27.2反比例函数的图象和性质(第2课时)（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数的图象和性质第2课时，核心知识点包括利用性质解决问题、理解k的几何意义及与分式方程的联系。通过复习反比例函数图象和性质导入，以例1、例2巩固性质应用，再通过探究活动构建k的几何意义认知，形成旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于设计合作探究表格与证明环节，助力学生通过操作理解k的几何意义，发展几何直观。中考演练题与当堂检测结合，强化推理意识，分层作业满足不同学生需求，整体培养学生用数学思维解决问题的能力，提升应用意识。

人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质(第2课时)（导学案） 一、学习目标 1.会利用反比例函数的性质解决简单的数学问题。 2.理解反比例函数中k的几何意义，发展几何直观。 3.简单了解反比例函数与分式方程的联系。 学习重点： 利用反比例函数的性质解决简单的数学问题。 学习难点： 理解反比例函数中k的几何意义。 二、学习过程 （一）复习引入 反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象和性质. （二）合作探究 例1 已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于 象限，或者位于 象限. 因为点A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于 象限.在每一个象限内，y随x的增大而 . (2) 例2 图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于 . 所以 . 解得 . (2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而 . 因此当x1>x2时， . 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 探究 在反比例函数y=− 的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，你能获得什么结论？ 追问 你能就k<0的情况给出证明吗？ （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2026福建)下列各点中，在函数y=图象上的点是（      ） A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2) 中考演练(2026广西)已知点A(−2，y1)，B(1，y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则y1，y2满足（     ） A．2y1+y2=0 B．y1+2y2=0 C．2y1−y2=0 D．y1−2y2=0 中考演练(2026吉林)已知点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y=的图象上，比较y1与y2的大小：y1 y2． 学习笔记 中考演练(2026江苏连云港)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y=− 和y=− 在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为 . （四）巩固练习 1. 已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象位于哪些象限?在每一个象限内，y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)，(C(−2，−4)，D(2，−6)是否在这个函数的图象上?为什么? 2. 反比例函数y=的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 3. 已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在反比例函数y=的图象上，如果x₁<x₂，且x₁，x₂同号，那么y₁，y₂有怎样的大小关系?为什么? 追问 如果没有“x₁，x₂同号”这个条件，y₁，y₂又会有怎样的大小关系呢？ 4. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的坐标为（−3，−1）．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（     ） A．x=−3或1 B．x=−3或3 C．x=−1或1 D．x=3或1 归纳总结 5. 如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(1，m)， B(4，n)两点，则关于x的不等式kx+b>的解集是（      ） A．x<0或1<x<4 B．x<1或x>4 C．0<x<1或x>4 D．1<x<4 归纳总结 （五）当堂检测 1. （2026四川乐山）如图，一次函数y=−x+1 的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连接OP、OQ ． (1)求a 、b 的值和反比例函数的表达式； (2)求△POQ的面积． 2. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 3. 如图，下列结论中错误的是（     ） A．方程k1x+b=的解为x1=−2，x2=1 B．当−2<x<1时，有y>y′ C．k1<0，k2<0，b<0 D．直线y=k1x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是 （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题27.2：第3，4，5题. B组题：习题27.2：第7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质(第2课时)（导学案） 一、学习目标 1.会利用反比例函数的性质解决简单的数学问题。 2.理解反比例函数中k的几何意义，发展几何直观。 3.简单了解反比例函数与分式方程的联系。 学习重点： 利用反比例函数的性质解决简单的数学问题。 学习难点： 理解反比例函数中k的几何意义。 二、学习过程 （一）复习引入 反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象和性质. （二）合作探究 例1 已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于 第一、第三 象限，或者位于 第二、第四 象限. 因为点A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于 第二、第四 象限.在每一个象限内，y随x的增大而 增大 . (2)设这个反比例函数的解析式为y=.因为点A(-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即4==. 解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为：y=. 因为点B，C的坐标都满足y=，点D的坐标不满足y=，所以点B，C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上. 例2 图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于 第三象限 . 所以 m-5>0 . 解得 m>5 . (2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而 减小 . 因此当x1>x2时， y1<y2 . 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 探究 在反比例函数y=− 的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，你能获得什么结论？ 答：反比例函数k的几何意义：S=|k|. 追问 你能就k<0的情况给出证明吗？ 设点P的坐标为(a，b). ∵点 P (a，b) 在函数y=的图象上， ∴b=，即 ab=k. 若点P在第二象限，则a<0，b>0， ∴ S=(－a)· b－ab=－k； 若点P在第四象限，则a>0，b<0， ∴ S=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S=|k|. （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练(2026福建)下列各点中，在函数y=图象上的点是（   A  ） A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2) 中考演练(2026广西)已知点A(−2，y1)，B(1，y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则y1，y2满足（  A  ） A．2y1+y2=0 B．y1+2y2=0 C．2y1−y2=0 D．y1−2y2=0 中考演练(2026吉林)已知点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y=的图象上，比较y1与y2的大小：y1_>__y2． 中考演练(2026江苏连云港)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y=− 和y=− 在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为 4 . （四）巩固练习 1. 已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象位于哪些象限?在每一个象限内，y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)，(C(−2，−4)，D(2，−6)是否在这个函数的图象上?为什么? 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限. 在每一个象限内，y随x的增大而减小. (2)设这个反比例函数的解析式为y=. 因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即6==. 解得k=12. 因此，这个反比例函数的解析式为：y=. 因为点B，C的坐标都满足y=，点D的坐标不满足y=， 所以点B，C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上. 2. 反比例函数y=的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 解：因为这个函数的图象的一支位于第二象限，所以另一支必位于第四象限. 所以 m+2<0. 解得 m<−2. 3. 已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在反比例函数y=的图象上，如果x₁<x₂，且x₁，x₂同号，那么y₁，y₂有怎样的大小关系?为什么? 解：因为k=1>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因为x₁，x₂同号，所以点A、B在图象的同一支上， 因此当x1<x2时，y₁>y₂. 追问 如果没有“x₁，x₂同号”这个条件，y₁，y₂又会有怎样的大小关系呢？ 4. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的坐标为（−3，−1）．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（  A  ） A．x=−3或1 B．x=−3或3 C．x=−1或1 D．x=3或1 归纳总结 双曲线y=与直线y=kx+b的交点的横坐标⟺方程=kx+b的解 5. 如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(1，m)， B(4，n)两点，则关于x的不等式kx+b>的解集是（  A   ） A．x<0或1<x<4 B．x<1或x>4 C．0<x<1或x>4 D．1<x<4 归纳总结 直线y=kx+b在双曲线y=上方的图象对应的自变量的取值范围⟺不等式kx+b>的解集 直线y=kx+b在双曲线y=下方的图象对应的自变量的取值范围⟺不等式kx+b<的解集 （五）当堂检测 1. （2026四川乐山）如图，一次函数y=−x+1 的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连接OP、OQ ． (1)求a 、b 的值和反比例函数的表达式； (2)求△POQ的面积． 解：(1)∵一次函数y=−x+1 的图象经过点P(−1，a)、Q(b，−1)， ∴−(−1)+1=a，−b+1=−1， 解得 a=2 ，b=2， ∴P(−1，2)、Q(2，−1)， ∵反比例函数y= 的图象经过点P(−1，2)， ∴k=−2， ∵反比例函数的表达式为y=− ； (2)如图，设一次函数y=−x+1与x轴相交于点A， 令y=0，则x=1，即：A(1，0)， ∴OA=1， 又∵P(−1，2)，Q(2，−1)， ∴S△POQ=S△AOP+S△AOQ= ×1×2+ ×1×1= ． 2. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（  C   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3. 如图，下列结论中错误的是（  B  ） A．方程k1x+b=的解为x1=−2，x2=1 B．当−2<x<1时，有y>y′ C．k1<0，k2<0，b<0 D．直线y=k1x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是 （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题27.2：第3，4，5题. B组题：习题27.2：第7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $