专题05 利用空间向量法求空间距离11种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量法为核心，系统梳理11类空间距离考法，构建“概念-原理-应用”逻辑链条，突出空间观念与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间距离11类考法|每类含1例题+3变式|向量模长/勾股关系/法向量投影等7种核心方法|从两点距离（基础）→点线/点面距离（核心）→平行/异面距离（拓展），层层递进|

专题05 利用空间向量法求空间距离11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 求两点间的距离 题型 02 求点到直线的距离 题型 03 求点到直线的距离的最值问题 题型 04 由点到直线的距离求参 题型 05 求平行直线距离 题型 06 求点到平面的距离 题型 07 求点到平面距离的最值问题 题型 08 由点到平面的距离求参 题型 09 求平行直线与平面的距离 题型 10 求两平行平面的距离 题型 11 求两条异面直线的距离 ▌题型01 求两点间的距离 1.核心逻辑 两点距离等于连接两点向量的模，直接用坐标差平方和开根号计算，是所有空间距离的基础。 2.解题步骤 ① 建立空间直角坐标系，写出两个点完整坐标； ② 写出两点构成向量的坐标（终点坐标减起点坐标）； ③ 各坐标分别平方相加，再开算术平方根； ④ 直接写出结果，距离恒为正数。 3.易错提醒 坐标做差颠倒顺序；平方后忘记开根号；算出负数距离。 【例1】（2026高二·全国·暑假作业）在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【变式1-1】（2026高二·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026·广西桂林·模拟预测）已知直三棱柱中，平面平面，点为线段上靠近点的三等分点，点为直线上的动点，且，. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值： (3)求周长的最小值. 【变式1-3】（2026高二·浙江·开学考试）在三棱锥中，为的中点，为的三等分点（靠近点）. (1)证明：平面； (2)求线段的长. ▌题型02 求点到直线的距离 1.核心逻辑 将拆分为平行于直线的投影线段、垂直直线的垂线段，两线段垂直构成直角三角形，斜边为。 勾股关系：，变形得。 2.解题步骤 ①建系，写出直线定点、外部点坐标，求直线方向向量； ②构造向量，计算模长； ③计算投影长度； ④斜边平方减去投影长度平方，整体开根号得到垂距。 3.易错提醒 勾股式计算颠倒顺序（用投影平方减斜边平方，根号内为负数）；混淆投影长度和垂距。 【例2】（2026高二·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【变式2-1】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式2-2】（2026高二·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【变式2-3】（2026高二·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. ▌题型03 求点到直线的距离的最值问题 1.核心逻辑 动点坐标带参数，距离公式含根号，先平方消根号转化为二次函数，利用二次函数顶点求最值，最后再开根号还原距离。 2.解题步骤 ①设出动点含参坐标，代入点到直线勾股距离公式； ②将距离整体平方，化简为一元二次函数； ③配方，求出二次函数最大、最小值； ④对平方后的最值开算术平方根，得到距离最值； ⑤标注参数满足的取值范围。 3.易错提醒 不平方直接对带根号函数求最值；配方时符号出错。 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【变式3-1】（2026高二·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【变式3-2】（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【变式3-3】（2026高三·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. ▌题型04 由点到直线的距离求参 1.核心逻辑 题目给出固定距离，把含参向量代入点到直线距离公式，构造方程求解参数。 2.解题步骤 ①写出带参数的点坐标或直线方向向量； ②代入勾股形式距离公式，列出等式； ③等式两边平方，消去根号与绝对值； ④解方程，检验分母，舍去不符合题意的增根。 3.易错提醒 不平方直接去掉绝对值，造成漏解；不检验模长为0的无效参数。 【例4】（2026高二·河南驻马店·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式4-1】（2026高三·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【变式4-2】（2026高二·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，； ①求与平面所成的角； ②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【变式4-3】【多选】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B．当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C．存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D．存在F，使得点F到直线AE的距离为3 ▌题型05 求平行直线距离 1.核心逻辑 两条直线平行，无交点，两直线距离=任一条直线上任意一点，到另一条直线的距离。 2.解题步骤 ①建系，写出两条直线定点、共同方向向量； ②任选一条直线上一点，另一条直线取定点； ③使用勾股形式点到直线距离公式计算； ④计算结果即为两平行线距离。 3.易错提醒 未先证明两直线平行就直接计算；定点选取复杂增加计算量。 【例5】（2026高二·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 【变式5-1】（2026高二·河南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是线段，AB，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线到直线的距离； (3)求直线到平面的距离． 【变式5-2】（2026高二·重庆·期中）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线的距离； (3)求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值. 【变式5-3】（2026高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． ▌题型06 求点到平面的距离 1.核心逻辑 点到平面距离是点与平面内所有点连线的最短长度，等于向量在平面法向量上投影的绝对值。 公式： 2.解题步骤 ①建系，写出平面内定点、平面外点坐标； ②在平面内取两条不共线向量，解方程组求出平面法向量； ③构造向量，计算数量积； ④代入公式计算，绝对值保证距离非负。 3.易错提醒 去掉绝对值，算出负数；混淆线面角公式与点面距离公式。 【例6】（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【变式6-1】（2026高二·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式6-2】（2026高二·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【变式6-3】（2026高二·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． ▌题型07 求点到平面距离的最值问题 1.核心逻辑 动点含参数，将距离平方转化为不含根号的二次函数，通过配方求平方的最值，再开根号得到距离最值。 2.解题步骤 ①设含参动点坐标，代入点面距离公式； ②距离整体平方，化简为二次函数； ③配方求出平方后的最大、最小值； ④开算术平方根，写出距离取值范围； ⑤验证参数取值符合题目限制。 3.易错提醒 忽略绝对值符号；二次函数顶点判断错误。 【例7】（2026高二·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 【变式7-1】（2026高二·江西吉安·期末）在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 【变式7-2】【多选】（2026高二·河南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【变式7-3】（2026高二·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. ▌题型08 由点到平面的距离求参 1.核心逻辑 已知固定点面距离，代入投影距离公式构造方程，解参数。 2.解题步骤 ①写出带参数的点坐标/平面法向量； ②代入列等式； ③等式两边平方，去掉绝对值与根号； ④解方程，检验法向量模，舍去增根。 3.易错提醒 不平方直接去绝对值；求出参数后不验证题意。 【例8】（2026高一·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【变式8-1】（2026高二·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【变式8-2】（2026高二·北京昌平·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（2026高三·河北衡水·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型09 求平行直线与平面的距离 1.核心逻辑 直线与平面平行时，直线上所有点到平面距离相等，线面距离=直线上任意一点到平面的距离；若直线与平面相交，不存在距离。 2.解题步骤 ①先验证直线方向向量与平面法向量数量积为0，证明线面平行； ②在直线上任取一个定点； ③代入点到平面距离公式计算； ④结果即为线面之间距离。 3.易错提醒 未证明线面平行直接计算；直线和平面相交仍求距离。 【例9】（2026高二·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式9-1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【变式9-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【变式9-3】（2026高二·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． ▌题型10 求两平行平面的距离 1.核心逻辑 两平面平行，平面之间距离=其中一个平面内任意一点，到另一个平面的距离；两平面相交无距离。 2.解题步骤 ①分别求出两个平面的法向量，验证两法向量成比例，证明面面平行； ②在其中一个平面任选定点； ③计算该点到另一平面的距离； ④结果为两平行平面距离。 3.易错提醒 两平面相交时强行计算；忘记验证面面平行。 【例10】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【变式10-2】（2026高二·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【变式10-3】（2026高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    ▌题型11 求两条异面直线的距离 1.核心逻辑 不用叉乘，转化为点面距离：过其中一条异面直线作平面，使该平面平行于另一条异面直线，则另一条直线上任意一点到这个平面的长度，就是异面直线距离。 2.解题步骤 ①建系，设异面直线，取上定点，方向向量； ②取内两条不共线向量，搭配，构造平面（平面包含且平行）； ③求出平面的法向量； ④在上任取一点，用点面距离公式计算； ⑤算出数值即为异面直线距离。 3.易错提醒 构造平面时向量选取错误，平面不平行另一条异面直线；未先判定两直线异面。 【例11】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【变式11-1】（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【变式11-2】（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 【变式11-3】（2026高二·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用空间向量法求空间距离11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 求两点间的距离 题型 02 求点到直线的距离 题型 03 求点到直线的距离的最值问题 题型 04 由点到直线的距离求参 题型 05 求平行直线距离 题型 06 求点到平面的距离 题型 07 求点到平面距离的最值问题 题型 08 由点到平面的距离求参 题型 09 求平行直线与平面的距离 题型 10 求两平行平面的距离 题型 11 求两条异面直线的距离 ▌题型01 求两点间的距离 1.核心逻辑 两点距离等于连接两点向量的模，直接用坐标差平方和开根号计算，是所有空间距离的基础。 2.解题步骤 ① 建立空间直角坐标系，写出两个点完整坐标； ② 写出两点构成向量的坐标（终点坐标减起点坐标）； ③ 各坐标分别平方相加，再开算术平方根； ④ 直接写出结果，距离恒为正数。 3.易错提醒 坐标做差颠倒顺序；平方后忘记开根号；算出负数距离。 【例1】（2026高二·全国·暑假作业）在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，由题意得，再得到点的坐标即可求解； （2）通过向量与的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角， 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 【变式1-1】（2026高二·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 【变式1-2】（2026·广西桂林·模拟预测）已知直三棱柱中，平面平面，点为线段上靠近点的三等分点，点为直线上的动点，且，. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值： (3)求周长的最小值. 【答案】(1) 在直三棱柱中面，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面角的向量方法，求出二面角的余弦值； （3）根据向量共线的坐标表示，求出动点坐标，进而求出三角形三边长度的表达式，根据表达式判断周长最小时的取值情况，进而求出结果. 【详解】（1）略 （2）因为面，所以，因为平面，平面，所以， 如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，且点为线段上靠近点的三等分点， 可得， 可得， 所以， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设二面角为， 则. （3）可知，设，， 则，解得，即， 所以， ， 可知当取得最小值时，同时取得最小值， 即， 所以，， 因为，所以周长的最小值为. 【变式1-3】（2026高二·浙江·开学考试）在三棱锥中，为的中点，为的三等分点（靠近点）. (1)证明：平面； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，再利用线面垂直判定定理证明结论； （2）法一：利用基底表示，根据数量积的运算律及定义求结论； 法二：由条件求，再求，证明，解三角形求结论； 法三：先证明平面，建立空间直角坐标系，结合空间两点距离公式求结论即可. 【详解】（1），同理可得. 又为的中点，. 为的中点，. 平面平面， ∴平面. （2）法一：， ， . 代入得. 法二：. ，可得. 为的三等分点（靠近点），， 在直角中，. 法三：由法二得，又平面， 平面.如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 为的三等分点（靠近点）， . ▌题型02 求点到直线的距离 1.核心逻辑 将拆分为平行于直线的投影线段、垂直直线的垂线段，两线段垂直构成直角三角形，斜边为。 勾股关系：，变形得。 2.解题步骤 ①建系，写出直线定点、外部点坐标，求直线方向向量； ②构造向量，计算模长； ③计算投影长度； ④斜边平方减去投影长度平方，整体开根号得到垂距。 3.易错提醒 勾股式计算颠倒顺序（用投影平方减斜边平方，根号内为负数）；混淆投影长度和垂距。 【例2】（2026高二·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 【变式2-1】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【变式2-2】（2026高二·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 【变式2-3】（2026高二·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. ▌题型03 求点到直线的距离的最值问题 1.核心逻辑 动点坐标带参数，距离公式含根号，先平方消根号转化为二次函数，利用二次函数顶点求最值，最后再开根号还原距离。 2.解题步骤 ①设出动点含参坐标，代入点到直线勾股距离公式； ②将距离整体平方，化简为一元二次函数； ③配方，求出二次函数最大、最小值； ④对平方后的最值开算术平方根，得到距离最值； ⑤标注参数满足的取值范围。 3.易错提醒 不平方直接对带根号函数求最值；配方时符号出错。 【例3】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 【变式3-1】（2026高二·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. 【变式3-2】（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，进而可根据勾股定理得到，，再利用线面垂直的判定定理即可证明得到平面，从而利用空间向量的坐标运算求解线与线夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离即可求解； （3）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离以及二次函数的性质求解. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 【变式3-3】（2026高三·山西·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】(1)由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）略 （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． ▌题型04 由点到直线的距离求参 1.核心逻辑 题目给出固定距离，把含参向量代入点到直线距离公式，构造方程求解参数。 2.解题步骤 ①写出带参数的点坐标或直线方向向量； ②代入勾股形式距离公式，列出等式； ③等式两边平方，消去根号与绝对值； ④解方程，检验分母，舍去不符合题意的增根。 3.易错提醒 不平方直接去掉绝对值，造成漏解；不检验模长为0的无效参数。 【例4】（2026高二·河南驻马店·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 【变式4-1】（2026高三·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1) 过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； (2) 由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】（2026高二·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，； ①求与平面所成的角； ②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点. ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面； （2）①在平面内过点作，由平面底面得平面， 菱形中，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，所以， 设直线与平面所成的平面角为，且， 则， 故直线与平面所成的角为 ②设 即 化简得，故（舍负） 综上，存在点， 【变式4-3】【多选】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B．当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C．存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D．存在F，使得点F到直线AE的距离为3 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，所以B正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，所以C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以方程无解，故点不存在，故D错误. ▌题型05 求平行直线距离 1.核心逻辑 两条直线平行，无交点，两直线距离=任一条直线上任意一点，到另一条直线的距离。 2.解题步骤 ①建系，写出两条直线定点、共同方向向量； ②任选一条直线上一点，另一条直线取定点； ③使用勾股形式点到直线距离公式计算； ④计算结果即为两平行线距离。 3.易错提醒 未先证明两直线平行就直接计算；定点选取复杂增加计算量。 【例5】（2026高二·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线，的方向向量，证明两直线平行，再利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】以点为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为，， 所以，即， 所以点到直线的距离，即为直线到直线的距离． 取，又， 所以，， 所以直线到直线的距离 ． 【变式5-1】（2026高二·河南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是线段，AB，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线到直线的距离； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) 证明：以A为原点，分别以AD，AB，所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则得 令，得平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则得 令，得平面的一个法向量为． 因为，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）建立如图所示坐标系，分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两向量相等即可证明； （2）先证明点到直线AE的距离即为直线到直线AE的距离，在利用空间向量公式求出距离即可； （3）先证明直线到平面的距离等于点到平面的距离，再代入空间点到平面的距离公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 所以，即， 所以点到直线AE的距离即为直线到直线AE的距离， 又，则，， 所以直线到直线AE的距离为． （3）因为平面平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 【变式5-2】（2026高二·重庆·期中）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线的距离； (3)求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1) 因为侧面为菱形，，， 所以、为边长为的等边三角形， 在平面内作，垂足为点，则点为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，可得， 又，，、平面，可得平面， 因为平面，所以， 因为侧面为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）作交于点，由面面垂直的性质可得平面，可得，再由线面垂直的判定定理得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，连接，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线的距离； （3）利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的平面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为四边形为菱形，则，， 因为、分别为、的中点，所以，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，则平面， 又因为平面，平面，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，， 因为，所以，直线与直线的距离为 . （3）设平面的法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以，，则. 因此，平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为. 【变式5-3】（2026高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为平面平面，所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求解点面距离，即可得解. （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，先利用向量法判断，然后利用平行线的向量距离公式求解即可； （ⅱ）求出平面的法向量，先利用向量法证明平面，然后利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】（1）在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面. 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离． 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得故是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离， 即平面与平面之间的距离为． （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 所以，，则，即，则， 所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离． 连接，因为， 所以点到直线的距离， 所以直线到直线的距离为． （ⅱ）易得，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得是平面的一个法向量． 因为，所以，又平面，所以平面， 所以直线到平面的距离可转化成点到平面的距离． 因为，所以直线到平面的距离． ▌题型06 求点到平面的距离 1.核心逻辑 点到平面距离是点与平面内所有点连线的最短长度，等于向量在平面法向量上投影的绝对值。 公式： 2.解题步骤 ①建系，写出平面内定点、平面外点坐标； ②在平面内取两条不共线向量，解方程组求出平面法向量； ③构造向量，计算数量积； ④代入公式计算，绝对值保证距离非负。 3.易错提醒 去掉绝对值，算出负数；混淆线面角公式与点面距离公式。 【例6】（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 【变式6-1】（2026高二·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 【变式6-2】（2026高二·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 【变式6-3】（2026高二·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． ▌题型07 求点到平面距离的最值问题 1.核心逻辑 动点含参数，将距离平方转化为不含根号的二次函数，通过配方求平方的最值，再开根号得到距离最值。 2.解题步骤 ①设含参动点坐标，代入点面距离公式； ②距离整体平方，化简为二次函数； ③配方求出平方后的最大、最小值； ④开算术平方根，写出距离取值范围； ⑤验证参数取值符合题目限制。 3.易错提醒 忽略绝对值符号；二次函数顶点判断错误。 【例7】（2026高二·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 (3) 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. （3）由点到平面的距离结合二次函数在区间的值域求解即可. 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接， ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. （3）由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 【变式7-1】（2026高二·江西吉安·期末）在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度； （2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. （2）若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 【变式7-2】【多选】（2026高二·河南·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 、、，设点，其中， 对于A选项，，， 所以，则，A对； 对于B选项，设平面的一个法向量为，， 则，令，可得，， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，则，此时， 综上所述，， 设直线与直线所成角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，， 令，其中， 任取、且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，，同理， 所以，即，故函数在上单调递增， 且，，故当时，， 所以，D对. 故选：ACD. 【变式7-3】（2026高二·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，设出点的坐标，结合为菱形和条件可得到，；由此得到，然后求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于的关系式，最后根据的范围即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. ▌题型08 由点到平面的距离求参 1.核心逻辑 已知固定点面距离，代入投影距离公式构造方程，解参数。 2.解题步骤 ①写出带参数的点坐标/平面法向量； ②代入列等式； ③等式两边平方，去掉绝对值与根号； ④解方程，检验法向量模，舍去增根。 3.易错提醒 不平方直接去绝对值；求出参数后不验证题意。 【例8】（2026高一·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平行. （ii）建立空间直角坐标系，通过平面的法向量，结合点到平面的距离公式列方程，求解得到参数. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 【变式8-1】（2026高二·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点， 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 【变式8-2】（2026高二·北京昌平·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【详解】（1）略 （2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. （3）已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 【变式8-3】（2026高三·河北衡水·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为 平面，平面，则 ， 在正方形中， ，因 ，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明 平面 ，得到，再证，求得，从而可得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，因平面，则， 因 平面，平面，则 ， 又 ，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因 ，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面 ，则 平面 ， 因为平面 ，则，即， 即由（1）平面，因 平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. （3）以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， ，则， 假设线段上存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. ▌题型09 求平行直线与平面的距离 1.核心逻辑 直线与平面平行时，直线上所有点到平面距离相等，线面距离=直线上任意一点到平面的距离；若直线与平面相交，不存在距离。 2.解题步骤 ①先验证直线方向向量与平面法向量数量积为0，证明线面平行； ②在直线上任取一个定点； ③代入点到平面距离公式计算； ④结果即为线面之间距离。 3.易错提醒 未证明线面平行直接计算；直线和平面相交仍求距离。 【例9】（2026高二·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 【变式9-1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 【变式9-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 【变式9-3】（2026高二·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. ▌题型10 求两平行平面的距离 1.核心逻辑 两平面平行，平面之间距离=其中一个平面内任意一点，到另一个平面的距离；两平面相交无距离。 2.解题步骤 ①分别求出两个平面的法向量，验证两法向量成比例，证明面面平行； ②在其中一个平面任选定点； ③计算该点到另一平面的距离； ④结果为两平行平面距离。 3.易错提醒 两平面相交时强行计算；忘记验证面面平行。 【例10】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 【变式10-1】（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 【变式10-2】（2026高二·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【变式10-3】（2026高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. ▌题型11 求两条异面直线的距离 1.核心逻辑 不用叉乘，转化为点面距离：过其中一条异面直线作平面，使该平面平行于另一条异面直线，则另一条直线上任意一点到这个平面的长度，就是异面直线距离。 2.解题步骤 ①建系，设异面直线，取上定点，方向向量； ②取内两条不共线向量，搭配，构造平面（平面包含且平行）； ③求出平面的法向量； ④在上任取一点，用点面距离公式计算； ⑤算出数值即为异面直线距离。 3.易错提醒 构造平面时向量选取错误，平面不平行另一条异面直线；未先判定两直线异面。 【例11】（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 【变式11-1】（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 【变式11-2】（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 【答案】(1)过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求出；②求出点的轨迹，再求出过点与轨迹相切的直线与平面交点的轨迹，求出异面直线公垂线的方向向量，并求出在此方向向量上的投影的绝对值范围即可. 【详解】（1）略 （2）①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 【变式11-3】（2026高二·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用空间向量法求空间距离11种常见考法归类 ▌题型01 求两点间的距离 【例1】【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，由题意得，再得到点的坐标即可求解； （2）通过向量与的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角， 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 【变式1-1】【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 【变式1-2】【答案】(1) 在直三棱柱中面，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面角的向量方法，求出二面角的余弦值； （3）根据向量共线的坐标表示，求出动点坐标，进而求出三角形三边长度的表达式，根据表达式判断周长最小时的取值情况，进而求出结果. 【详解】（1）略 （2）因为面，所以，因为平面，平面，所以， 如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，且点为线段上靠近点的三等分点， 可得， 可得， 所以， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设二面角为， 则. （3）可知，设，， 则，解得，即， 所以， ， 可知当取得最小值时，同时取得最小值， 即， 所以，， 因为，所以周长的最小值为. 【变式1-3】【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，再利用线面垂直判定定理证明结论； （2）法一：利用基底表示，根据数量积的运算律及定义求结论； 法二：由条件求，再求，证明，解三角形求结论； 法三：先证明平面，建立空间直角坐标系，结合空间两点距离公式求结论即可. 【详解】（1），同理可得. 又为的中点，. 为的中点，. 平面平面， ∴平面. （2）法一：， ， . 代入得. 法二：. ，可得. 为的三等分点（靠近点），， 在直角中，. 法三：由法二得，又平面， 平面.如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 为的三等分点（靠近点）， . ▌题型02 求点到直线的距离 【例2】【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 【变式2-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【变式2-2】【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 【变式2-3】【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. ▌题型03 求点到直线的距离的最值问题 【例3】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 【变式3-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. 【变式3-2】【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出，进而可根据勾股定理得到，，再利用线面垂直的判定定理即可证明得到平面，从而利用空间向量的坐标运算求解线与线夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离即可求解； （3）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离以及二次函数的性质求解. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 【变式3-3】【答案】(1)由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）略 （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． ▌题型04 由点到直线的距离求参 【例4】【答案】(1) 证明：取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 【变式4-1】【答案】(1) 过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； (2) 由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】【答案】(1)证明见解析； (2)①；②存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点. ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面； （2）①在平面内过点作，由平面底面得平面， 菱形中，则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，所以， 设直线与平面所成的平面角为，且， 则， 故直线与平面所成的角为 ②设 即 化简得，故（舍负） 综上，存在点， 【变式4-3】【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，所以B正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，所以C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以方程无解，故点不存在，故D错误. ▌题型05 求平行直线距离 【例5】【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线，的方向向量，证明两直线平行，再利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】以点为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为，， 所以，即， 所以点到直线的距离，即为直线到直线的距离． 取，又， 所以，， 所以直线到直线的距离 ． 【变式5-1】【答案】(1) 证明：以A为原点，分别以AD，AB，所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则得 令，得平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则得 令，得平面的一个法向量为． 因为，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）建立如图所示坐标系，分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两向量相等即可证明； （2）先证明点到直线AE的距离即为直线到直线AE的距离，在利用空间向量公式求出距离即可； （3）先证明直线到平面的距离等于点到平面的距离，再代入空间点到平面的距离公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 所以，即， 所以点到直线AE的距离即为直线到直线AE的距离， 又，则，， 所以直线到直线AE的距离为． （3）因为平面平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 【变式5-2】【答案】(1) 因为侧面为菱形，，， 所以、为边长为的等边三角形， 在平面内作，垂足为点，则点为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，可得， 又，，、平面，可得平面， 因为平面，所以， 因为侧面为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）作交于点，由面面垂直的性质可得平面，可得，再由线面垂直的判定定理得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，连接，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线的距离； （3）利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的平面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为四边形为菱形，则，， 因为、分别为、的中点，所以，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，则平面， 又因为平面，平面，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，， 因为，所以，直线与直线的距离为 . （3）设平面的法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以，，则. 因此，平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为. 【变式5-3】【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为平面平面，所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求解点面距离，即可得解. （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，先利用向量法判断，然后利用平行线的向量距离公式求解即可； （ⅱ）求出平面的法向量，先利用向量法证明平面，然后利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】（1）在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面. 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离． 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得故是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离， 即平面与平面之间的距离为． （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 所以，，则，即，则， 所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离． 连接，因为， 所以点到直线的距离， 所以直线到直线的距离为． （ⅱ）易得，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得是平面的一个法向量． 因为，所以，又平面，所以平面， 所以直线到平面的距离可转化成点到平面的距离． 因为，所以直线到平面的距离． ▌题型06 求点到平面的距离 【例6】【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 【变式6-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 【变式6-2】【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 【变式6-3】【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． ▌题型07 求点到平面距离的最值问题 【例7】【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 (3) 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. （3）由点到平面的距离结合二次函数在区间的值域求解即可. 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接， ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. （3）由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 【变式7-1】【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度； （2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. （2）若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 【变式7-2】【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 、、，设点，其中， 对于A选项，，， 所以，则，A对； 对于B选项，设平面的一个法向量为，， 则，令，可得，， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，则，此时， 综上所述，， 设直线与直线所成角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，， 令，其中， 任取、且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，，同理， 所以，即，故函数在上单调递增， 且，，故当时，， 所以，D对. 故选：ACD. 【变式7-3】【答案】 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，设出点的坐标，结合为菱形和条件可得到，；由此得到，然后求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于的关系式，最后根据的范围即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. ▌题型08 由点到平面的距离求参 【例8】【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平行. （ii）建立空间直角坐标系，通过平面的法向量，结合点到平面的距离公式列方程，求解得到参数. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 【变式8-1】【答案】(1) 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点， 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 【变式8-2】【答案】(1)在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【详解】（1）略 （2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. （3）已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 【变式8-3】【答案】(1)因为 平面，平面，则 ， 在正方形中， ，因 ，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明 平面 ，得到，再证，求得，从而可得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，因平面，则， 因 平面，平面，则 ， 又 ，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因 ，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面 ，则 平面 ， 因为平面 ，则，即， 即由（1）平面，因 平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. （3）以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， ，则， 假设线段上存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. ▌题型09 求平行直线与平面的距离 【例9】【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 【变式9-1】【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 【变式9-2】【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 【变式9-3】【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. ▌题型10 求两平行平面的距离 【例10】【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 【变式10-1】【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 【变式10-2】【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【变式10-3】【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. ▌题型11 求两条异面直线的距离 【例11】【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 【变式11-1】【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 【变式11-2】【答案】(1)过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求出；②求出点的轨迹，再求出过点与轨迹相切的直线与平面交点的轨迹，求出异面直线公垂线的方向向量，并求出在此方向向量上的投影的绝对值范围即可. 【详解】（1）略 （2）①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 【变式11-3】【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $