5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 练习围绕二元一次方程与一次函数关系，分基础、中档、拔高三层，覆盖概念理解到实际应用，适配新授课巩固需求，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数与方程对应关系、交点求解|单选1-5直接考查概念，填空11-14巩固基础运算，培养符号意识| |中档层|图像综合应用、平行与平移|单选6-8结合图像解方程组，解答17-19涉及对称变换，发展推理能力| |拔高层|实际情境与新定义|解答20-23含行程、经济问题及“不动点”新定义，提升模型意识与创新思维|

5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 一、单选题 1．若方程组没有解，则一次函数y＝2－x与y＝－x的图象必定（　　） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b)，则 是方程组（　　）的解. A． B． C． D． 4．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知一次函数y＝k1x+b1和一次函数y1＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y1 … ﹣1 0 1 2 3 … y2 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 … A． B． C． D． 6．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 7．已知直线 交x轴于点 ，交 轴于点 ，直线 与直线 关于x轴对称，将直线 向下平移8个单位得到直线 ，则直线 与直线 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 8．一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　） A． B． C． D． 9．无论m为何实数．直线与的交点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小②函数y=ax+d的图像不经过第一象限③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是　 　. 12．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，与直线l2：y＝ x+2交于点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的横坐标为 　 　. 13．一次函数y1＝kx-1（k是常数，且k≠0）和y2＝x＋1图象的交点始终在第三象限，则k的取值范围是　 　. 14．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　 　． 15．如果方程组 无解，那么直线 不经过第　 　象限. 16．直线 与 平行，且经过点（2，1），则k=　 　 b=　 　 三、解答题 17．一次函数的图象经过点 和 两点. （1）求这个一次函数的表达式； （2）线段 与第一象限的角平分线交于点 ，则点 的坐标为　 　. 18．如图，直线 ， 相交于点 ，直线 的函数表达式为 ，点 的横坐标为 ，且直线 与 轴交于点 ，求直线 的函数表达式. 19．阅读材料，回答以下问题： 我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如是方程的一个解，对应点，如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点，，，，将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．一般的，以任意二元一次方程解为坐标的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问： （1）已知、、，则点　 　（填“或或”）在方程的图象上． （2）求方程和方程图象的交点坐标． （3）已知以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 20．如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，一次函数图象经过点 ，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C. （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求 的面积. （4）不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解. 21．在一条笔直的公路旁依次有 、 、 三个村庄，甲、乙两人同时分别从 、 两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向 村，最终到达 村.设甲、乙两人到 村的距离 ， 与行驶时间 之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： （1） 、 两村间的距离为　 　 ， 　 　； （2）求出甲、乙两人到 村的距离 ， 与行驶时间 之间的函数关系式，并求出图中点 的坐标； （3）乙在行驶过程中，何时距甲 ？ 22．为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年的草莓成熟期都会吸引很多人到果园去采摘.现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，但是两家果园的采摘方案不同. 甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠； 乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠. 设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为 千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为 、 元，其函数图象如图所示. （1）请分别求出 、 与 之间的函数关系式； （2）请求出图中点A的坐标并说明点A表示的实际意义； （3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算. 23．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为　 　． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：根据方程组方程组没有解，可知一次函数y＝2－x与y＝－x的图象没有交点，因此可知图象必定平行. 故答案为：B 【分析】将方程组可转化为一次函数y＝2－x和y＝－x，若方程组无解，则对应的两一次函数的图象没有交点，则两直线平行，由此可得答案. 2．【答案】C 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：∵点A的纵坐标为3， 当2x+1=3时，， ∴一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A坐标为（1，3）， 又∵方程组可变形为， ∴方程组的解为：． 故答案为：C． 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两一次函数图象的交点坐标即是二元一次方程组的解。 3．【答案】C 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b) ∴3x-y=-6，2x-4-y=0 ∴ 是方程组 的解. 故答案为：C. 【分析】将两函数解析式组成方程组，利用两一次函数的交点坐标就是这个方程组的解，由此可得答案. 4．【答案】D 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：∵方程组的解为， ∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1）， ∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0， ∴交点在第四象限． 故答案为：D． 【分析】直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标即为方程组的解，然后根据坐标符号判断即可. 5．【答案】C 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)， ∴一次函数y1=k1x与y=k2x+b的图象的交点坐标为(2，3)， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 故答案为：C． 【分析】由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，再根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案。 6．【答案】B 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】由图知，设经过（-1，1）、（1，0）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）. 将（-1，1）、（1，0）两点坐标代入解析式中，解得 故过（-1，1）、（1，0）的直线解析式y= ，对应的二元一次方程为2 y +x -1=0. 设经过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）. 将（0，2）、（-1，1）两点代入解析式中，解得 故过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=x+2，对应的二元一次方程为x-y+2=0. 因此两个函数所对应的二元一次方程组是 故答案为：B 【分析】观察函数图象，可知一个函数图象经过经过（-1，1）、（1，0），利用待定系数法求出此函数解析式，可得到对应的二元一次方程；另一个函数图象经过（0，2）、（-1，1），利用待定系数法求出对应的函数解析式，即可得到对应的二元一次方程，由此可得到二元一次方程组，观察各选项可得答案. 7．【答案】A 【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：设直线 的解析式为 ， 把点 ，点 代入，得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵将直线 向下平移8个单位得到直线 ， ∴直线 的解析式为 ， ∵点 关于x轴对称的点为 ， 设直线 的解析式为 ， 把点 ，点 代入，得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 将直线 与直线 的解析式联立，得： ，解得： ， ∴直线 与直线 的交点坐标为 . 故答案为：A. 【分析】利用待定系数法求出直线l1的解析式，求出直线l2的解析式，根据一次函数的几何变换可得直线l3的解析式为y=2x-2，将直线l2与直线l3联立求出x、y的值，进而可得交点坐标. 8．【答案】C 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：A、∵直线y=mx+n经过第一，二，三象限 ∴m＞0，n＞0， ∴mn＞0， ∴直线y=mnx经过第一，三象限，故A不符合题意； B、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限 ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故B不符合题意； C、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限 ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故C符合题意； D、∵直线y=mx+n经过第一，四，二象限 ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0， ∴直线y=mnx经过第二，四象限，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用直线y=kx+b（k≠0）：当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限；再观察各选项中的直线y=mx+n所经过的象限，可判断出m，n的取值范围，由此可得到mn的取值范围，可分别得到直线y=mnx所经过的象限，由此可得正确结论的象限. 9．【答案】C 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：∵一次函数y=-x+4中，k=-1<0，b=4＞0， ∴函数图象经过一二四象限， ∴无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限． 故答案为：C． 【分析】先求出函数图象经过一二四象限，再求解即可。 10．【答案】D 【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质 【解析】【解答】解：由图像可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①符合题意； 由于a＜0，d＜0，所以函数y=ax+d的图像经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②符合题意； ∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像的交点的横坐标为3， ∴3a+b=3c+d， ∴3a-3c=d-b， ∴a-c=（d-b），故③符合题意； 当x=1时，y1=a+b， 当x=-1时，y2=-c+d， 由图像可知y1＞y2， ∴a+b＞-c+d， ∴d＜a+b+c，故④符合题意； 综上，①②③④都符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据一次函数的图象和性质与系数的关系及一次函数与不等式的关系逐项判断即可。 11．【答案】 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2）， ∴则关于x、y的二元一次方程组 的解是 . 故答案为：. 【分析】函数图象的交点坐标即是相对应方程组的解，据此即得. 12．【答案】（2，0）或（5，0） 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：∵直线l1：y＝x+1与x轴交于点A， ∴A（﹣1，0）， 由 解得 ， ∴B（2，3）， 当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同， ∴C（2，0）； 当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2+BC2， 设C（x，0），则AC2＝（x+1）2，AB2＝（2+1）2+32，BC2＝（2﹣x）2+32， ∴（x+1）2＝（2+1）2+32+（2﹣x）2+32， 解得x＝5， ∴C（5，0）， 综上，点C的坐标为（2，0）或（5，0）. 故答案为：（2，0）或（5，0）. 【分析】易得A（-1，0），B（2，3），当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，不难得到点C的坐标；当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，设C（x，0），然后表示出AC2，AB2，BC2，利用勾股定理求出x的值，进而可得点C的坐标. 13．【答案】且 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：， 解得：， ∴交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴，即， 解得：， ，即， 解得：， ∴且. 故答案为：且. 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组求出x，y的值，再根据两图象的交点在第三象限，可知第三象限的点的横纵坐标都为负数，可得到关于k的两个不等式组，然后求出k的取值范围. 14．【答案】 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两函数图象的交点即是方程组的解。 15．【答案】二 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：∵ 无解， ∴函数 和 无交点（即平行）， ∴ ，解得 ， ∴ ， 又∵k=1>0，b=-1<0， ∴经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二. 【分析】根据方程组无解，即两个一次函数没有交点可得出两条直线平行，即两函数的自变量的系数相同，据此求出k得值，就可以判定经过第几象限，即得到结果. 16．【答案】-5；11 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与y=-5x+1平行， ∴k=-5， ∵直线y=kx+b过(2，1)， ∴-10+b=1， 解得：b=11， 故答案为：-5，11. 【分析】根据两直线平行可得k=-5，再将k=-5，点(2，1)代入y=kx+b中求出b值即可. 17．【答案】（1）设一次函数表达式为 将点 和点 代入得 解得 ∴一次函数表达式为 ； （2） 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：（2）第一象限角平分线解析式为 ， 依题意得 ， 解得 ， ∴点 坐标为 故答案为： 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得第一象限的角平分线的解析式为y=x，然后把（1）中求得的解析式和y=x联立解方程组即可求解. 18．【答案】∵点 在直线 上，点 的横坐标为 ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ， ∵ 交 轴于点 ， 设直线 的函数表达式为 ， 将点 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， ∴直线 的函数表达式为 . 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【分析】由题意把点P的横坐标-2代入直线l1的解析式可求得y的值，即可得点P的坐标；设直线l2的解析式为y=kx+b，把点A、P的坐标代入直线l2的解析式可得关于K、b的方程组，解方程租可求解. 19．【答案】（1）B （2）解：联立， 解得， 则方程和方程图象的交点坐标为． （3）解：， 解得， 点是以关于的方程组的解为坐标的点， ， 又点在方程的图象上， ， 解得． 【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】（1）解：将代入方程得：，解得， 则点不在方程的图象上； 将代入得：，解得， 则在方程的图象上，不在方程的图象上； 故答案为：． 【分析】（1）将点A、B、C的坐标分别代入判断即可； （2）联立方程组，求出方程组的解，即可得到图象交点的坐标； （3）先求出点M的坐标，再将点M的坐标代入可得，再求出k的值即可。 20．【答案】（1）解：∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P（m，3）， ∴-3m=3，解得：m=-1， ∴P（-1，3）， 把（1，1）和（-1，3）代入一次函数y=k x +b，得： ， 解得， ， ∴ 一次函数解析式是y=-x +2； （2）解：由（1）知一次函数表达式是y=-x +2 令x =0，则y=2 即点D（0，2）； （3）解：由（1）知一次函数解析式是y=-x +2 令y=0，∴- x +2=0， 解得： x =2， ∴点C（2，0）， ∴OC=2， ∵P（-1，3）， ∴△COP的面积= OC . = ×2×3=3； （4）解：∵正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ， ∴方程组的解为 . 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【分析】（1） 将点P（m，3） 代入y=-3x中求出m值，再将点P、B的坐标代入y=k x +b中，求出k、b值即可； （2）由（1）知一次函数表达式是y=-x +2 ，求出当x=0时y值即可； （3）先求出直线y=-x +2与x轴交点C的坐标，即得OC的长，利用三角形的面积公式求解即可； （4）方程组 的解是相对应函数图象的交点坐标，据此即可求解. 21．【答案】（1）120；2 （2）设甲、乙两人到 村的距离 ， 与行驶时间 之间的函数关系式分别为 ， 将点 代入 得 ，解得 ，即 将点 代入 得 ，解得 ，即 令 得 ，解得 ， 将 代入 得 即点 的坐标为 故答案为： ， ， （3）当甲在乙的后面10千米时，此时有 ，即 解得 当甲在乙的前面10千米时，此时有 ，即 解得 当甲到达 地，乙距离 地10千米时， ，即 解得 答：乙在行驶过程中， 小时或 小时或 小时距甲 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一元一次方程的实际应用-行程问题 【解析】【解答】解：（1）根据图象知，A、C两村间的距离为120千米； 观察图象知，甲0.5小时行驶了30千米，故甲的速度为：30÷0.5=60（千米/时），则a=120÷60=2(小时). 故答案为：120；2. 【分析】（1）根据图象知，A、C两村间的距离为120千米；甲0.5小时行驶了30千米，据此可得甲的速度，利用120除以甲的速度可得a的值； （2）设y1=kx+b，y2=mx+n，将（0，120）、（2，0）代入可得k、b，将（0，90）、（3，0）代入可得m、n，据此可得函数关系式，令y1=y2，求出x，然后将x的值代入y1中求出y1，据此可得点P的坐标； （3）当甲在乙的后面10千米时，此时有y1-y2=10；当甲在乙的前面10千米时，此时有y2-y1=10；当甲到达C地，乙距离C地10千米时，y2=10，据此求解. 22．【答案】（1）解：根据题意得 ， 设 ，∵点 在 上 根据题意得， ， 解得 ， ∴ ； （2）解：联立 ，解得 ， ∴点A的坐标为 ， 点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元； （3）解：由（2）知点A的坐标为 ，观察图象知： 当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算； 当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以； 当采摘量小于5千克时，到家乙果园更划算. 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题； （2）解联立（1）求的两函数解析式，求出点A的坐标，即可得出答案； （3）结合图象，将图象分为三部分来看：①起点至点A，②点A，③点A的右边部分，即可得出答案. 23．【答案】（1）(-1，-1) （2）解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算 【解析】【解答】解：(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 【分析】（1）根据题意，联立，即可求解； （2）由定义可知一次函数的“不动点”为，再将（2，2）代入即可求出m的值； （3）由题意得出直线与平行，则，令，，再求出，设，由，得出，即可得出点P的坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $