3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，通过“天宫一号”运行轨迹情境导入，结合表格对比焦点在x轴、y轴上的椭圆图形、方程、范围等性质，设置“想一想”“自我诊断”搭建学习支架，衔接椭圆方程与几何性质的关联。 其亮点在于分层设计（基础巩固、综合运用、拓展探究）与高考题融入，通过通性通法总结（如求离心率的直接法与方程法）培养数学思维，情境导入发展数学眼光，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

3.1.2　 椭圆的简单几何性质 新课程标准解读 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用， 进一步体会数形结合的思想 直观想象、数学 运算 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时　 椭圆的简单几何性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常 出现. 【问题】　你知道椭圆有什么样的几何性质吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a 目录 数学·选择性必修第一册 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 顶点 A1（－ a ，0）， A2（ a ， 0）， B1（0，－ b ）， B2（0， b ） A1（0，－ a ）， A2（0，a ）， B1（－ b ，0）， B2（ b ，0） 轴长 长轴长＝ ，短轴长＝ ⁠ 焦点 F1（－ c ，0），F2 ⁠ F1（0，－ c ）， F2 ⁠ ⁠ 焦距 ｜ F1 F2｜＝ ⁠ 对称性 对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心 ⁠ 离心率 e ＝ （0＜ e ＜1） 2 a 　 2 b 　 （ c ， 0） （0， c ） 2 c 　 （0，0）　 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 能用 a ， b 表示椭圆离心率 e 吗？ 提示：能. e ＝ . 2. 椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆吗？ 提示：越圆. 3. 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点 B1和 B2到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1和 A2到中 心 O 的距离最远. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的长轴长等于 a . （　×　） （2）椭圆 ＋ ＝1的离心率 e ＝ . （　×　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个 顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，± ）. （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）关于椭圆 C ： ＋ y2＝1，下列结论正确的是（　　） A. 对称中心为原点 B. 长轴长为4 D. 短轴长为1 解析：ABC　易知A中结论正确；因为椭圆 C ： ＋ y2＝1，所以 a ＝2， b ＝1， c ＝ .长轴长为2 a ＝4，故B中结论正确；焦距为2 c ＝2 ，故C中结论正确；短轴长为2 b ＝2，故D中结论错误. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4， 0），（0，2），则此椭圆的方程是 　 　. ＋ ＝1 解析：由已知 a ＝4， b ＝2，椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆方程是 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 若焦点在 y 轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则 m ＝ 　　. 解析： a ＝ ， c ＝ ＝ ， m ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 由椭圆标准方程研究几何性质 【例1】　求椭圆9 x2＋16 y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点 坐标和顶点坐标. 解：把已知椭圆方程化成标准方程为 ＋ ＝1， 所以 a ＝4， b ＝3， c ＝ ＝ ， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2 a ＝8和2 b ＝6， 离心率 e ＝ ＝ ， 两个焦点坐标分别是（－ ，0），（ ，0）， 四个顶点坐标分别是（－4，0），（4，0），（0，－3），（0，3）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论； （3）求出 a ， b ， c ； （4）写出椭圆的几何性质. 提醒　长轴长、短轴长、焦距不是 a ， b ， c ，而应是 a ， b ， c 的两倍. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（多选）（2024·临沂月考）关于椭圆4 x2＋3 y2＝12有以下结论，其 中正确的有（　　） C. 焦点在 y 轴上 D. 焦点坐标为（－1，0），（1，0） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　将椭圆方程化为标准方程为 ＋ ＝1，所以该椭圆的焦 点在 y 轴上，故C正确；焦点坐标为（0，－1），（0，1），故D错 误； a ＝2，长轴长是4，故B错误；因为 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝1， 离心率 e ＝ ＝ ，故A正确.故选A、C. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 由椭圆几何性质求标准方程 【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦 距为6； 目录 数学·选择性必修第一册 解： 依题意可设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 如图所示，△ A1 FA2为等腰直角三角形， OF 为斜 边 A1 A2的中线（高），且｜ OF ｜＝ c ，｜ A1 A2｜＝2 b ， 所以 c ＝ b ＝3， 所以 a2＝ b2＋ c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）过点（3，0），离心率 e ＝ . 解： 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）， 由题意，得 a ＝3， 因为 e ＝ ，所以 c ＝ ，从而 b2＝ a2－ c2＝3，所以椭圆的标 准方程为 ＋ ＝1； 目录 数学·选择性必修第一册 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）， 由题意，得 b ＝3， 因为 e ＝ ＝ ， 把 b ＝3代入，得 a2＝27，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参 数； （4）写出椭圆的标准方程. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦 距为8； 解： 由题意知，2 c ＝8， c ＝4， ∴ e ＝ ＝ ＝ ， ∴ a ＝8，从而 b2＝ a2－ c2＝48， ∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知椭圆的离心率为 e ＝ ，短轴长为8 . 解： 由 e ＝ ＝ 得 c ＝ a ， 又2 b ＝8 ， a2＝ b2＋ c2. ∴ a2＝144， b2＝80， ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 椭圆的离心率问题 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆 C1： ＋ y2＝1（ a ＞ 1）， C2： ＋ y2＝1的离心率分别为 e1， e2，若 e2＝ e1，则 a ＝ （　A　） A 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 法一　由题意知 e1＝ ， e2＝ ＝ ，因为 e2＝ e1，所以 ＝ × ，得 a ＝ .故选A. 法二　代入验证，若 a ＝ ，则 e1＝ ＝ ＝ ， 又 e2＝ ，所以 e2＝ e1，所以 a ＝ 符合题意，由于是单选 题，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该 椭圆的离心率为（　A　） A 解析：如图，△ BF1 F2是正三角形，∵在Rt△ OBF2 中，｜ OF2｜＝ c ，｜ BF2｜＝ a ，∠ OF2 B ＝60°， ∴ cos 60°＝ ＝ ，即椭圆的离心率 e ＝ ，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求椭圆离心率的两种方法 （1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e ＝ 求解.若已知 a ， b 或 b ， c 可借助于 a2＝ b2＋ c2求出 c 或 a ，再代入公式 e ＝ 求解； （2）方程法：若 a ， c 的值不可求，则可根据条件建立 a ， b ， c 的关 系式，借助于 a2＝ b2＋ c2，转化为关于 a ， c 的齐次方程或不等 式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的 方程或不等式，即可求得 e 的值（范围）. 目录 数学·选择性必修第一册   解析：根据题意得2 b ＝6， a ＋ c ＝9或 a － c ＝9.又 a2－ b2＝ c2，所 以（舍），故 e ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心 率的取值范围为 ⁠. 解析：依题意可得2 c ≥2 b ，即 c ≥ b .所以 c2≥ b2，从而 c2≥ a2－ c2，即2 c2≥ a2， e2＝ ≥ ，所以 e ≥ .又因为0＜ e ＜1，所以椭 圆离心率的取值范围是［ ，1）. ［ ，1）　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1，则长轴的端点为（　　） A. （3，0），（－3，0） B. （0，3），（0，－3） 解析： 　因为椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1，所以 a ＝3，且焦点在 x 轴上，所以长轴的端点为（3，0），（－3，0）.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞0）的一个焦点为（2，0），则 C 的 离心率为（　　） 解析： 　因为椭圆 C 的一个焦点为（2，0），所以 c ＝2，所以 a2 ＝4＋4＝8，解得 a ＝2 ，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·淄博月考）已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）有两个顶点在 直线 x ＋2 y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标为 ⁠. 解析：在 x ＋2 y ＝2中，由 y ＝0得 x ＝2，由 x ＝0得 y ＝1，则该直线 交 x 轴于点（2，0），交 y 轴于点（0，1），依题意得 a ＝2， b ＝ 1，则 c ＝ ＝ ，显然，椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆 的焦点坐标是（± ，0）. （± ，0）　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为 6.求： （1）这个椭圆的离心率； （2）这个椭圆的标准方程. 解：因为椭圆的焦点位置不确定，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. （1）离心率 e ＝ ＝ . 解：由题意知2 a ＋2 b ＝18，2 c ＝6. 又 a2＝ b2＋ c2，所以 a ＝5， b ＝4， c ＝3. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 椭圆6 x2＋ y2＝6的短轴端点坐标为（　　） A. （－1，0），（1，0） B. （－6，0），（6，0） C. （0，－1），（0，1） D. （0，－6），（0，6） 解析： 　∵椭圆方程化为标准式为 ＋ x2＝1，∴ b2＝1，且焦点 在 y 轴上，∴短轴端点坐标为（－1，0），（1，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2.  (2025高二上·惠来月考) 已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)，则C的标准方程为（　　） 解析：由题意，可知，所以，且椭圆C的焦点在x轴上， 则椭圆C的标准方程为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 解析：已知椭圆过点，得，解得， 则椭圆方程为，设椭圆的半焦距为，则，所以，则该椭圆的焦距为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. (2025高二上·中山月考) 已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（ ） A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·焦作月考）已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距为2 ，且长轴 长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　） 解析： 　因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设椭圆方程为 ＋ ＝1 （ a ＞ b ＞0），则 c2＝ a2－ b2＝（ ）2＝3，且 a ＝2 b ，解得 a2＝ 4， b2＝1，所以椭圆的标准方程为 x2＋ ＝1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）（2024·镇江月考）若椭圆 C ： ＋ ＝1的一个焦点坐 标为（0，1），则下列关于椭圆 C 的结论中正确的有（　　） A. m ＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由已知可得 ＝1，解得 m ＝2或 m ＝－1 （舍去），∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.∴ a2＝3， b2＝2，即 a ＝ ， b ＝ ，则 c ＝1.∴长轴长为2 a ＝2 ，短轴长为2 b ＝2 ，离心率为 e ＝ ＝ ＝ .故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知曲线 C1： ＋ ＝1与曲线 C2： ＋ ＝1（ k ＜ 9且 k ≠0），下列说法正确的是（　　） A. 两条曲线都是焦点在 x 轴上的椭圆 B. 两曲线的焦距相等 C. 两曲线有相同的焦点 D. 两曲线的离心率相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ k ＜9，∴25－ k ＞9－ k ＞0，又25＞9＞0，∴两曲 线都是焦点在 x 轴上的椭圆，故A正确；曲线 C1的焦距为2× ＝8，曲线 C2的焦距为2 ＝8，故B、 C正确；曲线 C1的离心率 e1＝ ，曲线 C2的离心率 e2＝ ，故D 不正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 比较椭圆① x2＋9 y2＝36与② ＋ ＝1的形状，则 更扁（填 序号）. 解析： x2＋9 y2＝36化为标准方程为 ＋ ＝1，故离心率 e1＝ ＝ ＋ ＝1的离心率 e2＝ .因为 e1＞ e2，故①更扁. ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜ e ≤ ，则长轴长的取值范围 为 ⁠. 解析：∵ e ＝ ， b ＝1，0＜ e ≤ ，∴ ≤ ， 则1＜ a ≤2，∴2＜2 a ≤4，即长轴长的取值范围是（2，4]. （2，4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：法一　由 PF2⊥ F1 F2可知 P 点的横坐标为 c ，将 x ＝ c 代入椭 圆方程可解得 y ＝± ，所以｜ PF2｜＝ .又由∠ PF1 F2＝30°，可 得｜ F1 F2｜＝ ｜ PF2｜，故2 c ＝ · （ a2－ c2）＝2 ac ，等式两边同除以 a2，得 （1－ e2）＝2 e ，解得 e ＝ 或 e ＝－ （舍去）. 9. （2024·广州质检）设椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦 点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点， PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2＝30°，则 C 的离心率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 法二　由题意可设｜ PF2｜＝ m ，结合条件可知｜ PF1｜＝2 m ，｜ F1 F2｜＝ m ，故离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 焦点在 x 轴上的椭圆的方程为 ＋ ＝1，点 P （ ，1）在 椭圆上. （1）求 m 的值； 解： 由题意，点 P （ ，1）在椭圆上，代入得 ＋ ＝1，解得 m ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 解： 由（1）知，椭圆方程为 ＋ ＝1， 则 a ＝2， b ＝ ， c ＝ ， 椭圆的长轴长2 a ＝4；短轴长2 b ＝2 ； 焦距2 c ＝2 ；离心率 e ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，若 直线 x ＝ 上存在点 P ，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心 率的取值范围是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 由垂直平分线的性质知｜ F1 F2｜＝｜ PF2｜，设直线 x ＝ 与 x 轴的交点为 M ，则｜ PF2｜≥｜ F2 M ｜，即｜ F1 F2｜ ≥｜ F2 M ｜，则2 c ≥ － c ，即3 c2≥ a2，所以 e2＝ ≥ ，又0＜ e ＜1，所以 ≤ e ＜1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）(2025高二上·达州期末) 已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. 的取值范围是 B. 当焦距为时，离心率为 C. 当离心率为时，的周长为 D. 当长轴长为时，的面积最大值为 目录 数学·选择性必修第一册 解析： A、因为椭圆的焦点在轴上，因此可得，该选项错误，不合题意； B、当焦距为时可得，即，可得，所以； 因此离心率为，该选项错误，不合题意； C、结合B选项可得，； 所以的周长为，该选项正确，符合题意； D、当长轴长为时可得，又，所以。 的面积最大值为，该选项正确，符合题意。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为 cm， 短轴长为 cm，离心率为 ⁠. 8 　 12　 　 解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为 ＝8 （cm），则 c2＝（4 ）2－62＝12，∴ c ＝2 ，∴离心率 e ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的一个端点为 P . （1）若∠ F1 PF2为直角，焦距为2，求椭圆 C 的标准方程； 解： 因为椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的 一个端点为 P ，且∠ F1 PF2为直角， 所以 b ＝ c ， a ＝ c ，又因为焦距为2，所以 c ＝1， a ＝ ， b ＝1， 所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若∠ F1 PF2为钝角，求椭圆 C 的离心率的取值范围. 解： 因为椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的 一个端点为 P ，且∠ F1 PF2为钝角， 所以45°＜∠ OPF2＜90°（ O 为坐标原点）， 所以 sin ∠ OPF2＝ ∈（ ，1）， 所以椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·南京质检）如图，把椭圆 ＋ ＝1的长轴（线段 AB ）分 成8等份，过每个分点作 x 轴的垂线，分别交椭圆于 P1， P2， P3，…， P7七个点， F 是椭圆的左焦点，则｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜ ＋…＋｜ P7 F ｜＝ ⁠. 35　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜ P1 F ｜＋｜ P7 F ｜＝2 a ，｜ P2 F ｜＋｜ P6 F ｜＝2 a ，｜ P3 F ｜＋｜ P5 F ｜＝2 a ，｜ P4 F ｜＝ a ，所以｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋｜ P3 F ｜＋｜ P4 F ｜＋｜ P5 F ｜ ＋｜ P6 F ｜＋｜ P7 F ｜＝7 a .因为 a ＝5，所以所求式子的值为35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 设 F1， F2分别是椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点， 过点 F1的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点，｜ AF1｜＝3｜ F1 B ｜. （1）若｜ AB ｜＝4，△ ABF2的周长为16，求｜ AF2｜； 解： 由｜ AF1｜＝3｜ F1 B ｜，｜ AB ｜＝4，得｜ AF1｜ ＝3，｜ F1 B ｜＝1. 因为△ ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4 a ＝16， ｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ＝8， 故｜ AF2｜＝8－3＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 cos ∠ AF2 B ＝ ，求椭圆 E 的离心率. 解： 设｜ F1 B ｜＝ k ， k ＞0，则｜ AF1｜＝3 k ，｜ AB ｜＝4 k . 由椭圆定义可得｜ AF2｜＝2 a －3 k ，｜ BF2｜＝2 a － k . 在△ ABF2中，由余弦定理可得｜ AB ｜2＝｜ AF2｜2＋｜ BF2｜2－2｜ AF2｜·｜ BF2｜· cos ∠ AF2 B ， 即（4 k ）2＝（2 a －3 k ）2＋（2 a － k ）2－ （2 a －3 k ）（2 a － k ）. 化简可得（ a ＋ k ）（ a －3 k ）＝0，而 a ＋ k ＞0，故 a ＝3 k . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 于是有｜ AF2｜＝3 k ＝｜ AF1｜，｜ BF2｜＝5 k . 因此｜ BF2｜2＝｜ F2 A ｜2＋｜ AB ｜2，可得 F1 A ⊥ F2 A ， 故△ AF1 F2为等腰直角三角形. 从而 c ＝ a ，所以椭圆 E 的离心率 e ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $