3.1.2 第2课时 椭圆几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆几何性质的应用，涵盖点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，弦长计算及实际问题。通过类比点与圆、直线与圆的位置关系设计探究问题，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接椭圆定义与方程的前期内容。 资料以探究活动引导学生用数学眼光观察类比，结合典例分析与分层练习提升数学思维，融入嫦娥四号轨道等实际案例培养模型意识。帮助学生抽象椭圆要素、推理位置关系，形成用数学语言表达现实问题的能力，适合高二学生自主探究与教师教学评估。

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.类比直线与圆的位置关系了解直线与椭圆的位置关系. 2.会求直线与椭圆相交所得弦的弦长. 3.掌握直线与椭圆、离心率等相关的综合问题. 一、点、直线与椭圆的位置关系 探究1　类比点与圆的位置关系，猜想：点与椭圆的位置关系如何判断？ 探究2　类比直线与圆的位置关系，猜想：直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断呢？ 探究3　直线与椭圆的位置关系与直线与椭圆的交点个数是不是等价对应的？ ⚪梳理教材 1.点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内⇔＋＜1； 点P在椭圆外⇔＋＞1. 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）位置关系的判断方法： 联立消去y得关于x的一元二次方程. 当Δ＞0时，方程 ，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程 ，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程 ，直线与椭圆相离. ⚪温馨提示　（1）设直线方程时注意斜率不存在的情况. （2）过椭圆内一点的直线与椭圆一定相交. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与点P（b，0），过点P可作一条直线与该椭圆只有一个公共点.（　 ） （2）直线y＝k（x－a）与椭圆＋＝1有两个公共点.（　 ） （3）过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.（　 ） 【典例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点. ⚪解题感悟 直线与椭圆的位置关系的判断方法 【练习1】　（1）无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1的交点情况为（　 ） A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.至少有一个公共点 （2）已知直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋y2＝1有公共点，则实数k的取值范围为 . 二、弦长问题 探究4　当直线与椭圆相交时，设直线l交椭圆＋＝1于P1，P2两点，如何求出弦长｜P1P2｜. ⚪梳理教材 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法： 设直线l：y＝kx＋m（k≠0，m为常数）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交，两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. 弦长公式（ⅰ）：｜AB｜＝. 弦长公式（ⅱ）：｜AB｜＝. ⚪温馨提示　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.（　 ） （2）长轴是椭圆中最长的弦.（　 ） （3）所有过椭圆的焦点中的直线中，垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长最短.（　 ） 【典例2】　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线AB的方程；(2)弦长AB. ⚪解题感悟 直线被椭圆截得的弦长的求解方法 （1）用两交点坐标来求，转化为两点间的距离. （2）用弦长公式来求. 设直线的斜率为k（k≠0），直线与椭圆的两交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·｜y1－y2｜. 注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的判断. 【练习2】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N. （1）求椭圆C的方程； （2）当△AMN的面积为时，求k的值. 三、实际生活中的椭圆问题 探究5　你能举出一些生活中椭圆的例子吗？ 【典例3】　（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　 ） A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＝ D.＞ ⚪解题感悟 解决与椭圆有关的实际问题的思路 （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. （3）用解得的结果说明原来的实际问题. 【练习3】　已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. （1）试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； （2）问农艺园的最大面积能达到多少？ ⚪课堂达标 1.过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点F（c，0）的弦中，最短弦长是（　 ） A. B. C. D. 2.已知点P（k，1）在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为　 　. 3.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝ . 4.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是 . 解析版 ⚪学习目标　1.类比直线与圆的位置关系了解直线与椭圆的位置关系. 2.会求直线与椭圆相交所得弦的弦长. 3.掌握直线与椭圆、离心率等相关的综合问题. 一、点、直线与椭圆的位置关系 探究1　类比点与圆的位置关系，猜想：点与椭圆的位置关系如何判断？ 提示：有两种方法： （1）根据椭圆的定义判断点P与椭圆的位置关系： ＋＜2a⇔点在椭圆内； ＋＝2a⇔点在椭圆上； ＋＞2a⇔点在椭圆外. （2）根据标准方程［以＋＝1为例］判断点P与椭圆的位置关系： 点P在椭圆内⇔＋＜1； 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P（x0，y0）在椭圆外⇔＋＞1. 探究2　类比直线与圆的位置关系，猜想：直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断呢？ 提示：直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相离、相切.如图所示. 探究3　直线与椭圆的位置关系与直线与椭圆的交点个数是不是等价对应的？ 提示：是. ⚪梳理教材 1.点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内⇔＋＜1； 点P在椭圆外⇔＋＞1. 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）位置关系的判断方法： 联立消去y得关于x的一元二次方程. 当Δ＞0时，方程　有两个不相等的实数根　，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程　有两个相等的实数根　，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程　没有实数根　，直线与椭圆相离. ⚪温馨提示　（1）设直线方程时注意斜率不存在的情况. （2）过椭圆内一点的直线与椭圆一定相交. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与点P（b，0），过点P可作一条直线与该椭圆只有一个公共点.（　✕　） （2）直线y＝k（x－a）与椭圆＋＝1有两个公共点.（　√　） （3）过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.（　✕　） 【典例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）由Δ＞0，得－3＜m＜3. 故当－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. （2）由Δ＝0，得m＝±3. 故当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）由Δ＜0，得m＜－3或m＞3. 故当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. ⚪解题感悟 直线与椭圆的位置关系的判断方法 【练习1】　（1）无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1的交点情况为（　D　） A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.至少有一个公共点 （2）已知直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋y2＝1有公共点，则实数k的取值范围为　（－∞，－］∪［，＋∞）　. 解析：（1）因为直线y＝kx＋2恒过定点（0，2），且椭圆＋＝1的上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为0时，直线与椭圆有两个公共点，故选D. （2）联立 整理得（2k2＋1）x2＋8kx＋6＝0. 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以Δ＝（8k）2－24（2k2＋1）≥0， 解得k≥或k≤－. 故实数k的取值范围为（－∞，－∪，＋∞）. 二、弦长问题 探究4　当直线与椭圆相交时，设直线l交椭圆＋＝1于P1，P2两点，如何求出弦长｜P1P2｜. 提示：当直线的斜率不存在时，直线平行于y轴，＝. 当直线的斜率存在时，求弦长｜P1P2｜，本质上是求P1，P2两点间的距离. 方法一：联立直线与椭圆方程，求出交点P1，P2坐标，然后使用两点间的距离公式＝求解.但一般计算比较繁琐. 方法二：推导弦长公式，利用根与系数关系，设而不求，整体代入. 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m（k，m为常数），则｜P1P2｜＝ ＝ ＝ ＝·｜x1－x2｜ ＝. 同理可得，｜P1P2｜＝·｜y1－y2｜＝（k≠0）. ⚪梳理教材 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法： 设直线l：y＝kx＋m（k≠0，m为常数）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交，两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. 弦长公式（ⅰ）：｜AB｜＝. 弦长公式（ⅱ）：｜AB｜＝. ⚪温馨提示　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.（　√　） （2）长轴是椭圆中最长的弦.（　√　） （3）所有过椭圆的焦点中的直线中，垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长最短.（　√　） 【典例2】　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线AB的方程； (2)弦长AB. 解：(1)∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， ∴直线AB的方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. (2)方法一：由方程组 解得或 则交点A(0，－2)，B(，)或(A(，)，B(0，－2)). ∴|AB|＝＝＝. 方法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝. 方法三：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去x，得3y2＋2y－8＝0， 则由根与系数的关系得y1＋y2＝－， y1y2＝－，所以|AB|＝· ＝×＝. ⚪解题感悟 直线被椭圆截得的弦长的求解方法 （1）用两交点坐标来求，转化为两点间的距离. （2）用弦长公式来求. 设直线的斜率为k（k≠0），直线与椭圆的两交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·｜y1－y2｜. 　　注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的判断. 【练习2】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N. （1）求椭圆C的方程； （2）当△AMN的面积为时，求k的值. 解：（1）由题意得解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）联立 消去y整理得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0， 设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以｜MN｜＝ ＝. 又点A（2，0）到直线y＝k（x－1）的距离d＝， 所以△AMN的面积 S＝｜MN｜·d＝， 由＝， 得k＝±1，满足Δ＞0. 所以当△AMN的面积为时，k＝±1. 三、实际生活中的椭圆问题 探究5　你能举出一些生活中椭圆的例子吗？ 提示：天体运行轨道；生活中常吃的水果，如西瓜；电影院放映灯利用椭圆的光学性质设计. 【典例3】　（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　BD　） A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＝ D.＞ 解析：由题图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A错误； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝｜PF｜， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； 由上面的分析知a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1， 所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1， 即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞， 所以2a1c2＜2a2c1，即＜，所以C错误，D正确. ⚪解题感悟 解决与椭圆有关的实际问题的思路 （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. （3）用解得的结果说明原来的实际问题. 【练习3】　已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. （1）试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； （2）问农艺园的最大面积能达到多少？ 解：（1）设平行四边形的另两个顶点分别为P，Q，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜QF1｜＋｜QF2｜＝4＞｜F1F2｜，故平行四边形的另两个顶点的轨迹为椭圆（不含长轴端点），以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1（－1，0），F2（1，0）. 设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由题意知a＝2，c＝1，则b＝. 所以点P的轨迹方程为＋＝1（y≠0）， 同理点Q的轨迹方程为＋＝1（y≠0）. （2）＝｜F1F2｜·｜yP｜≤2c·b＝2（km2），所以当点P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2 km2. ⚪课堂达标 1.过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点F（c，0）的弦中，最短弦长是（　A　） A. B. C. D. 解析：最短弦是过焦点F（c，0）且与长轴垂直的弦.将点（c，y0）的坐标代入椭圆＋＝1，得y0＝±，故最短弦长是. 2.已知点P（k，1）在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为　（－∞，－）∪（，＋∞）　. 解析：依题意，得＋＞1，解得k＜－或k＞.故实数k的取值范围为（－∞，－）∪（，＋∞）. 3.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝　　. 解析：联立 得两个交点坐标分别为（0，1），（－，－）， 则｜AB｜＝＝. 4.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是　　. 解析：已知椭圆的右焦点为（1，0），则它到直线x－y＝0的距离为＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $