专题01 空间向量的运算（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量运算体系为核心，按线性运算、基本定理、坐标运算、数量积运算递进设计，通过多情境几何模型实现知识逻辑与解题能力的协同培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性运算|8题|以四面体、平行六面体为载体，考查向量线性表示与化简|从平面向量拓展至空间，构建向量合成与分解的空间观念| |基本定理|12题|聚焦基底判定、共面条件及参数求解，含多选与解答题|深化向量基本定理的理解，培养逻辑推理能力| |坐标运算|11题|结合空间直角坐标系，考查坐标表示、投影及轨迹问题|建立代数与几何的联系，发展数学语言表达能力| |数量积运算|7题|涉及夹角、距离计算及最值问题，覆盖正四面体、正方体模型|应用数量积解决空间度量问题，体现数学思维的严谨性|

专题01 空间向量的运算 题型一 线性运算 题型二 空间向量基本定理 题型三 坐标运算 题型四 数量积运算 题型一：线性运算 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 2．（23-24高二上·贵州·阶段检测）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为, 所以 . 故选：B. 5．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 6．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 7．（24-25高二上·辽宁大连·期末）平行六面体中，，，，则的长是______. 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长. 【详解】 因为， 由于在平行六面体中， 所以， 又因为，，， 所以 ， 故答案为：. 8．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，.已知，，，则______； 【答案】或/或 【分析】根据空间向量的线性运算法则，可得，左右同时平方，结合题意，整理可得，根据异面直线a，b所成的角为，可得或，代入即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 又，，， 所以， 因为异面直线a，b所成的角为， 所以或， 当时，， 所以，解得； 当时，， 所以，解得. 所以或.    故答案为：或 题型二：空间向量基本定理 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面 【答案】AB 【分析】对于A，分，同向反向两种情况讨论即可判断； 对于B，举反例即可； 对于C，反证法即可求解； 对于D，利用四点共面的充要条件即可求解. 【详解】选项A：若，则，即， 化简得，即，所以，反向共线，当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立，所以是，共线的充分不必要条件，A错误； 选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误； 选项C：假设存在x，y，z，使得， 整理得. 因为为空间的一个基底，所以，，不共面，则， 解得，所以，，不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确； 选项D：若P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使得，且， 已知，，所以P，A，B，C四点不共面. 故选：AB 10．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）（多选）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】ABD 【分析】根据向量共线、向量共面、向量平行及基底的相关知识逐项分析即可. 【详解】选项A：若，则，即， 化简得，即，所以，反向共线. 当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立， 所以是，共线的充分不必要条件，A错误； 选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误； 选项C：假设存在，，，使得， 整理得. 因为为空间的一个基底，所以不共面， 则，解得，所以不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确； 选项D：若，，，四点共面， 则存在实数，，，使得，且. 已知，，所以，，，四点不共面，D错误. 故选：ABD. 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中四点共面的向量定理可求得的值. 【详解】由，得， 所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面， 由空间中四点共面的向量定理可知，，解得， 故选：D. 12．（25-26高二上·吉林·开学考试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 13．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 14．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由平方可判断A；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；求出，利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示：    因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）（多选）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】选项A：向量分解法，拆分为基向量（）的组合，结合点的中点关系推导表达式； 选项B：向量点积法，展开，利用直三棱柱侧棱垂直、正三角形夹角性质计算点积； 选项C：平面投影，作向量端点到平面的垂线，用勾股定理算投影向量模长； 选项D：直线投影，作端点到直线的垂线，或用投影公式算投影向量； 【详解】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以 选项A：，A正确； 选项B ：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是， 所以； ； 又，故， 所以 ，B错误； 选项C ：过作平面，垂足为，易知， 过作平面，垂足为，易知， 即在平面上的投影向量为， 所以.C正确； 选项D ：过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为， 因为，则：.D错误.    故选：AC. 16．（25-26高二上·上海·期中）下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】①②④ 【分析】根据直线的方向向量可判定①，根据三角形重心的性质可判定②，根据空间向量的共面定理及基底的定义可判定③、④. 【详解】对于①，由于两直线不同，所以两直线平行时其对应方向向量也平行， 反之当两直线的方向向量平行时可知两直线也平行，即①正确； 对于②，由， 则有， 即，则，故、、三向量共面， 取中点，则有， 同理取中点，，所以为的重心，即②正确； 对于③，由， 由空间向量的共面定理可知，三个向量共面，故③错误； 对于④，由空间向量的共面定理可知，存在实数、， 使得，即， 所以存在不全为0的实数，使得，故④正确. 故答案为：①②④. 17．（25-26高二上·江西南昌·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】BD 【分析】A项，由空间向量的定义可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确. 故选： BD. 18．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)用表示，并求； (2)求与夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在点且. 【分析】（1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案； （3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． （3）当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即， 由，解得，，， 故存在点且. 19．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平行六面体分别是上的点，且满足，，体对角线交截面于点.设，则实数__________. 【答案】 【分析】由向量共面，可得存在实数，，使得，即可得，代入条件计算可得关于的方程，求解即可. 【详解】因为向量共面，所以存在实数，，使得， 所以， 因为，， 所以代入上式可得： ， 故可得，解得，，. 故答案为:. 20．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得，结合空间向量基本定理可求，从而得相应的坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得，，解得. 故选：C. 题型三：坐标运算 21．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知向量，，若，则（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 设，则， 所以. 故选：A 22．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 24．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 25．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中的点关于平面的对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数求解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 26．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解. 【详解】，，， . 故选：B. 27．（25-26高二上·河北衡水·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设， 由得到，由到轴的距离为，又，得到在平面的投影为圆心，半径为的圆面，此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径，从而得到到轴的距离的最大值. 【详解】设，，， ，， ， ， ， ， 表示以为球心，半径为的球， 到轴的距离为， ， 在平面的投影为圆心，半径为的圆面， 此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径， 圆面中的点到原点的最大距离为， 到轴的距离的最大值为. 故答案为：. 28．（25-26高二上·北京·期中）已知，若四点共面，则______. 【答案】/ 【分析】根据空间向量共面定理，可设，根据对应坐标相等求得 【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得， 即， 则有，解得 故答案为： 29．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，，，即可判断与不共线，从而得到，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为不存在实数使得，所以与不共线， 又点在平面内，所以， 即， 所以，解得. 故选：C 30．（25-26高二上·辽宁·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（   ） A．两条异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．四面体的体积是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用正方体的性质，得出相应点坐标及相关向量，运用向量法分析异面直线夹角，线面夹角判断选项A，B；利用点到平面距离公式计算点面距离，判断选项C；利用几何法结合三棱锥体积公式判断选项D即可． 【详解】以点为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，   正方体的棱长为1， ， ， ， 两条异面直线和所成的角为，故A正确； 平面的法向量，， 设直线与平面所成的角为， 则， ，故B错误； ，， 设平面的法向量， ，令，则， ，点到平面的距离如下， 为，故C正确； 而四面体为正方体减去4个角剩余的部分， 即 ，故D正确． 故选：ACD． 31．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 【答案】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得点的轨迹为一个球面，求得球心到平面的距离，结合截面圆的性质，得到截面圆的半径为，即可求解. 【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，设为的中心， 可得平面，且， 则， 设，因为， 可得， 整理得， 即点的轨迹为以为球心，半径为的球面， 则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为， 又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为. 故答案为：. 题型四：数量积运算 32．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 33．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 34．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示，再结合空间向量数量积的运算性质求即可. 【详解】因为，，，所以. 又，所以. 因为，，，，， 由， 所以. 所以. 故选：B 35．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先根据题意得到，且两两之间的夹角均为.对选项A，计算即可判断A正确；对选项B，计算，即可判断B错误；对选项C，计算，即可判断C正确；对选项D，分别计算和，即可判断D正确. 【详解】由已知得，且两两之间的夹角均为， 所以， 对选项A，，故A正确； 对选项B， . 故B错误； 对选项C， ，即，故C正确； 对选项D， ， 又因为，所以， 又因为余弦函数在单调递减， 故，故D正确. 故选：ACD 36．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析出三角形为直角三角形，建立空间直角坐标系，计算向量坐标求出最值. 【详解】因为中，，. 所以，所以为直角三角形，且. 所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以点竖直向上垂直于底面为轴，建立空间直角坐标系. 所以.设. ；；.. 即配方得：. 所以当且仅当时，取得最小值为. 故选：. 37．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面，， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 38．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据条件得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果. 【详解】正三棱柱的高为，所以棱柱的内切球的半径为， 设棱柱内切球与上下底面的两个切点为，且切点为上下底面的中心， 设棱柱内切球的球心为，又是该棱柱内切球的一条直径，则， 则 ， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当为内切球与正三棱柱的各面的切点时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于， 因为正三棱柱的底边长为， 则， 此时， 得到，则的取值范围是. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算 题型一 线性运算 题型二 空间向量基本定理 题型三 坐标运算 题型四 数量积运算 题型一：线性运算 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州·阶段检测）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·辽宁大连·期末）平行六面体中，，，，则的长是______. 8．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，.已知，，，则______； 题型二：空间向量基本定理 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）（多选）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面 10．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）（多选）在以下命题中，不正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·吉林·开学考试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 14．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）（多选）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（   ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 16．（25-26高二上·上海·期中）下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 17．（25-26高二上·江西南昌·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 18．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． (1)用表示，并求； (2)求与夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 19．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平行六面体分别是上的点，且满足，，体对角线交截面于点.设，则实数__________. 20．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三：坐标运算 21．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知向量，，若，则（   ） A．1 B． C．5 D． 22．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 24．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 27．（25-26高二上·河北衡水·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 28．（25-26高二上·北京·期中）已知，若四点共面，则______. 29．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 30．（25-26高二上·辽宁·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（   ） A．两条异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．四面体的体积是 31．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 题型四：数量积运算 32．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 34．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 35．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 38．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $