点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 则该方程组中的方程为， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果． 【详解】解：直线变形可得，直线变形可得， 直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 该方程组的解为， 两直线的交点坐标为． 15．【答案】 3 或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：根据定义，一次函数的“衍生函数”为， 点在一次函数的“衍生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“衍生函数”图象上， 当时，， 解得：， 当时，，解得：， 则n的值为或， 故答案为：；或． 16．【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 17．【答案】(1)， 函数的图象如图所示． (2)直线的图象如图所示．①；② 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查一次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平移规律是解题的关键， （1）利用待定系数法求函数解析式，再利用两点法画出函数图象即可； （2）根据函数平移的性质得到函数图象和解析式，再根据图象与轴的交点，，即可求得答案． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的函数表达式为， 当时，， （2）解：直线的图象如图所示． 将直线向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为，即． 故答案为． ， 当时，， 解得， 直线与轴的交点坐标是． 故答案为． 18．【答案】(1)，, (2)点的横坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题； （1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，点． 当时，，当时，， ∴,； （2）解：设， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴点的横坐标为或． 19．【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 20．【答案】(1) (2) (3)5； (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，求一次函数解析式，掌握两点间距离公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $