6.1 平均数与方差 预习自测 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦平均数与方差的概念理解、计算应用及决策分析，以题载法构建“定义-计算-应用”逻辑链条，强化数据意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-4题|众数定义法、平均数意义辨析|从数据特征到统计量概念生成| |计算应用|5-9、11-14题|加权平均公式、方差变换规律|公式推导到复杂数据计算| |决策分析|10、16-20题|方差稳定性判断、统计量决策应用|实际问题中数据解读与决策|

6.1 平均数与方差 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．班主任统计了上周双休日该班名同学在家课外阅读的时间如下（单位：时）：，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 2．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 3．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（   ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 4．已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（   ） A．5 B．4.8 C．5.2 D．8 6．某中学举行校园主持人比赛，小静同学的语言表达、临场应变、形象仪态的分数分别是9分，8分，10分，若依次按的比例确定最终成绩，则小静的最终成绩是（     ） A．8.2分 B．8.4分 C．8.6分 D．8.8分 7．某校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表： 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 9．甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 二、填空题 11．一组数据4，5，，7的平均数是6，则__________． 12．在一次数学考试中，全班名同学，平均分为，其中女生有名，她们的平均分为，则这个班男同学的平均数为________． 13．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 14．已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是________，标准差为________． 15．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 三、解答题 16．甘肃省积石山县发生地震，同学们积极捐款，奉献爱心．八年级1班全体同学捐款情况的部分统计图如图所示． (1)求该班的总人数； (2)将条形图补充完整； (3)并写出捐款总额的众数； (4)该班平均每人捐款多少元？ 17．某商店销售5种领口大小（单位：cm）分别为38，39，40，41，42的衬衫．为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了右面的扇形统计图，你认为该商店应多进哪种衬衫？ 18．甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89  a (1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值； (2)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 19．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 20．某县为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户月用水量不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了100户家庭，调查他们的月用水量，并绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表解答下列问题： 用水量/吨 频数 百分数    10 36 24 8 (1)表中_____， ______，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数； (3)若调查的100户家庭每月的总用水量为2000吨，估计该县每户家庭的月平均用水量． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C D A D B C 1．【答案】D 【知识点】求众数 【分析】根据众数的定义可得答案． 【详解】解：统计各数据出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． 出现次数最多的是，即众数为． 2．【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据算术平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小丽该周平均每天的睡眠时间为：， 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义． 利用众数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，销售最多的是尺码为的鞋，即众数为， 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了众数的定义，根据众数的定义，逐项进行验证即可确定使数据中出现次数最多的数唯一存在的x值． 【详解】解：原数据为3，3，4，5，x，6．已知3出现2次，4、5、6各出现1次． 选项A，当时，数据变为3，3，3，4，5，6．此时3出现3次，其他数各1次，3是唯一众数，符合条件． 选项B，当时，数据变为3，3，4，4，5，6．此时3和4均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项C，当时，数据变为3，3，4，5，5，6．此时3和5均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项D，当时，数据变为3，3，4，5，6，6．此时3和6均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 综上，只有时满足唯一众数的条件， 故选A． 5．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查求平均数，用的和加上的和除以总数即可． 【详解】解：； 故选C． 6．【答案】D 【知识点】求加权平均数 【详解】解：总权重为， 小静的最终成绩为分. 7．【答案】A 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．根据总成绩 的计算公式，分别计算甲、乙、丙、丁四位候选人的总成绩，再比较大小，选出总成绩最高的同学． 【详解】解：甲的总成绩：分， 乙的总成绩：分， 丙的总成绩：分， 丁的总成绩：分， ∵，甲的总成绩最高． 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可． 【详解】解：数据，，，，…，的平均数为2， 数据，，，，…，的平均数是； 数据，，，…的方差为， 数据，，，，…，的方差是． 9．【答案】B 【知识点】利用平均数做决策 【分析】根据平均数的概念求解即可． 【详解】解：甲的平均价格为：.（元） 乙的平均价格为：（元） 丙的平均价格为：（元） 丁的平均价格为：（元） 则平均价格最低的同学是：乙． 10．【答案】C 【知识点】求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差公式，结合题中数据代值求解即可得出结论． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，，，，， 由题意可知， ， 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ∴， 故选：C． 11．【答案】8 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了平均数公式，解一元一次方程．根据平均数公式即可列出关于x的方程，再解出即可． 【详解】解：由题意得， 解得，， 故答案为：8． 12．【答案】分 【知识点】求加权平均数、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】设男生的平均分为x分，根据男生总分和女生总分的和是全体学生的总分，结合全班50名同学，平均分为78.7，其中女生有20名，她们的平均分为80.5，我们可以构造出一个关于x的方程，解方程即可求出x的值． 【详解】解：设男生的平均分为x分， 则30x+80.5×20=50×78.7， 解得x=77.5. 即男生的平均分为77.5分. 故答案为77.5分. 【点睛】本题考查了加权平均数,其中根据男生总分和女生总分的和是全体学生的总分,结合已知条件,构造关于x的方程是解答本题的关键. 13．【答案】16 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有8个，且这组数据的平均数为2， ∴这组数据的和为， 故答案为：16． 14．【答案】 2 【知识点】标准差、求方差 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后求出标准差即可． 【详解】解：数据，，，，的平均数是： ， 数据，，，，的方差是： ； 数据，，，，的标准差为． 故答案为：2；． 【点睛】本题主要考查了求方差和标准差，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． 15．【答案】80775 【知识点】频数分布直方图、求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 16．【答案】(1)50 (2) 补充图形如图： (3)10 (4)该班平均每人捐款13.1元 【知识点】求众数、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、求一组数据的平均数 【分析】（1）用捐款15元的人数除以对应的百分比即可； （2）用总人数减去A，C，D，E的人数就是B的人数，进而补全统计图即可； （3）根据众数得概念求解即可； （4）用总钱数除以总人数即可． 【详解】（1）该班总人数是（人）； （2）捐款10元的人数为：（人）， （3）∵捐款10元的人数最多， ∴捐款总额的众数是10； （4）（元）． 答：该班平均每人捐款13.1元． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 17．【答案】应多进领口大小为40cm的衬衫． 【知识点】运用众数做决策 【分析】根据题意，找出销售量所占比重最多的对应的尺寸的衬衫即可． 【详解】解：根据扇形统计图可得：， 答：该商店应多进领口大小为40cm的衬衫． 【点睛】此题考查的是众数的意义，理解众数的意义作出相应的决策是解题关键． 18．【答案】(1)； (2)选甲， 理由如下： 甲的平均数， 甲的方差 ， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【知识点】运用方差做决策、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （2）略 19．【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【知识点】折线统计图、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 20．【答案】(1)22，， 补全频数分布直方图如下： (2) (3)吨 【知识点】频数分布直方图、求扇形统计图的圆心角、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据表格可知的用户占，用抽取的100户家庭乘以即可求出的值；根据表格可知的用户数，用的用户数除以100即可求出的值，并补全频数分布直方图； （2）根据（1）中求得的用户数与条形统计图可以得到的用户数，进而求得扇形图中部分的圆心角的度数； （3）用总用水量除以100户，即可估计该县每户家庭的月平均用水量． 【详解】（1）解：根据表格可知的用户占， ； 根据表格可知的用户有24户， ； 故答案为22，24%； （2）解：扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数为； （3）解：估计该县每户家庭的月平均用水量为（吨）． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $