湖南长沙市博纳二附中青山高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，解答题融合统计、立体几何、函数等模块，通过环保竞赛、太极八卦图等情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、圆锥外接球、概率事件关系|第7题以太极八卦图为背景，体现文化传承与几何直观| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像、正方体动态问题|第11题结合动点轨迹，考查空间观念与创新意识| |填空题|3/15|统计估计、三棱锥外接球、函数不等式|第13题通过二面角求外接球，强化空间想象与推理| |解答题|5/77|统计（分层抽样、平均数）、三角函数应用、立体几何（体积、线面角）、函数奇偶性与单调性|15题环保竞赛统计分析，培养数据意识；18题四棱锥体积与线面角，综合空间观念与运算能力|

2026年上学期高一期末考试 数学（参考答案） 一、单选题 1.C【解析】由复数除法运算法则，得. 由复数模长计算公式，得. 故选：C. 2.C【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，由侧面展开图扇形弧长等于底面圆周长得，化简得. 圆锥的高，代入圆锥体积公式得，解得，故，. 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为，由勾股定理得，整理得，代入数值计算得. 外接球表面积. 故选：C. 3.D【解析】抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，各事件分别为，，，，. 由，得与不互斥，故A错误，由且，得与不对立，故B错误. 由，得与不互斥，故C错误，由且，得与为对立事件，故D正确. 故选：D. 4.D【解析】由，可得，即. 因为，将代入得. 又因为点在线段上，所以，且，. 计算，将其乘以得， 展开可得. 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 此时结合，解得，. 所以，即最小值为. 故选：D. 5.B【解析】A选项：，过作平面与相交得交线，则， 又，所以，进而，A正确. B选项：，，可能平行于，可能与相交，也可能，并非一定，B错误. C选项：，过作平面与相交得交线，则， 又，所以，而，故，C正确. D选项：两直线平行，一条直线垂直于平面，另一条也垂直于该平面， 因为，，所以，D正确. 故选：B. 6.D【解析】考虑三人都解出的情况，各自独立解出的概率相乘，即， 因此三人都解出的概率不是,A错误， 考虑没有人解出的情况，即三人都未解出，各自未解出的概率相乘, 即， 因此没有人解出的概率不是,B错误， 考虑恰有一人解出的情况，分别考虑甲、乙、丙单独解出，其余两人未解出的组合, 即， 因此恰有一人解出的概率不是,C错误， 考虑恰有两人解出的情况，分别考虑甲乙、甲丙、乙丙两人解出，另一人未解出的组合, 即， 因此恰有两人解出的概率为,D正确. 7.C【解析】由八卦图的对称性可得， 故， . 设到的距离为，则， 解得. 又. 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选：C. 8.B【解析】由题设条件，两边同时除以，得， 由正弦定理得，，代入上式得， 两边同乘，得， 由三角恒等式得， 又因为，所以，代入得， 解得， 由，且，得， 由正弦定理得. 二、多选题 9.ABC【解析】由得，故的实部为，选项A正确，由得的共轭复数为，选项B正确. ，选项C正确，计算得，故选项D错误. 故选：ABC. 10.ABD【解析】选项A：对于函数，最小正周期，A正确. 选项B：因，故，B正确. 选项C：当时，，. 故的图象不关于直线对称，C错误. 选项D：当时，，D正确. 故答案为：ABD. 11.ABD【解析】，分别为棱，的中点，得，由正方体性质得，故，取为即满足，故A正确. 棱长为的正方体中，边长为，计算得，三棱锥体积最大等价于点到平面的距离最大，正方体表面上点到该平面距离最大，求得到平面的距离， 因此，故B正确. 在侧面上且，到距离为，故的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧，由，，，得平面，故， 由此得为二面角的平面角，过作于，得，当与圆弧相切时最大，此时，即二面角正切最大值为，故C错误. 平面平面，故直线与平面所成角为等价于与平面所成角为，由平面，得线面角为，故，得，在侧面上轨迹为线段，在侧面上轨迹为线段，两段长度均为，在顶面上轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，弧长为，因此总轨迹长度为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.0.6【解析】10名学员投中的平均次数为＝6(次)， 所以投中的比例约为＝0.6. 13.【解析】取中点为，连接、，是边长为的等边三角形，得，. 由平面，平面，平面，得，，结合，平面，故平面. 由平面，得，从而为二面角的平面角，即，故. 将三棱锥补成直三棱柱，该直三棱柱的外接球即为原三棱锥的外接球，设外接球半径为，的外接圆半径. 由此可得，故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 14.8【解析】构造函数 ， 因为 ， 所以函数是奇函数，当时， ， ， 因为，所以， 因此有 ， 所以有 ，因此此时函数单调递减，而， 函数是奇函数，所以函数是实数集上的减函数， ， 因为，所以由 ，， 令 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，，∴在上的最大值为， 要想，使得不等式成立， 只需，则实数的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：(1)由频率和为得，解得，计算得成绩不高于分的总人数为，成绩不高于分的人数为. 按分层抽样比例得抽取的人中成绩不高于分的人数为. (2)利用组中值估计平均数，得. 计算得区间的累计频率为，故中位数位于内，设中位数为，列方程得，解得. (3)记”至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲获优秀为事件，乙获优秀为事件，由题意得，，且相互独立. 法. 法. 16. 解：(1)，由得，故，由此可得. 由在区间上的最大值为，得，解得，故在上的最小值为. (2)由得，化简得，因为是三角形内角，，所以，由此得，解得. 法1：以为原点建立平面直角坐标系，得，，设，则，得，. 由，展开得，化简得，计算得，解得或，故或. 法2：当在的角平分线上时，展开向量点积得，代入，，，得，整理得，解得（负根舍去）. 当在的角平分线反向延长线上时，展开得，代入整理得，解得（负根舍去），故或. 17.(1) 解：由题设条件, 结合正弦定理得. 由于,两边同乘,得 又,展开得 整理后得,由,可得. 因为,所以. (2) 解：已知,面积为, 由面积公式,代入,解得. 由余弦定理,代入,,得. 化简得. 将代入，得,解得. 因此三角形的周长为. 18. (1)解：由侧面为边长等于的正三角形，且为中点，得，且． 因为平面平面，交线为，且平面，故平面． 又底面为正方形，边长为，则底面积． 因此四棱锥的体积为． (2)解：由平面平面，得． 在正方形中，分别为中点，则． 考虑与，故， ． 又，故，． 由，且平面，得平面． 而平面，因此． (3)证明：设，连接． 由于平面，则为在平面内的射影，故为直线与平面所成的角． 在中，，得． 利用面积法：，，解得． 又，故． 在中，，得． 在中，. 19.（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； （2）在和上单调递减，证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； （3）函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一期末考试 数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2.已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 3.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于”，“点数大于且小于”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ） A.，为互斥事件 B.，为对立事件 C.，为互斥事件 D.，为对立事件 4.在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D.9 5.若m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 6.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ） A.三人都解出的概率为 B.没有人能解出的概率为 C.恰有一人解出的概率为 D.恰有两人解出的概率为 7.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）   A. B. C. D. 8.的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（） A.16 B. C. D.4 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9.已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A.的实部为 B.的共轭复数为 C. D. 10.已知函数，则（ ） A.的最小正周期为 B.的值域为 C.的图象关于直线对称 D.有个零点是 11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A.存在点使得 B.三棱锥体积的最大值为 C.当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D.当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次．试估计该训练营中学员投篮投中的比例为                  ． 13.在三棱锥中，已知底面是边长为的等边三角形，侧棱平面．若二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为                   ． 14.已知函数，若，使得不等式成立，则实数的最大值是                  ． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.（13分）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩不高于分的人数： (2) 以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16.（15分）已知函数在区间上的最大值为. (1)求常数的值，及在上的最小值； (2)的内角满足，内角，所对的边，，的平分线所在直线上一点，满足，求． 17.（15分）记的内角、、的对边分别为、、，且． (1) 求的大小； (2) 若，的面积为，求的周长． 18.（17分）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19.（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $