专题02 空间向量的应用（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性，以位置关系判断为基础，系统覆盖角度（异面直线成角、线面角、二面角）与距离（点到线、点到面、异面直线）计算，构建从定性到定量的立体几何解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系的判断|7题|选择、填空为主，考查向量平行、垂直、共线的坐标条件|从向量运算到空间位置关系的代数表征，奠定几何问题转化基础| |利用空间向量求角度|22题（含3角度）|选择、填空、解答题结合，涉及三类角的向量公式应用|通过向量夹角公式实现空间角度定量计算，体现几何代数化核心思维| |利用空间向量求距离|17题（含3角度）|涵盖点线、点面、异面直线距离计算情境|基于向量投影与法向量构建距离计算统一方法，完善空间度量解决方案|

专题02 空间向量的应用 题型 1：位置关系的判断 题型 2：利用空间向量求角度 角度1：异面直线成角 角度2：线面角 角度3：二面角 题型 3：利用空间向量求距离 角度1：点到线距离 角度2：点到面距离 角度3：异面直线距离 题型一：位置关系的判断 1．（24-25高二上·辽宁·期中）（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（   ） A．若，则x，y，z满足： B．若，则x，y，z满足： C．若，则x，y，z满足： D．若，则x，y，z满足： 【答案】BCD 【分析】A由空间向量模长公式可判断选项正误；B由空间向量垂直坐标表示可判断选项正误；C由空间向量共线坐标表示可判断选项正误；D由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误. 【详解】A由题，，因，则A错误； B因，则，故B正确； C因，则，故C正确； D因，则. 即，故D正确. 故选：BCD. 2．（23-24高二上·辽宁大连·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，若A，B，C三点共线，则BC的长为________． 【答案】 【分析】根据题意结合向量共线的坐标表示求，再利用模长公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 若若A，B，C三点共线，则， 可得，解得， 则，可得， 所以BC的长为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·山东·阶段检测）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据得到，再分类讨论根据求解即可. 【详解】因为，，所以，解得. 当时，， 因为，所以，解得，. 当时，， 因为，所以，解得，. 综上：或. 故选：A 4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 【答案】 【分析】应用空间向量数乘及向量相等即可. 【详解】因为，设 则， 所以， 则， 即. 故答案为： 5．（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，， 平面ABC， ， ， ， . 故答案为：. 6．（19-20高二下·江西·期末）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则______. 【答案】3 【分析】根据向量的垂直关系计算即可. 【详解】因为直线与平面垂直，为直线的一个方向向量，向量与平面平行， 所以， 即， 解得 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故答案为： 题型二：利用空间向量求角度 角度1：异面直线成角 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解. 【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 由，得，解得， 若共线，得，解得，因此当不共线时，， 所以实数的取值范围为. 故选：C 9．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 10．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得， 则直线与所成角的余弦值为， 所以直线与所成角的大小为， 故选：C 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.    已知得，， 因为点在棱上，且，， 所以，，则. ，，， 所以， 则. 直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A 13．（25-26高二上·辽宁阜新·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【详解】（1）因为是的中点， 所以. （2）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.             因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 14．（22-23高二上·安徽滁州·阶段检测）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________ 【答案】3 【分析】由向量的夹角公式列方程求解. 【详解】向量，， ∴， ， ． 又夹角的余弦值为， ∴， 解得． 故答案为:． 15．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 (2) 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 角度2：线面角 16．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（   ）    A． B．长为 C．直线与底面所成角为 D． 【答案】BCD 【分析】选项A，空间向量的加减法. 选项B，首先用空间向量加减法，然后再用模长的数量积公式. 选项C, 连接，，，证明四棱锥是个正四棱锥，然后用线面角的公式. 选项D，首先用向量表示，然后用向量的数量积公式. 【详解】已知平行六面体棱长均为1，底面为正方形，故， ，. 选项A，，选项A错误。 选项B， 代入得，选项B正确。 选项C，设在底面上的投影为，则就是在底面的投影向量。 连接，，， 如图    已知， 所以，四棱锥是正四棱锥. 因此投影向量， 其长度为 因为 ，所以，即直线与底面所成角为，选项C正确 选项D， 代入得，故，因此D正确。 故选：BCD 17．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）（多选）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ）.    A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：应用线面垂直判定定理及性质判断.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】    对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面，平面， 平面， 故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误； 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 因，则，， 若或时，取得为，同法可得， 所以，则得，故D正确. 故选：ACD 18．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）如图，为圆柱的母线，为圆柱的底面直径，点在底面圆周上（不与重合），为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 由平面几何知识知， 由平面，平面，知， 由，平面，平面，知平面， 由平面，得平面平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）空间向量法求解直线与平面所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）取中点，以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， 则，，，   记平面的法向量为， ，即，可取. 记直线与平面所成角为， 则.   故直线与平面所成角的正弦值为. 19．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：； (2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 取中点，连接． 由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高． 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为．    20．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）如图，已知菱形ADCB和菱形ADEF的边长均为2，M，N分别为AE、BD上的点，且． (1)用向量法证明：平面ABF； (2)设，，当MN的长度最小时，求AF与平面MND所成角的正弦值． 【答案】(1) 设，则有，， 所以 ， 因为平面ABF， 所以平面ABF． (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合共面向量的判定定理进行证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式、结合二次函数的最值性质进行求解即可； 法二：运用基底法，结合空间向量线性运算法则，运用等积法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一：取AD的中点O，连接BO，FO，由题意，， 所以平面BOF， 从而平面平面ABCD． 以O为坐标原点，方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．则，，． 由，得，． 设，则，， 所以． 从而， 当时，MN取最小值，此时． 设为平面MND的法向量，则， 即，可取． 因为， 所以当MN的长度最小时， AF与平面MND所成角的正弦值为．     法二：以为基底，由题设，故． 设，则，， 所以． 故， 当时，MN取最小值， 此时M，N分别为AE、BD上的中点，平面MND就是平面BFD． 取AD的中点O，连接BO，FO，由题意，， 所以平面BOF，从而平面平面ABCD， 故F到平面ABD距离为． 可知面积为，面积为， 设A到平面BFD距离为d． 由得， 因此当MN的长度最小时，AF与平面MND所成角的正弦值为． 21．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 22．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，可得，由点F，G分别为，的中点，得，平面，，从而四边形为平行四边形，有，所以，可得λ的值； （2）建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为，向量法求线面角得λ的值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以． 因为点F，G分别为，的中点，所以． 又因为底面为直角梯形，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，所以， 从而四边形为平行四边形， 又，， 所以，所以，所以λ的值为. （2）由题可知，，，所以，所以． 又平面平面，平面平面，平面，则平面． 又，故可以为坐标原点，分别以向量 为轴正方向，建立空间直角坐标系.    所以， 因，可得， ， 又为的中点，所以． 所以，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面所成角为， 所以， 又，解得. 角度3：二面角 23．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________． 【答案】 【分析】由，两边平方进行求解． 【详解】设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 故答案为：. 24．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 25．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（    ） A．对任意不平行 B．存在，使得垂直 C．当夹角的余弦值为时， D．不存在，使得的夹角在区间内 【答案】ABD 【分析】平面平行即法向量共线，利用向量共线坐标公式列式计算判断A；平面垂直即法向量垂直，利用向量垂直坐标公式列式计算判断B；利用向量夹角余弦值列式求解判断C；先利用向量夹角余弦值列式，然后利用基本不等式求解最值，最后利用余弦函数性质求解角的范围判断D. 【详解】由题意平面的一个法向量，的一个法向量， 因为，所以不平行，不平行，故A正确； ，当时，，故B正确； 设的夹角为，当时，平方化简得， 解得或，故C错误； 当时，，所以， 当时， ， 因为函数在上单调递减，所以，故D正确． 故选：ABD. 26．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的夹角公式即可求解 【详解】平面与所成角的余弦值． 故选：B 27．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)若侧面与侧面的交线为，求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 由底面上，则， 由平面平面，则平面， 平面平面，平面，则， 又底面，底面，所以， 由题知，又，平面， 所以平面，故平面； (3). 【分析】（1）根据已知四棱锥的高，再由棱锥的体积公式求体积； （2）由已知，再由线面平行的判定定理和性质定理得，根据线面垂直的性质和判定证得平面，即可证结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，则四棱锥的高，则其体积为； （2）略 （3）由上易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由平面，故平面的法向量为， 设面的法向量为，则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 28．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    (1)试用表示． (2)若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点F，此时. 【分析】（1）直接根据向量加减法的几何意义可得； （2）根据空间向量基本定理，用基底向量分别表示两个平面的法向量，再用向量的方法计算平面与平面的所成角的余弦值； （3）通过建立空间直角坐标系，根据面面角及线面角的值计算得到所求点的位置. 【详解】（1）由向量的加减法运算的法则可得， 又因为且，， ． （2）且为等腰直角三角形，，. 设，则． 因为平面，平面，所以， 即，所以.又因为，，所以，即. 所以为平面的法向量．而平面与垂直，所以是平面的法向量. 因为，所以，且，， 所以 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）分别以所在直线为x轴、y轴，过F作垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图：    设，则，， 由（1）得，二面角的平面角为，即， ，. 由题意得，平面的法向量为， ， 即，，解得或（舍去） 存在点F，此时． 29．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 【答案】(1) 在矩形中，因为，且为的中点， 可得，所以，所以，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由，得到，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则.， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量 ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为. （3）解：由，可得，其中， 则， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为，则， 解得， 题型三：利用空间向量求距离 角度1：点到线距离 30．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 31．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 32．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 33．（24-25高二上·广西百色·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】用空间向量法求点到直线的距离. 【详解】因为，所以点到直线l的距离为 ， 故选：C 34．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 35．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 【答案】/ 【分析】根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 【详解】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 角度2：点到面距离 36．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量法求解即可. 【详解】由题意知， 所以点到平面的距离. 故选：A. 37．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，则. 又，故点到平面的距离为. 故选：B 38．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 【答案】 【分析】将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果. 【详解】在正三棱锥中，，又， 所以，所以，同理可得，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 故答案为：. 39．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得正方体的棱长为，设，由，求得，再求得平面的法向量为，利用距离公式，求得点到的距离为，结合体积公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为，可得， 则，可得，所以， 又由， 设，可得， 因为， 可得， 解得，即， 又由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，所以点到的距离为， 又因为等边的边长为，所以， 所以三棱锥的体积为. 即三棱锥的体积为. 故选：A. 40．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知空间中三点，则（    ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点关于平面的对称点是 【答案】ABD 【分析】根据单位向量的定义即可判断A；根据投影向量的定义即可判断B；根据夹角的坐标公式即可判断C；先求出原点到平面的距离，进而可判断D. 【详解】， 对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量是， 原点到平面的距离， 坐标原点关于平面的对称点是，故D正确. 故选：ABD. 41．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. (2) (3) 由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）略 角度3：异面直线距离 42．（22-23高二上·辽宁大连·阶段检测）正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 43．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 44．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 45．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1) 三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）略 （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    46．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值； （2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离． 【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以， 所以，即，又，所以， 在图②中，，即，又平面 所以平面，即平面， 又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，故， 则异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量， 所以，令，则 所以异面直线与之间的距离为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 题型 1：位置关系的判断 题型 2：利用空间向量求角度 角度1：异面直线成角 角度2：线面角 角度3：二面角 题型 3：利用空间向量求距离 角度1：点到线距离 角度2：点到面距离 角度3：异面直线距离 题型一：位置关系的判断 1．（24-25高二上·辽宁·期中）（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（   ） A．若，则x，y，z满足： B．若，则x，y，z满足： C．若，则x，y，z满足： D．若，则x，y，z满足： 2．（23-24高二上·辽宁大连·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，若A，B，C三点共线，则BC的长为________． 3．（23-24高二上·山东·阶段检测）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 5．（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 6．（19-20高二下·江西·期末）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则______. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 题型二：利用空间向量求角度 角度1：异面直线成角 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 13．（25-26高二上·辽宁阜新·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 14．（22-23高二上·安徽滁州·阶段检测）若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________ 15．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 角度2：线面角 16．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（   ）    A． B．长为 C．直线与底面所成角为 D． 17．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）（多选）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ）.    A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 18．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）如图，为圆柱的母线，为圆柱的底面直径，点在底面圆周上（不与重合），为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．    (1)证明：； (2)当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）如图，已知菱形ADCB和菱形ADEF的边长均为2，M，N分别为AE、BD上的点，且． (1)用向量法证明：平面ABF； (2)设，，当MN的长度最小时，求AF与平面MND所成角的正弦值． 21．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 22．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 角度3：二面角 23．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________． 24．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（    ） A．对任意不平行 B．存在，使得垂直 C．当夹角的余弦值为时， D．不存在，使得的夹角在区间内 26．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)若侧面与侧面的交线为，求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 28．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，等腰直角三角形中，，D是中点，E、F分别是、边上的动点，且，，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．设，，．    (1)试用表示． (2)若时，平面．求与垂直的平面和平面所成角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点F，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 29．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 题型三：利用空间向量求距离 角度1：点到线距离 30．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 32．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 33．（24-25高二上·广西百色·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 34．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 角度2：点到面距离 36．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 39．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知空间中三点，则（    ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点关于平面的对称点是 41．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 角度3：异面直线距离 42．（22-23高二上·辽宁大连·阶段检测）正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 43．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 44．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 45．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 46．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $