27.3实际问题与反比例函数(第1课时)（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，通过复习反比例函数的图象和性质搭建学习支架，引导学生分析港口卸货、杠杆原理等实际情境中的变量关系，建立反比例函数模型解决问题。 以真实生活情境为载体，如港口作业、购车还款等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过问题探究发展推理意识，典例与中考演练强化模型意识，分层作业设计满足不同需求，提升运用代数方法解决实际问题的能力。

人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.3实际问题与反比例函数(第1课时)（导学案） 一、学习目标 1.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题。 2.能够根据实际问题确定自变量的取值范围。 3.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 学习重点： 建立反比例函数模型解决问题。 学习难点： 建立反比例函数模型解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象和性质. （二）合作探究 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位：h)之间有怎样的函数关系? 分析 本题中的数量关系： 平均装载速度×装载总时间= 货物总量 . 平均卸载速度= 货物总量 ÷卸载总时间. 解：(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t)， 所以v关于t的函数解析式为 v=. (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 解：(2)把t=6代入v=，得 v==1 050(t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1050 t.对于函数v=，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050 t货物. 学科融合 古希腊科学家阿基米德(公元前287一前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F(单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 解：(1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1200×0.5， 所以F关于l的函数解析式为 F=. 当l=1.5 m时， F==400(N). 对于函数F=，当l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400 N的力. (2)对于函数F= ，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400× = 200代入F= ，得 200= ， l= =3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3−1.5=1.5(m). 思考 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? 答：结合函数解析式或图象可知：当l>0时，F随l的增大而减小. 所以动力臂l越长，动力F就越小，即动力臂越长就越省力. （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2026四川广元)根据压强公式p=，当压力F（单位：N）一定时，压强p(单位：Pa)与受力面积S(单位：m2)成反比例关系．若某物体受力面积增加0.3 m2，则受到的压强比原来减少60 Pa．设该物体原受力面积为x m2，压力F为定值，下列方程正确的是（   D  ） A． − =60 B． − =60 C． − =60 D． − =60 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120 cm³(不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位：cm²)与漏斗的深h(单位：cm)有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积不超过50 cm²，那么漏斗的深h至少为多少? 解：(1)根据圆锥体积公式得：Sh=120， ∴S=. ∴漏斗口的面积S与漏斗的深h之间的函数关系式为S=. (2)当S=50 cm²时， 50= ， 解得 h=7.2. 因此，如果漏斗口的面积不超过50 cm²， 那么漏斗的深h至少为7.2 cm. 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元，他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (1)y与x有怎样的函数关系? (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元? (3)如果小张打算每月还款不超过5 000元，那么他至少要多少个月才能结清余款? 解：(1)∵首付款+余款=总价， ∴6+xy=18，整理得：y=. ∴y与x之间的函数关系式为y=. (2)由题意得：x=20， 根据(1)中的解析式得：y==0.6. ∴他平均每月应还款0.6万元. (3)当y=5000(元)=0.5(万元)时， 0.5=， 解得 x=24. 因此，如果小张打算每月还款不超过5 000元，那么他至少要24个月才能结清余款. （四）巩固练习 1. 已知近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例．若400度的近视眼 镜镜片的焦距为0.25米，那么y与x的函数表达式为 y= ．（不要求写自变量的取值范围） 2. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度v(千米/时) 和行驶的时间t(时)之间的函数关系是__v=__． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 240千米/时 ． 3. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解：(1)根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 S=. (2)把 S = 500 代入 S=， 得 500=， 解得 d =20， 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘进 20 m 深. （五）当堂检测 王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：(1)由题意得：v=. (2)把 t =15代入函数的解析式，得： v==240. 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. (3)把 v =300 代入函数解析式， 得： 300=. 解得： t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． （六）课堂小结 利用反比例函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题27.3：第1，3，4题. B组题：习题27.3：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.3实际问题与反比例函数(第1课时)（导学案） 一、学习目标 1.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题。 2.能够根据实际问题确定自变量的取值范围。 3.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 学习重点： 建立反比例函数模型解决问题。 学习难点： 建立反比例函数模型解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象和性质. （二）合作探究 例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位：h)之间有怎样的函数关系? 分析 本题中的数量关系： 平均装载速度×装载总时间= . 平均卸载速度= ÷卸载总时间. (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 学科融合 古希腊科学家阿基米德(公元前287一前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为： . 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F(单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 思考 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2026四川广元)根据压强公式p=，当压力F（单位：N）一定时，压强p(单位：Pa)与受力面积S(单位：m2)成反比例关系．若某物体受力面积增加0.3 m2，则受到的压强比原来减少60 Pa．设该物体原受力面积为x m2，压力F为定值，下列方程正确的是（    ） A． − =60 B． − =60 C． − =60 D． − =60 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120 cm³(不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位：cm²)与漏斗的深h(单位：cm)有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积不超过50 cm²，那么漏斗的深h至少为多少? 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元，他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (1)y与x有怎样的函数关系? (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元? (3)如果小张打算每月还款不超过5 000元，那么他至少要多少个月才能结清余款? （四）巩固练习 1. 已知近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例．若400度的近视眼 镜镜片的焦距为0.25米，那么y与x的函数表达式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 2. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度v(千米/时) 和行驶的时间t(时)之间的函数关系是 ． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 ． 3. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系? (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? （五）当堂检测 王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? （六）课堂小结 利用反比例函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题27.3：第1，3，4题. B组题：习题27.3：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $