重难点专题02 方差与标准差（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-计算-应用”为主线，系统构建方差与标准差的方法体系，通过步骤化解题技巧与分层训练，培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方差|41题（选择/填空/解答）|定义法求方差、方程法反推未知数、方差比较稳定性、决策应用|从方差概念生成（平均数→离差→平方和→方差）到实际应用（稳定性判断、决策），形成完整逻辑链| |标准差|39题（选择/填空/解答）|方差开方求标准差、离差平方和公式、样本估计总体|以方差为基础，延伸标准差（单位一致性）、离差平方和（方差中间量），实现数据描述从定量到定性的提升|

重难点专题02 方差与标准差 模块一、方差 重难点一、求方差 计算方差，先算出这组数据的平均数，再用每一个数据减去平均数做差，将差值平方后全部相加，最后除以数据总个数。计算过程步骤多，很容易出现计算失误。要注意区分样本方差与总体方差，看清题目要求。每一步运算做好验算，不要跳步骤。最终方差一定是非负数，可以以此快速判断结果是否明显出错。 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 2．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．为了解春节期间河南省的空气质量，采用全面调查 B．射击运动员射击一次，命中靶心为必然事件 C．数据，，，，的方差为 D．数据，，，，，的众数为 4．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 5．（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 7．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 8．（2022·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 9．（2022·浙江宁波·二模）如果一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____________________． 10．（26-27八年级下·全国·课后作业）某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机捕捞了20条这种鱼，称得它们的质量 （单位：）如下：                                       估计水库中这种鱼质量的平均数和方差 （结果保留小数点后两位）． 重难点二、利用方差求未知数据的值 已知方差反推未知数，严格套用方差公式列方程求解。先写出平均数表达式，再代入方差公式，转化为方程计算未知数。注意未知数可能存在多组解，求出结果后务必带回原式检验，核对方差数值。同时要留意数据个数，不要搞错分母。排除不符合题意的解，防止出现增根，保证每一步计算准确无误。 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 3．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 7．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 8．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 9．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 10．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 11．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是______． 重难点三、根据方差判断稳定性 方差用来衡量数据波动大小。方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，波动越小，数据越稳定。做题直接对比两组方差数值大小即可。注意不能只看平均数，平均数相同才可直接比较方差。答题表述要规范，写清方差大小对应的波动情况，不要颠倒稳定性关系，避免概念理解混淆造成答题失分。 1．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为庆祝人工智能领域的重大突破，某科技公司“创新者”研发团队开展技术知识竞赛活动，经过筛选，决定从小李、小王、小孙、小赵四名员工中选择一名员工代表该团队参加比赛，经过统计，四名员工成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 小李 小王 小孙 小赵 平均数 88 88 92 92 方差 1.5 1.0 0.6 0.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的员工参赛，那么应该选择（     ） A．小李 B．小王 C．小孙 D．小赵 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．如图是小逸和小亮在射击训练中进行次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（     ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 4．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·山东青岛·中考真题）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏·中考真题）校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 7．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试．每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示． 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 哪名运动员的投篮更稳定？ 重难点四、运用方差做决策 利用方差做实际决策，先分别计算各组平均数与方差。平均数看整体平均水平，方差重点对比波动、稳定性。做题分两步分析，优先看平均数，平均数相同时，选择方差更小、更稳定的一组。答题不能只写数字，要结合题目情境说明理由。看清实际需求，看题目是追求高水平，还是追求稳定，再给出对应判断。 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（     ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26八年级下·陕西安康·期末）甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远训练中成绩的平均数都相同，方差分别为，，，，现要选一名发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是____________． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 甲 乙 丙 平均数 方差 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 8．（26-27八年级下·全国·课后作业）自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：）如表所示． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ (2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示． 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)哪台机床的性能比较好？ 10．（26-27八年级下·全国·课后作业）在体操比赛中，往往在所有裁判员给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．6名裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： ，，，，， (1)如果不去掉最高分和最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位） (2)如果去掉一个最高分和一个最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位） (3)你能从方差的角度解释哪种计算平均分的方法更合理吗？ 模块二、标准差 重难点一、标准差 标准差等于方差的算术平方根，单位和原始数据保持一致。做题先求出方差，再开平方得到标准差。牢记：方差是平方结果，标准差做开方运算，二者不要混淆。标准差同样反映波动，数值越大波动越大。开平方计算细心，不要算错根式。可以利用方差快速比对稳定性，标准差多用于实际现实情境分析。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3：乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3．下列说法中，错误的是（    ） A．甲队进攻能力强于乙队 B．甲队发挥比乙队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 3．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 4．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 6．（2017·山东青岛·一模）某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 8．（23-24九年级下·上海·阶段检测）一组数据共有5个数据，若同时扩大4倍，则标准差扩大______倍 9．（2022·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 10．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 重难点二、求离差平方和 离差平方和，就是每个数据减去平均数的差的平方全部相加，它是计算方差的中间步骤。离差平方和 = 方差 × 数据总个数。计算时，先求平均数，逐个求离差再平方求和。数字较多时，不要漏算某一组数据。算出结果可以反向验算。离差平方和永远大于或等于 0，出现负数就说明计算过程出现错误。 1．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 5．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知一组数据的方差为2，则其离差平方和是_____． 6．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 重难点三、离差平方和的应用 离差平方和常用来反推方差、未知数。已知方差和数据个数，直接相乘得到离差平方和。遇到含参数题型，把离差平方和当作等量关系列方程。要理解它代表数据整体偏离平均数的总程度，数值越大代表整体偏离越严重。解题抓住公式关系，灵活转换，做完代入回代检验，规避计算上的低级错误。 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·山西朔州·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（     ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 10．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2.0 4.7 第3个间隔 12.7 14.7 第4个间隔 22.8 0.0 22.8 因此，按组内离差平方和最小的分法为________． 11．（26-27八年级下·全国·课后作业）把表中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 10 21 22 12 9 17 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知8个地区居民人均可支配收入x（单位：万元）如下表所示． 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 居民人均可支配收入万元 根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这8个地区分为两组． 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 14．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 重难点四、用样本平均数(仿差)估计总体平均数(方差) 用样本估计总体，样本要有代表性。直接用样本平均数去估算总体平均数，用样本方差估算总体方差。记住，估计值只是近似数值，不等于总体真实数值。做题审题分清样本和总体，不要把样本数量当成总体数量。答题语言规范，要写 “估计”，不能直接断定总体就是该数值，结合题意完成作答。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 2．（2026·江苏泰州·二模）某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 3．（25-26九年级上·广西来宾·期末）为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小新家4月份前6天的用米量如下表所示： 用米量/ 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 估计小新家4月份的用米量为____________． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生开展读书节活动．为了了解全校学生借阅书刊情况，学校随机抽查了30名学生一周借书数量，并将调查数据整理如表： 借书数量（单位：本） 1 2 3 4 5 人数（单位：人） 7 14 6 2 1 (1)求这30名学生的一周借书数量的平均数； (2)若该校共有1200名学生，请根据调查的数据估计该校学生一周借书总数约是多少本？ 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示． 使用寿命 灯泡数/盏 4 9 12 18 7 这批节能灯的平均使用寿命是多少？ 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）某县为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户月用水量不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了100户家庭，调查他们的月用水量，并绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表解答下列问题： 用水量/吨 频数 百分数    10 36 24 8 (1)表中_____， ______，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数； (3)若调查的100户家庭每月的总用水量为2000吨，估计该县每户家庭的月平均用水量． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 方差与标准差 模块一、方差 重难点一、求方差 计算方差，先算出这组数据的平均数，再用每一个数据减去平均数做差，将差值平方后全部相加，最后除以数据总个数。计算过程步骤多，很容易出现计算失误。要注意区分样本方差与总体方差，看清题目要求。每一步运算做好验算，不要跳步骤。最终方差一定是非负数，可以以此快速判断结果是否明显出错。 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求方差 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】根据平均数和方差公式求解即可． 【详解】解：平均数． 方差． 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．为了解春节期间河南省的空气质量，采用全面调查 B．射击运动员射击一次，命中靶心为必然事件 C．数据，，，，的方差为 D．数据，，，，，的众数为 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】事件的分类、求众数、求方差、判断全面调查与抽样调查 【详解】解：选项：为了解春节期间河南省的空气质量，采用抽样调查，不合题意； 选项：射击运动员射击一次，命中靶心为随机事件，不合题意； 选项：数据，，，，的方差为，符合题意； 选项：数据，，，，，的众数为，不合题意． 4．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题考查平均数与方差的计算性质，当一组数据中每个数据同时加上同一个常数时，新数据的平均数等于原平均数加上该常数，方差不变，通过直接计算可验证结果． 【详解】解：∵的平均数为， ∴，可得， 新数据的平均数， ∵原方差， 新数据的方差， 化简得， 因此新数据的平均数为，方差为． 5．（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求方差、折线统计图 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两人成绩的波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 6．（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求方差 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算方差． 【详解】解：计算这组数据的平均数： ， 代入方差公式计算得：， 即这组数据的方差为2． 7．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）已知一组数据50，60，70，80，90，则这组数据的方差是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求方差 【详解】解：这组数据的平均数为， ∴ ． 8．（2022·河南信阳·模拟预测）有一组数据如下：、、、、，它们的平均数是，那么这组数据的方差是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求方差 【详解】解：根据题意得，． 9．（2022·浙江宁波·二模）如果一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____________________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求方差 【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了，所以波动不会变，方差不变． 数据，，，，的方差是， 数据，，，，的方差不变，还是． 10．（26-27八年级下·全国·课后作业）某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机捕捞了20条这种鱼，称得它们的质量 （单位：）如下：                                       估计水库中这种鱼质量的平均数和方差 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 估计水库中这种鱼质量的平均数约为，方差约为. 【难度】0.65 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】求出这20条鱼的质量的平均数和方差，估计水库中这种鱼的质量的平均数和方差即可. 【详解】解：这20条鱼的质量的平均数为 方差为； 故估计水库中这种鱼质量的平均数约为，方差约为. 重难点二、利用方差求未知数据的值 已知方差反推未知数，严格套用方差公式列方程求解。先写出平均数表达式，再代入方差公式，转化为方程计算未知数。注意未知数可能存在多组解，求出结果后务必带回原式检验，核对方差数值。同时要留意数据个数，不要搞错分母。排除不符合题意的解，防止出现增根，保证每一步计算准确无误。 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】利用方差公式中分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数求解即可． 【详解】解：方差公式中，分子各数据与的差的平方项的系数为对应数据的频数， 样本容量等于所有频数之和， 又本题中各平方项的系数分别为，，3， ． 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 3．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差，根据方差的计算公式及非负数的性质可得，进而即可求解，熟记方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、 利用方差求未知数据的值 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 7．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求众数、求一组数据的平均数、求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8， ∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多， ∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得， ∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． 8．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 9．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 10．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的定义公式，对比题目给出的方差表达式，确定公式中平均数的对应值即可得到结果． 【详解】解：对于个数据，设其平均数为，方差的定义公式为． 将题目给出的方差表达式与方差公式对比，可得这组数据的平均数． 11．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】 3 【难度】0.85 【知识点】求一组数据的平均数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是______． 【答案】0或5 【难度】0.4 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查了方差的性质，解决此题的关键是熟练方差的计算；根据方差公式进行计算得到答案． 【详解】解∶由平均数公式得： “1、2、3、4、x”的平均数为：， “11、12、13、14、15”的平均数为：， 由方差公式可得： “11、12、13、14、15”的方差为， ∴， 解得． 故答案为：0或5． 重难点三、根据方差判断稳定性 方差用来衡量数据波动大小。方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，波动越小，数据越稳定。做题直接对比两组方差数值大小即可。注意不能只看平均数，平均数相同才可直接比较方差。答题表述要规范，写清方差大小对应的波动情况，不要颠倒稳定性关系，避免概念理解混淆造成答题失分。 1．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为庆祝人工智能领域的重大突破，某科技公司“创新者”研发团队开展技术知识竞赛活动，经过筛选，决定从小李、小王、小孙、小赵四名员工中选择一名员工代表该团队参加比赛，经过统计，四名员工成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 小李 小王 小孙 小赵 平均数 88 88 92 92 方差 1.5 1.0 0.6 0.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的员工参赛，那么应该选择（     ） A．小李 B．小王 C．小孙 D．小赵 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、根据方差判断稳定性、利用平均数做决策 【分析】明确成绩好为优先条件，先通过平均数筛选人选，再通过方差比较稳定性． 【详解】解：∵小孙、小赵的平均成绩为，小李、小王的平均成绩为，， ∴小孙、小赵成绩更好， ∵小孙的方差为，小赵的方差为，， ∴小孙成绩好且状态稳定． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．如图是小逸和小亮在射击训练中进行次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（     ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据方差判断稳定性、折线统计图 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；据此，根据统计图中两人成绩的波动大小判断即可． 【详解】解：根据图中的信息可知，小亮的成绩波动性大， ∴这两人中的新手是小亮． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】 利用方差求未知数据的值、根据方差判断稳定性 【分析】根据方差公式的结构特征，提取样本容量与平均数信息，结合方差的意义、众数的定义判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25， ∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 4．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】平均成绩相同时，比较方差大小即可判断成绩稳定性． 【详解】解：∵四人平均成绩均为8环， 又∵， ∴成绩最稳定的是丁． 5．（2026·山东青岛·中考真题）为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性、折线统计图 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 6．（2026·宁夏·中考真题）校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】运用方差做决策、根据方差判断稳定性、利用平均数做决策 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 7．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求众数、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 8．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【答案】 甲的射击成绩方差为，乙的射击成绩方差为，乙射击运动员的发挥更稳定 【难度】0.84 【知识点】求方差、根据方差判断稳定性 【分析】计算甲乙两人射击成绩的方差，比较方差大小，方差越小则发挥越稳定． 【详解】解： 计算甲、乙的平均成绩： （环） ， （环） 计算两人成绩的方差： ∵ ∴乙射击运动员的发挥更稳定 答：乙射击运动员的发挥更稳定． 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试．每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示． 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 哪名运动员的投篮更稳定？ 【答案】 乙运动员的投篮更稳定 【难度】0.85 【知识点】求方差、根据方差判断稳定性 【分析】计算两组投篮命中数据的方差，比较方差大小即可判断投篮稳定性． 【详解】 解：，， ∴， ∵ ∴ 乙运动员的投篮更稳定． 重难点四、运用方差做决策 利用方差做实际决策，先分别计算各组平均数与方差。平均数看整体平均水平，方差重点对比波动、稳定性。做题分两步分析，优先看平均数，平均数相同时，选择方差更小、更稳定的一组。答题不能只写数字，要结合题目情境说明理由。看清实际需求，看题目是追求高水平，还是追求稳定，再给出对应判断。 1．（25-26八年级下·云南红河·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】四人平均成绩相同，无需比较平均水平，仅需比较方差大小确定人选． 【详解】解：∵四人平均成绩均为92.6分，，，，． ∴． ∴乙的成绩最稳定，适合参赛． 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（     ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定求解即可． 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，大于甲、乙的， ∴丙、丁成绩较好， ∵丁的方差为，小于丙的， ∴丁发挥更稳定，应选丁． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）某校八年级甲、乙、丙、丁四位同学参加1分钟跳绳测试，每人10次成绩的平均数（单位：次）及方差（单位：次）如表格所示，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（     ） 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 186 227 208 227 方差 4.5 7.6 6.8 4.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、根据方差判断稳定性、利用平均数做决策 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙和丁的平均成绩更高，成绩更好， ∵， ∴丁的方差更小，波动更小，发挥更稳定， ∴应选择丁． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、根据方差判断稳定性 【详解】解：∵，，，， ∴ ∵四人平均成绩相同 ∴甲的成绩最稳定，派甲参赛更合适. 5．（25-26八年级下·陕西安康·期末）甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远训练中成绩的平均数都相同，方差分别为，，，，现要选一名发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是____________． 【答案】丙 【难度】0.95 【知识点】运用方差做决策 【详解】解：∵，，，， ∴， 又∵当平均数相同时，方差越小，成绩波动越小，运动员发挥越稳定， ∴应该选的运动员是丙． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【难度】0.85 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】根据平均数和方差的统计意义，成绩好要求平均数更大，发挥稳定要求方差更小，先比较平均数，再比较方差即可得到结果． 【详解】解：∵乙和丙的平均数为，大于甲的平均数， ∴乙和丙的成绩好于甲． ∵乙的方差是，小于丙的方差和甲的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求，应选择乙． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】(1)，， (2)26 (3)因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【难度】0.65 【知识点】求众数、求一组数据的平均数、已知 平均数求未知数据的值、求方差、根据方差判断稳定性、利用平均数做决策 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； （2）解：球员1分钟跑动距离的方差； （3）略 8．（26-27八年级下·全国·课后作业）自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量-标准含量）．甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：）如表所示． 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ (2)哪条灌装线的灌装质量更好？ 【答案】(1)甲、乙两条灌装线的灌装质量均合格 (2)甲灌装线的灌装质量更好 【难度】0.65 【知识点】运用方差做决策、求一个数的绝对值、求方差、有理数减法的实际应用 【分析】（1）计算甲、乙组一瓶饮料含量的误差的绝对值，与比较，判断是否合格； （2）计算两组数据的平均数和方差，结合稳定性判断灌装质量优劣． 【详解】（1）解：甲组各瓶饮料含量的误差的绝对值分别为： ，，，，，，，，，； 乙组各瓶饮料含量的误差的绝对值分别为： ，，，，，，，，，， 可得，甲、乙组各瓶饮料含量的误差的绝对值均不超过， ∴甲、乙两条灌装线的灌装质量均合格； （2）解：以为基准，计算两组数据的平均数： 甲线各瓶误差为，误差和为， 甲的平均含量为 乙线各瓶误差为，误差和为， 乙的平均含量为 计算两组数据的方差： 甲的方差 ， 乙的方差 ∵甲、乙的平均含量相等，甲的方差小于乙的方差， ∴甲灌装线的灌装含量更稳定，灌装质量更好． 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示． 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)哪台机床的性能比较好？ 【答案】(1)甲机床每天出次品数的平均数为件，方差为；乙机床每天出次品数的平均数为件，方差为 (2)乙机床的性能比较好 【难度】0.65 【知识点】运用方差做决策、求一组数据的平均数、求方差、利用平均数做决策 【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可； （2）结合平均数反映平均水平、方差反映波动程度的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲：平均数为（件）， 方差为； 乙：平均数为（件）， 方差为． （2）解：由（1）可知，乙机床每天出次品数的平均数小于甲机床的；乙机床每天出次品数的方差小于甲机床的， ∴乙机床平均每天出的次品数更少；乙机床每天出次品的数量波动更小，性能更稳定， ∴乙机床的性能比较好． 10．（26-27八年级下·全国·课后作业）在体操比赛中，往往在所有裁判员给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．6名裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： ，，，，， (1)如果不去掉最高分和最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位） (2)如果去掉一个最高分和一个最低分，分别求这组数据的平均数（结果保留小数点后一位）和方差（结果保留小数点后两位） (3)你能从方差的角度解释哪种计算平均分的方法更合理吗？ 【答案】(1)平均数约为，方差约为； (2)平均数约为，方差约为； (3)去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分的方法更合理．因为去掉极端值后数据的方差更小，分数波动更小，能更准确地反映运动员的真实水平． 【难度】0.65 【知识点】运用方差做决策、求一组数据的平均数、求方差 【分析】（1）根据平均数和方差的定义，直接计算6个原始数据的对应统计量； （2）先去掉最高分和最低分，再用剩余数据计算平均数和方差； （3）利用方差越小数据越稳定的性质，比较两种计分方法的合理性． 【详解】（1）解：这组数据的平均数为， 方差为； （2）解：去掉最高分和最低分后，剩余数据为． 平均数为， 方差为； （3）略． 模块二、标准差 重难点一、标准差 标准差等于方差的算术平方根，单位和原始数据保持一致。做题先求出方差，再开平方得到标准差。牢记：方差是平方结果，标准差做开方运算，二者不要混淆。标准差同样反映波动，数值越大波动越大。开平方计算细心，不要算错根式。可以利用方差快速比对稳定性，标准差多用于实际现实情境分析。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】标准差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3：乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3．下列说法中，错误的是（    ） A．甲队进攻能力强于乙队 B．甲队发挥比乙队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】标准差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查平均数与标准差的意义，掌握平均数反映整体水平，标准差反映数据波动程度是解题的关键． 通过平均每场进球数判断进攻能力，依据标准差判断发挥的稳定性，进而分析每个选项． 【详解】解：A、甲队平均每场进球数3.2大于乙队的1.8，所以甲队进攻能力强于乙队，该选项正确，不符合题意； B、标准差越小，数据越稳定。甲队标准差3大于乙队的0.3，所以乙队发挥比甲队稳定，该选项错误，符合题意； C、乙队平均每场进球数1.8，标准差0.3小，说明乙队进球数波动小，几乎每场都进球，该选项正确，不符合题意； D、甲队标准差3大，说明甲队进球数波动大，表现时好时坏，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】标准差、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 4．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】标准差、求一组数据的平均数、求方差 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 5．（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】标准差 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算方差，最后求出方差的算术平方根即为标准差． 【详解】解：首先计算这组数据的平均数，得， 再根据方差的计算公式计算方差，得 ， 标准差是方差的算术平方根，因此该组数据的标准差为． 6．（2017·山东青岛·一模）某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 【答案】 乙 乙队的标准差较小，身高比较整齐 【难度】0.85 【知识点】标准差 【分析】本题考查了标准差的意义，选拔身高整齐的队伍应比较标准差，标准差小的队伍更整齐． 【详解】解：从表中数据可知，甲队标准差为0.038，乙队标准差为0.025，乙队标准差小于甲队，而标准差越小数据的波动越小， 因此乙队身高更整齐， 故乙队会被录取． 故答案为：乙；乙队的标准差较小，身高比较整齐． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】标准差 【分析】本题考查了标准差及方差的知识，解题的关键是了解标准差是方差的算术平方根． 数据中的每个值都加上相同的常数，方差不变，因此新数据的方差仍为9，标准差为方差的算术平方根，故为3． 【详解】解：∵数据，，的方差是9， ∴数据，，的方差是9． ∴数据，，的标准差是． 故答案为：3． 8．（23-24九年级下·上海·阶段检测）一组数据共有5个数据，若同时扩大4倍，则标准差扩大______倍 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】标准差 【分析】本题考查了标准差，当一组数据中每个数据都扩大相同倍数时，标准差也扩大相同的倍数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原数据的标准差为，设一组数据的5个数据分别是 故平均数：， ∴ 当每个数据扩大4倍后， 则一组数据的5个数据分别是 故新的平均数：， ∴ 故标准差扩大4倍， 故答案为：4． 9．（2022·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】标准差、求方差 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 10．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 【答案】（1） （2）①A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台；②A品牌方差为2，B品牌方差为，A品牌的销售量更稳定 【难度】0.65 【知识点】标准差、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】此题考查了平均数、方差、标准差的计算，以及方差的意义，熟练掌握相关计算方法是关键． （1）根据先计算平均数，再计算方差，最后将方差开方得到标准差即可； （2）①根据平均数的定义进行解答即可；②分别计算平均数和方差，再比较方差大小即可． 【详解】解：（1）， ∴ 即这组数据的标准差为． （2）①（台），（台）， 答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ② ∵， ∴A品牌的销售量更稳定 重难点二、求离差平方和 离差平方和，就是每个数据减去平均数的差的平方全部相加，它是计算方差的中间步骤。离差平方和 = 方差 × 数据总个数。计算时，先求平均数，逐个求离差再平方求和。数字较多时，不要漏算某一组数据。算出结果可以反向验算。离差平方和永远大于或等于 0，出现负数就说明计算过程出现错误。 1．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求一组数据的平均数、求离差平方和 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 2．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算所有数据与平均数差的平方和即可得到结果． 【详解】解：， 离差平方和 ． 5．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知一组数据的方差为2，则其离差平方和是_____． 【答案】16 【难度】0.85 【知识点】求方差、求离差平方和 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，对公式变形即可求出离差平方和． 【详解】解：设该组数据的离差平方和为，数据个数，方差， 根据方差的定义可得 ， 变形得 ． 6．（25-26八年级下·青海西宁·期末）某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，小明将抽样调查的成绩分成两组进行分析，并计算了组内离差平方和，其中第7组至第10组的组内离差平方和如下表，则这四种分法中，第________组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 … 7 8 9 10 … 组内离差平方和 … 136.945 125.792 124.182 132.000 … 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】组内离差平方和越小，组内成绩数据波动越小；总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组数据差异越大，只需比较四个组的组内离差平方和的大小即可得到结果． 【详解】解：根据数据波动与离差平方和的关系，组内离差平方和越小，组内数据波动越小， ∵总离差平方和为定值，组间离差平方和等于总离差平方和减去组内离差平方和， ∴组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，两组之间数据差异越大， 比较四个组的组内离差平方和，得， ∴第9组的组内离差平方和最小，符合要求． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算一组数据的方差，列得算式，则这组数据的离差平方和是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】根据方差算式确定这组数据，先计算平均数，再根据离差平方和的定义计算结果即可． 【详解】解：由给出的方差算式可得，这组数据为，，，，数据个数为， 计算这组数据的平均数：， 离差平方和为：， 代入计算得：． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【难度】0.63 【知识点】求一组数据的平均数、求离差平方和 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 重难点三、离差平方和的应用 离差平方和常用来反推方差、未知数。已知方差和数据个数，直接相乘得到离差平方和。遇到含参数题型，把离差平方和当作等量关系列方程。要理解它代表数据整体偏离平均数的总程度，数值越大代表整体偏离越严重。解题抓住公式关系，灵活转换，做完代入回代检验，规避计算上的低级错误。 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，同组数据越接近，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴方式2的组内离差平方和最小，同组数据最接近． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度，将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 6.67 3 第一组3人，第二组2人 14.67 4 第一组4人，第二组1人 22.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】根据题意，要使同一组内跳绳成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较4种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 3．（25-26八年级下·山西朔州·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【详解】解：在统计学中，使“组内离差平方和最小，组间离差平方和最大”是常用的分组原则， 所以选项A正确． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（     ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.81 【知识点】离差平方和的应用 【分析】根据题意，同组水平越接近，组内离差平方和越小，因此只需比较四个分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可得到答案． 【详解】解：根据题意，最优分组满足组内水平接近，对应组内离差平方和最小． 比较四个分组的组内离差平方和得： ∵ ， ∴ 序号3的组内离差平方和最小，是最优分组，对应选项为B． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】离差平方和的应用 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】离差平方和的应用 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 【答案】乙 【难度】0.85 【知识点】离差平方和的应用 【分析】比较离差平方和的大小即可判断成绩的稳定性． 【详解】解：∵四名同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中为测试次数， ∴相同，方差大小与离差平方和的大小一致． ∵，，，， ∴， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 10．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2.0 4.7 第3个间隔 12.7 14.7 第4个间隔 22.8 0.0 22.8 因此，按组内离差平方和最小的分法为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】离差平方和的应用、求离差平方和 【分析】先补全表格中所有组内离差平方和，再比较四个分法的组内离差平方和，取最小值对应的分组即可． 【详解】解：将原数据从小到大排序得， 计算第2个间隔的组内离差平方和：， 计算第3个间隔的第二组离差平方和：， 比较四个分组的组内离差平方和得：， 因此组内离差平方和最小的分法是将分为一组，分为一组，即． 11．（26-27八年级下·全国·课后作业）把表中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 10 21 22 12 9 17 【答案】 第一组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄，对应平均高温为、、、；第二组：贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口，对应平均高温为、、、、、；结果一致 【难度】0.7 【知识点】离差平方和的应用 【分析】 先将平均高温数据从小到大排序，默认分为两组时，枚举连续分割点的组间离差平方和找到最大值对应的分组；利用总离差平方和与组间、组内离差平方和的恒等关系判断两种分组结果一致． 【详解】解： 首先将10个城市的平均高温从小到大排序： （哈尔滨）、（呼和浩特）、（北京）、（石家庄）、（贵阳）、（上海）、（成都）、（昆明）、（广州）、（海口）， 计算总平均数， 默认分为两组时，有序数据的最优分组为连续分割，即在前个数据与第个数据之间分割（）， 设前个数据的和为，平均数为，后个数据的平均数为， 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 综上所述，可知 当时，组间离差平方和取得最大值，即前4个城市为第一组，后6个城市为第二组时，组间离差平方和最大； ∵ 总离差平方和组间离差平方和组内离差平方和， ∴当总离差平方和一定时，若组间离差平方和最大，则组内离差平方和最小， ∴按组间离差平方和最大进行分组与按组内离差平方和最小分组一致． 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知8个地区居民人均可支配收入x（单位：万元）如下表所示． 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 居民人均可支配收入万元 根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这8个地区分为两组． 【答案】第一组为地区1、4、6、8，第二组为地区2、3、5、7 【难度】0.65 【知识点】离差平方和的应用、求离差平方和 【分析】先将人均可支配收入从小到大排序，要使组内离差平方和最小，需将数值相近的数据分在同一组，则只需计算排序后相邻数据间切分的各分组的总离差平方和，比较得到最小值对应的分组． 【详解】解：将8个地区的居民人均可支配收入从小到大排序为，，，，，，，，对应地区依次为地区1、地区8、地区4、地区6、地区7、地区2、地区5、地区3， 设前k个为第一组，后个为第二组，S为离差平方和， 当时，第一组为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，，， ∴和为：21，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时，第一组为：，，，，，，， ∴和为：，平方和为：， ∴离差平方和为； 第二组为：， ∴离差平方和为， ∴总离差平方和为：； 当时总离差平方和最小，对应第一组为地区1、4、6、8，第二组为地区2、3、5、7． 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 【答案】(1)①甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格，理由如下： 从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，因此甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格；②，，，，甲灌装线的灌装质量更好； (2)，第一组：，；第二组：，，，． 【难度】0.52 【知识点】运用方差做决策、求一组数据的平均数、求方差、离差平方和的应用 【分析】（1）①从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，即可判断；②根据平均数和方差的定义分别求出甲、乙两条灌装线的平均数和方差，再根据平均数和方差即可判断哪条灌装线的灌装质量更好； （2）对五种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出企业分组． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ， 甲、乙灌装线的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲灌装线的灌装质量更好； （2）解：， 当第个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值． 根据产值的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，， 即第一组：，；第二组：，，，． 14．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4) 解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 【难度】0.4 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、离差平方和的应用 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）略 重难点四、用样本平均数(仿差)估计总体平均数(方差) 用样本估计总体，样本要有代表性。直接用样本平均数去估算总体平均数，用样本方差估算总体方差。记住，估计值只是近似数值，不等于总体真实数值。做题审题分清样本和总体，不要把样本数量当成总体数量。答题语言规范，要写 “估计”，不能直接断定总体就是该数值，结合题意完成作答。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.76 【知识点】求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【详解】解：（小时）， 则估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为1小时． 2．（2026·江苏泰州·二模）某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】根据“样本估计总体的思想”可得该校九年级全体学生体育测试的平均成绩约等于样本平均成绩，再根据“总分＝平均成绩×总人数”可得答案． 【详解】解：∵（分）， ∴估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为分． 3．（25-26九年级上·广西来宾·期末）为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小新家4月份前6天的用米量如下表所示： 用米量/ 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 估计小新家4月份的用米量为____________． 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先计算前天平均每天的用米量，再用样本平均数估计总体平均数，乘以天得到月份用米量． 本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数． 【详解】解：前天总用米量为：， 平均每天用米量为， 由样本平均数估计总体平均数， 月份用米量为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 【答案】120 【难度】0.85 【知识点】求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题考查用样本估计总体；通过5天的日用电量数据计算样本平均数，并以此估计11月份（30天）的总用电量． 【详解】解：∵5天的日用电量之和为度， ∴平均日用电量为度/天， ∵11月份有30天， ∴估计总用电量为度． 故答案为：120． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取个数据，统计如下： 数据 个数 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题利用样本平均数估计总体平均数，先计算抽取的样本数据的加权平均数，即可得到总体平均数的估计值． 【详解】解：抽取的个数据的平均数为： 用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生开展读书节活动．为了了解全校学生借阅书刊情况，学校随机抽查了30名学生一周借书数量，并将调查数据整理如表： 借书数量（单位：本） 1 2 3 4 5 人数（单位：人） 7 14 6 2 1 (1)求这30名学生的一周借书数量的平均数； (2)若该校共有1200名学生，请根据调查的数据估计该校学生一周借书总数约是多少本？ 【答案】(1)2.2本 (2)2640本 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】（1）利用平均数的计算公式解答； （2）用总人数乘以借书的平均数即可． 【详解】（1）解：（本）， 故这30名学生的一周借书数量的平均数是2.2本； （2）（本）， 故估计该校学生一周借书总数约是2640本． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】(1)15 (2) (3)估计这次捐款有元． 【难度】0.85 【知识点】求众数、求一组数据的平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【详解】（1）解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． （2）解：这50名学生平均每人捐款 (元)， （3）解： 答：估计这次捐款有元． 9．（26-27八年级下·全国·课后作业）为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示． 使用寿命 灯泡数/盏 4 9 12 18 7 这批节能灯的平均使用寿命是多少？ 【答案】估计这批节能灯的平均使用寿命是． 【难度】0.7 【知识点】频数分布表、求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先求出每组的中间值，再根据加权平均数求出平均使用寿命． 【详解】解：使用寿命的中间值分别为：、、 、、， ∴这批节能灯的平均使用寿命是． 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）某县为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户月用水量不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了100户家庭，调查他们的月用水量，并绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表解答下列问题： 用水量/吨 频数 百分数    10 36 24 8 (1)表中_____， ______，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数； (3)若调查的100户家庭每月的总用水量为2000吨，估计该县每户家庭的月平均用水量． 【答案】(1)22，， 补全频数分布直方图如下： (2) (3)吨 【难度】0.65 【知识点】频数分布直方图、求扇形统计图的圆心角、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据表格可知的用户占，用抽取的100户家庭乘以即可求出的值；根据表格可知的用户数，用的用户数除以100即可求出的值，并补全频数分布直方图； （2）根据（1）中求得的用户数与条形统计图可以得到的用户数，进而求得扇形图中部分的圆心角的度数； （3）用总用水量除以100户，即可估计该县每户家庭的月平均用水量． 【详解】（1）解：根据表格可知的用户占， ； 根据表格可知的用户有24户， ； 故答案为22，24%； （2）解：扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数为； （3）解：估计该县每户家庭的月平均用水量为（吨）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $