专题01 空间向量与立体几何（题型专练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建线面角、二面角、空间距离的解题方法体系，通过“概念-公式-典例-变式”逻辑链实现知识迁移，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与平面的夹角|1典例+3变式|sinθ=|cos〈方向向量,法向量〉|由线面位置关系抽象向量关系，通过向量运算解决空间角问题| |二面角|1典例+3变式|cosθ=|cos〈两平面法向量〉|基于面面相交关系，利用法向量夹角推导二面角计算方法| |空间中的距离|1典例+3变式|点到面距离=|向量投影|/|法向量| |从点线距离拓展到点面距离，构建距离问题的向量统一解法|

专题01 空间向量与立体几何 （题型突破·举一反三） 题型01 直线与平面的夹角 题型02 二面角 题型03 空间中的距离 ▌题型01 直线与平面的夹角 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 【典例1】（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【变式1-1】（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式1-2】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    【变式1-3】（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1）略 （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． ▌题型02 二面角 平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 【典例1】（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 【变式1-1】（25-26高二下·青海西宁·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图，设与的交点为，连接， ∵在三棱柱中，四边形是平行四边形，∴是的中点， 又∵为的中点，∴是三角形的中位线， ∴，又∵平面，平面，∴平面. (2) 【详解】（1）略. （2）∵，，， 平面，∴平面， ∴，又∵侧面为正方形，∴， 以为原点，分别以的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则，， ，，，    ∵轴底面，∴取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， ，则，化简得， 令，则，即， 设二面角的平面角为，由图可判断为钝角， 则. 【变式1-2】  （25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 【答案】(1)解法一：连接，设，如图所示： 因为底面，且底面，所以， 又因为底面为正方形，所以，且 所以平面， 因为平面，所以． 解法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 设， 则， 因为，所以，即. (2) (3) 【分析】（1）方法一：利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用锥体体积公式和等体积法求解； （3）方法一：利用二面角的定义求解；方法二：利用向量法求二面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为底面，所以， 无论在棱上的任何位置，可得， 所以． （3）解法一：连接，如图所示： 当是棱的中点时，， 又因为是的中点，所以，， 所以为平面和平面所成角（或其补角）． 在正方体中，设棱长为， 因为是棱的中点，由平面几何知识，得， 所以，即， 所以平面和平面所成角的大小为． 解法二：由（1）方法二以及为棱上的中点得： ，， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 由，可得，即， 所以平面平面 所以平面和平面所成角的大小为． 【变式1-3】（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图． ，，，，， ，，，，，． ，，， ，，即； ，，即． 又，，平面，平面． (2) (3)2 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证； （2）由面面角的向量求法可得； （3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则 ，， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为． （3）在棱上取点，使，连接． ，．，． 又平面，平面，平面． ∴点到平面的距离与点到平面的距离相等， ． ，，. ，， ， 即三棱锥的体积为2． ▌题型03 空间中的距离 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 2.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ===. 【典例1】（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式1-2】  （25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 【变式1-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 （题型突破·举一反三） 题型01 直线与平面的夹角 题型02 二面角 题型03 空间中的距离 ▌题型01 直线与平面的夹角 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 【典例1】（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1-1】（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1-2】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1-3】（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． ▌题型02 二面角 平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 【典例1】（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式1-1】（25-26高二下·青海西宁·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式1-2】  （25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 【变式1-3】（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． ▌题型03 空间中的距离 1.点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 2.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ===. 【典例1】（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式1-2】  （25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式1-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 【典例1】 【答案】(1)因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【变式1-1】 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式1-2】 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    【变式1-3】 【答案】(1) 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1）略 （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． ▌题型02 二面角 【典例1】 【答案】(1)证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 【变式1-1】 【答案】(1)如图，设与的交点为，连接， ∵在三棱柱中，四边形是平行四边形，∴是的中点， 又∵为的中点，∴是三角形的中位线， ∴，又∵平面，平面，∴平面. (2) 【详解】（1）略. （2）∵，，， 平面，∴平面， ∴，又∵侧面为正方形，∴， 以为原点，分别以的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则，， ，，，    ∵轴底面，∴取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， ，则，化简得， 令，则，即， 设二面角的平面角为，由图可判断为钝角， 则. 【变式1-2】   【答案】(1)解法一：连接，设，如图所示： 因为底面，且底面，所以， 又因为底面为正方形，所以，且 所以平面， 因为平面，所以． 解法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 设， 则， 因为，所以，即. (2) (3) 【分析】（1）方法一：利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用锥体体积公式和等体积法求解； （3）方法一：利用二面角的定义求解；方法二：利用向量法求二面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为底面，所以， 无论在棱上的任何位置，可得， 所以． （3）解法一：连接，如图所示： 当是棱的中点时，， 又因为是的中点，所以，， 所以为平面和平面所成角（或其补角）． 在正方体中，设棱长为， 因为是棱的中点，由平面几何知识，得， 所以，即， 所以平面和平面所成角的大小为． 解法二：由（1）方法二以及为棱上的中点得： ，， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 由，可得，即， 所以平面平面 所以平面和平面所成角的大小为． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图． ，，，，， ，，，，，． ，，， ，，即； ，，即． 又，，平面，平面． (2) (3)2 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证； （2）由面面角的向量求法可得； （3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则 ，， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为． （3）在棱上取点，使，连接． ，．，． 又平面，平面，平面． ∴点到平面的距离与点到平面的距离相等， ． ，，. ，， ， 即三棱锥的体积为2． ▌题型03 空间中的距离 【典例1】 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 【变式1-1】 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式1-2】  【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $