3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的范围、对称性、顶点及离心率等几何性质，通过观察不同扁平椭圆类比直线斜率导入离心率，以焦点在x轴的标准方程为基础推导性质，再类比迁移至y轴情形，构建“方程→性质”的逻辑链。 资料特色在于用代数方法（不等式推导范围、方程代换验证对称性）培养数学思维，结合Geogebra动态演示离心率与扁平程度关系发展数学眼光，通过表格系统对比焦点位置不同的性质强化数学语言表达。实例丰富如分层练习“牛刀小试”和题型分类，帮助学生突破a,b,c混淆难点，也为教师提供清晰教学流程与重难点解决策略，提升课堂效率。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课以椭圆标准方程为基础，引导学生探究椭圆的简单几何性质（第 1 课时）聚焦范围、对称性、顶点）.先结合焦点在 x 轴的椭圆标准方程，通过不等式分析得出椭圆范围：|x|≤a、|y|≤b；再利用方程代换（-x 换 x、-y 换 y）推导椭圆关于 x 轴、y 轴及原点对称；接着定义椭圆与坐标轴交点为顶点，明确长轴（长 2a）、短轴（长 2b）及长半轴 a、短半轴 b 的几何意义，类比得出焦点在 y 轴椭圆的对应性质.通过例题应用性质分析椭圆特征，辅以练习巩固，帮助学生建立方程与几何性质的关联，为后续性质学习奠定基础. 2.内容解析 本节课以椭圆标准方程为起点，聚焦范围、对称性、顶点三大核心性质，形成 “方程推导性质” 的逻辑链.先以焦点在 x 轴的标准方程为样本，用代数方法（不等式、方程代换）推导几何性质，再类比迁移到焦点在 y 轴的情况，符合 “特殊到一般” 的认知规律，且紧密衔接上一课时的标准方程知识，构建完整知识体系.内容设计围绕 “理解性质推导过程、掌握性质内容、应用性质解决问题” 展开，兼顾知识掌握与能力培养，为后续学习椭圆离心率等其他性质及双曲线、抛物线性质奠定方法基础，体现循序渐进的教学原则.本课时教学内容以椭圆标准方程为基础，聚焦范围、对称性、顶点、离心率四大简单几何性质.教学中先以焦点在 x 轴的椭圆标准方程​为范例，通过不等式分析得出 “|x|≤a、|y|≤b” 的范围特征，用 - x 换 x、-y 换 y 的方程代换法验证椭圆关于 x 轴、y 轴及原点的对称性，再定义椭圆与坐标轴的交点为顶点，明确长轴（长 2a）、短轴（长 2b）及 a、b 的几何意义.随后引导学生类比推导焦点在 y 轴椭圆的对应性质，通过例题应用性质分析椭圆特征，搭配练习巩固知识，帮助学生建立 “方程→性质→图形” 的关联，掌握用代数方法研究几何性质的思路，为后续性质学习筑牢基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解椭圆范围、对称性、顶点、李欣略的推导过程，掌握性质内容并能应用分析椭圆特征. 1.教学目标 （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 2.目标解析 （1）该目标以椭圆标准方程为依托，引导学生用代数方法探究几何性质.通过对焦点在 x 轴、y 轴的椭圆方程进行不等式分析、代换验证，推导范围、对称性、顶点等性质，建立 “方程→性质” 的关联，培养数形结合思想与逻辑推理能力. （2）此目标聚焦离心率与椭圆扁平程度的关系.学生需理解离心率 e=c/a 的定义，通过计算不同 e 值对应的椭圆形状，直观感知 e 越大椭圆越扁、e 越小椭圆越圆，在运算中深化对 e 的认知，落实数学运算核心素养. （3）该目标强调 “由几何条件求椭圆方程” 的逆向应用.学生需根据已知的范围、顶点、对称性等几何条件，确定椭圆焦点位置、a、b 的值，进而设出标准方程求解，在逆向推导中提升运算准确性与问题解决能力，强化数学运算素养. （4）此目标旨在梳理椭圆核心参数的关系.学生需明确 a（长半轴）、b（短半轴）、c（半焦距）、e（离心率）的几何意义，掌握 及 c²=a²-b² 的关联，能根据已知参数求离心率或其他参数，为综合应用椭圆性质奠定基础. 学生已学习椭圆定义与标准方程，能区分焦点在 x 轴、y 轴的方程形式，掌握两点间距离公式及基础代数运算，具备初步数形结合意识.但多数学生对 “从方程推导几何性质” 的思路不熟悉，对 a、b 的几何意义仅停留在数值层面，未与图形特征深度关联；部分学生代数变形（如不等式推导）能力较弱，对离心率概念尚无认知，为新知识学习埋下障碍.​ 教学中可能遇到的困难​ 困难一：难以理解 “从椭圆方程推导范围、对称性” 的逻辑，不会用代数方法分析几何特征.​ 解决方法：以焦点在 x 轴的方程为例，结合不等式性质分步推导范围，用 “代换 x 为 - x” 等具体操作演示对称性验证，搭配图形直观辅助理解.​ 困难二：混淆 a、b、c 的几何意义，无法将其与椭圆顶点、轴长关联，对离心率 e=c/a 的含义及与扁平程度的关系理解困难.​ 解决方法：通过椭圆图形标注 a、b、c 的位置，对比不同椭圆模型演示扁平程度变化，结合 e 的数值计算，让学生直观感知 e 与形状的关联.​ 困难三：由几何条件求椭圆方程时，难以根据性质确定焦点位置及 a、b 的值，运算易出错.​ 解决方法：先通过例题梳理 “性质→参数→方程” 的解题步骤，再设计分层练习，小组互助纠错，强化思路与运算准确性. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：难从椭圆方程推导几何性质，混淆 a、b、c 几何意义，难理解离心率与椭圆扁平程度的关系. 观察：观察以上五个椭圆，有何发现？ 学生：观察并得出结论：扁平程度不同 思考：直线倾斜程度不同，可以用斜率来定量刻画；那么椭圆的扁平程度不同能否有一个量来定量刻画呢？ 教师：这就是我们本节课要探究学习的椭圆几何性质之：离心率 设计意图：通过观察椭圆扁平差异引发思考，类比直线斜率定量刻画倾斜度，自然引出离心率，激发学生探究椭圆几何性质的兴趣与主动性. 教学建议：展示椭圆时可标注参数差异，引导学生联想 a、b 关系；追问 “为何扁平不同”，铺垫后续离心率与 a、c 关联的探究，强化知识衔接. 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备. 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 学生：从椭圆方程入手，借助，可接建立不等式，从而可以求出对应的两个闭区间. 预设：由方程，可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式即，． 要求：教师要求学生利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 学生：开始学以致用，尝试求出y的取值范围. 预设：同理有，即． 师生：共同归纳总结，得出结论. 以上即为椭圆第一个简单几何特征：范围，椭圆位于直线，围成的矩形框里. 牛刀小试： 练1：椭圆中，x，y的范围是什么？ 预设：根据椭圆的性质可知，椭圆中，． 练2：椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（     ） A． B． C． D． 预设：由，得，所以椭圆的标准方程为， 则， 因为点在椭圆上，所以． 故选：C 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 学生：思考并尝试着从椭圆方程入手去说明对称性. 预设：以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 学生：进行知识迁移，灵活运用以上相同的放噶，说明椭圆是关于y轴对称的. 预设：以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 学生：继续用以上相同的方法进行说明. 预设：以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第二个简单几何性质：对称性. 椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 牛刀小试： 练3：下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 预设：曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称.即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 练4：判断题：已知曲线C的方程为关于坐标原点中心对称.（ ） 预设：设点，满足，则点关于原点对称的点为，因为，所以点也在曲线C上，即曲线C关于坐标原点对称. 故正确; 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊.研究曲线上这些特殊点的位置，可以确定曲线的位置． 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 学生：借助求直线与坐标轴交点的方法，得出四个特殊点的坐标 预设：在椭圆的标准方程中，令，得．因此，是椭圆与 轴的两个交点． 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标 学生：学以致用，求出坐标 预设：令，得．因此，是椭圆与轴的两个交点． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第三个简单几何性质：顶点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 牛刀小试： 练5：求椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标． 预设：把给定方程化成标准方程．这里，，． 所以椭圆的长轴和短轴的长分别是10和6， 两个焦点在轴上，它们分别是和， 四个顶点分别是、、、． 练6：（多选）若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（  ） A． B． C． D． 预设：令得，令得，故与两坐标轴的交点坐标为， A选项，的两焦点坐标为，又为一个顶点，A正确； B选项，的两焦点坐标为，B错误； C选项，的两焦点坐标为，且为一个顶点，C正确； D选项，的两焦点坐标为，D错误. 故选：AC 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 教师：通过Geogebra软件进行演示. 学生：通过教师借助信息技术的动态化演示，学生得出结论. 预设：通过动画演示我们发现：保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平．类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样， 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第四个简单几何性质：离心率. ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 师生：共同讨论与辨析离心率 预设：因为，所以．越接近1，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近0，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为． 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 学生：思考并进行小组讨论，得出结论，并分享自己的结论 预设： 牛刀小试： 练7：椭圆的离心率为 ． 预设：因为椭圆方程为，所以所以，所以 所以离心率，故答案为： 练8：椭圆的离心率为，则（     ） A． B． C． D．2 预设：由题意得，解得，故选：A. 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 学生：结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 第2步：确定椭圆焦点位置 第3步：由标准方程，求出a,b,c,的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 题型一：根据椭圆的方程求a,b,c值及相关量 例题 求椭圆的长轴与短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 题型二：根据几何条件求出椭圆的方程 例题（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点，求椭圆的标准方程. 预设：（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程. (2) 经过两点和，求椭圆的标准方程. 预设：（2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得，故所求椭圆的标准方程为. 方法总结：巧设椭圆方程为：根据题意建立关于m,n的方程组，解方程即可求得椭圆的方程，再将椭圆方程标准化处理. 题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 (1)已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 预设：因为点是椭圆上一点，所以， 又，，所以，， 设，，则， 所以函数在区间上单调递减，所以，， 所以，所以函数点P到点的距离的取值范围. (2)已知 P ( m, n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 预设：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，所以， 且，则，则，因为，所以， 所以，即. 故选：B. 方法总结：首先将所求式子进行消元处理，由多元变为一元，结合函数的性质，以及椭圆的有界性，即可求得所求式子的范围或最值. 题型四：求椭圆的离心率或离心率的范围 例题（1）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 预设：，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即， 求得，，， 故选：B. （2）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 预设：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，，所以， 又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 方法总结： 求离心率的方法： 方法①：定义法：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②：齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解. 求离心率范围的方法： 齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解. 1．（24-25高二上·山东烟台·期末） 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 预设：因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东梅州·期末） 已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（     ） A．4 B． C．8 D． 预设：由知，离心率为， 解得，，故短轴长为. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 预设：由化简可得，焦点为在轴上， 同时又过点，设，有，解得， 故选：C 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 预设：由可得，由图知，， 则的面积为，解得， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 预设：由可得，由图知，， 则的面积为，解得， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 6. （高二上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 预设：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可，即当点位于短轴的端点时，， 所以，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 作业1：完成教材：第112页 练习1,2,3,4,5. 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第1课时》.  3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 1. 范围： 2. 对称性：对称轴： ，对称中心： 3. 顶点： 4. 离心率 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课围绕椭圆范围、对称性、顶点及离心率展开教学，整体达成预设目标：通过情境引入类比直线斜率，成功激发学生对离心率的探究兴趣；推导范围与对称性时，结合方程分步引导，多数学生能理解代数方法与几何特征的关联.但存在不足：一是部分学生对 a、b、c 与椭圆图形的对应关系仍模糊，虽通过图形标注讲解，仍有少数人混淆轴长与参数的关系；二是离心率与扁平程度的关联，仅靠数值举例不够直观，学生理解较浅；三是由几何条件求方程的练习时间不足，部分学生解题思路不清晰.后续教学中，需增加椭圆模型实物观察，用动态演示呈现离心率变化，优化练习时间分配，同时加强对学困生的个别辅导，提升教学效果. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $