3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，通过从椭圆标准方程导入，衔接前期定义与标准方程知识，以表格对比焦点位置不同的性质，搭建从方程到几何特征的学习支架。 其亮点在于用“AI·思考辨析”引导学生以数学眼光观察离心率与椭圆扁平关系，“变条件变结论”例题训练数学思维，结合规律方法总结提升数学语言表达。学生能深化理解，教师可高效教学。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质 学 习 目 标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.能利用椭圆的简单性质求标准方程. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 (a>b>0) 　 　　　　　　  范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b   x,y分别为椭圆上点的横坐标和纵坐标 　　 , 　　   -b≤x≤b -a≤y≤a 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴:　　　　　,  对称中心:　　　　  顶点 A1(-a,0),A2(a,0) 　　　 　  A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) 　　　　 　  焦距 2c 轴 线段A1A2叫做长轴,长度为　　　　  线段B1B2叫做短轴,长度为　　　　  离心率 (0<e<1) 坐标轴 原点 B1(0,-b),B2(0,b) F1(0,-c),F2(0,c) 2a 2b AI·思考辨析 我们知道,离心率是反应椭圆扁平程度的量,随着离心率e的增大,椭圆的形状有什么变化? 提示 随着离心率e的增大,椭圆变得越来越扁.实际上我们也可以用来直观地反映椭圆的扁平程度,,当e增大时,减小,椭圆变扁. 体验新知 1.有关椭圆x2+4y2=16的叙述错误的是(　　) A.长轴长等于4 B.短轴长等于4 C.离心率为 D.x的取值范围是[-4,4] A 解析 椭圆方程可化为=1,则a=4,b=2,c==2,则长轴长为8,短轴长为4,离心率e=,x的取值范围是[-4,4],故A错误,B,C,D正确.故选A. 2.(2026河北衡水高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为6,离心率为,则b=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 解析 记椭圆的半焦距为c,由2c=6得c=3,于是由得a=6, 可知b==3.故选B. 3.(人教B版教材习题)根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)长轴长和短轴长分别为8和6,且焦点在x轴上; (2)一个焦点坐标为(-3,0),一个顶点坐标为(0,5). 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【例1】 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 例题探究1 (变条件变结论)本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其范围、长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 例题探究2 (变条件变结论)本例中,若P为椭圆上任意一点,F为椭圆的右焦点,求|PF|的取值范围. 解 设P(x,y),则|PF|2=(x-)2+y2=(x-)2+9-x2=, 因为x∈[-4,4],所以当x=-4时|PF|2最大为(4+)2, 当x=4时|PF|2最小为(4-)2,所以|PF|的取值范围为[4-,4+]. 变式训练1 (1)(2026广西高二期中)已知椭圆mx2+y2=1的焦点在y轴上且离心率为,则实数m的值为(　　) A.3 B. C. D. D 解析 椭圆mx2+y2=1变形为+y2=1, 因为焦点在y轴上,所以a2=1,b2=, 所以离心率e=,解得m=.故选D. (2)(2026浙江温州高二期中)已知点P在椭圆C:=1上运动,圆C'的圆心为椭圆的右焦点F,半径r=,点Q在圆C'上,则|PQ|的取值范围是(　　) A.[2-,6+] B.[0,8] C.[2-,8] D.[1,7] A 解析 在椭圆C中,a=4,b=2,则c==2,即F(2,0). 设点P(x,y),则-4≤x≤4,且=1,可得y2=12-. 所以|PF|= =4-∈[2,6], 所以|PQ|≤|PF|+|FQ|=|PF|+≤6+, 当且仅当P为椭圆的左端点,且Q为射线PF与圆C'的交点时,上述不等式中的两个等号同时成立,|PQ|≥||PF|-|FQ||=|PF|-≥2-, 当且仅当P为椭圆的右端点,且Q为线段PF与圆C'的交点时,上述不等式中的两个等号同时成立, 综上所述,|PQ|的取值范围是[2-,6+].故选A. 能力提升点二　根据椭圆的几何性质求其标准方程 【例2】 (北师大版教材例题)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴在x轴上,长轴长为12,离心率为; (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8). (2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点, 于是有b=6,a=8. 例题探究　(变条件)本例(1)中,将条件“长轴长为12”,改为“过点(3,-)”,其他不变. 解 设椭圆的方程为=1(a>b>0),则=1-. 又=1,解得a2=36,b2=20. ∴椭圆的标准方程为=1. 变式训练2　(2026江苏高二期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点(0,4),离心率为,则椭圆C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 解析 因为椭圆经过点(0,4),所以=1,即b2=16. 离心率e=,所以a2=25, 所以椭圆C的方程为=1.故选D. 能力提升点三　求椭圆的离心率的值(或取值范围) 【例3—1】 若椭圆的长半轴长a、短半轴长b、半焦距c满足b2=ac,则该椭圆的离心率等于(　　) A. B. C. D. D 解析 因为b2=ac,所以a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=(e=舍去).故选D. 【例3—2】 (2021全国乙)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意,点B(0,b). 设P(x0,y0),则=1,得=a2, ∴|PB|2=+(y0-b)2=a2-2by0+b2=--2by0+a2+b2,y0∈[-b,b]. 由题意知当y0=-b时|PB|2最大, ∴-≤-b,得b2≥c2,即a2-c2≥c2, ∴离心率e=,即e∈. 【例3—3】 已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 　　　 　　.  -1 解析 如图,由题意知,△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,所以F1N⊥F2N. 因为|NF2|=|OF2|=c,所以|NF1|=c. 由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a, 所以c+c=2a,所以a=c, 所以e=-1. 例题探究1 (变条件)将例3—3条件改为“过F1作与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形”,则椭圆的离心率又如何求解? 解 如图,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形, 所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°. 令|AF1|=x,则|AF2|=2x, 所以|F1F2|=x=2c. 再由椭圆的定义, 可知|AF1|+|AF2|=2a=3x,所以e=. 例题探究2 (变条件变结论)将例3—3条件改为“直线l:y=kx与椭圆 =1(a>b>0)交于A,B两点,且AF2⊥BF2”,求椭圆的离心率的取值范围. 解 因为AF2⊥BF2,所以|OA|=|OB|=|OF2|=c.又|OA|>b,所以c>b,即c2>a2-c2,可得<-.又0<e<1,所以离心率的取值范围为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)椭圆的简单几何性质; (2)由椭圆的几何性质求标准方程; (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳:分类讨论思想、方程法、不等式法. 3.常见误区:(1)容易忽略椭圆离心率的范围及长轴长与a的关系; (2)容易忽视椭圆方程中参数的约束条件和范围. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) D 1 2 3 4 5 2.(2026河北唐山高二期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短半轴长为1,则a=(　　) A. B. C.1 D. A 解析 依题意,短半轴b=1, 由解得 故选A. 1 2 3 4 5 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点. 依题意可知,△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c, |BF2|=a,∠OF2B=60°, ∴cos 60°=,即椭圆的离心率e=. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.(人教B版教材习题)根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4); (2)焦距是12,离心率是0.6,焦点在x轴上. 1 2 3 4 5 解 (1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ∵椭圆过点(0,±6)和(5,4), 本 课 结 束 =1 =1(a>b>0) 解 (1)∵2a=8,2b=6,∴a=4,b=3. 又焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为=1. (2)由题意知,焦点在x轴上,c=3,b=5. ∴a2=b2+c2=34,∴椭圆的标准方程为=1. 解 已知方程化成标准方程为=1, 于是a=4,b=3,c=, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6, 离心率e=. 又知焦点在x轴上, ∴两个焦点坐标分别是(-,0)和(,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3). 解 由已知得椭圆的标准方程为=1, 于是a=,b=,c=. ∴长轴长2a=,短轴长2b=,离心率e=. 焦点坐标分别是和, 顶点坐标分别是,. 解 (1)由已知2a=12,e=,得a=6,c=4, 从而b2=a2-c2=20. 所以椭圆的标准方程为=1. 又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为=1. A.7,2, B.14,4, C.7,2, D.14,4, 解析 由已知,可得椭圆的标准方程为=1,则a=7,b=2,c==3, 所以长轴长为2a=14,短轴长为2b=4,离心率为e=.故选D. 解析 椭圆=1的离心率为e=,椭圆=1的长轴长为4. 所以解得故b2=a2-c2=6. 又因为所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上, 所以方程为=1或=1. 4.与椭圆=1有相同的离心率且长轴长与=1的长轴长相等的 椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　.  =1或=1 ∴∴ ∴椭圆的标准方程为=1. (2)由题意知,2c=12,=0.6, ∴c=6,a=10,∴b2=a2-c2=64. 又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为=1. $