3.1.2 椭圆的简单几何性质（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖椭圆几何性质全知识点，通过“概念速记-题型巩固-综合应用-高考链接”路径深化理解，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|椭圆顶点、范围等10个单一知识点|配“知识点速记”，基础选择填空题为主，强化概念理解| |B组能力进阶|跨知识点综合应用|解答题为主，如弦长与面积结合，提升运算能力| |C组思维拔高|探究性问题|含定点定值证明，培养逻辑推理与创新意识| |拓展链接高考|高考真题|对接高考题型，如离心率综合题，增强应试能力|

分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 椭圆的顶点、长轴和短轴 知识点02 椭圆的范围 知识点03 椭圆的对称性 知识点04 求椭圆的离心率 知识点05 已知离心率、长轴或短轴求参数 知识点06 点与椭圆的位置关系 知识点07 直线和椭圆的位置关系 知识点08 弦长与面积 知识点09 中点弦 知识点10 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 椭圆的顶点、长轴和短轴知识点01 知识点速记： 椭圆的顶点坐标为，，长轴长为，短轴长为。 椭圆的顶点坐标为，，长轴长为，短轴长为。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为．设为坐标原点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】，， 即，则，解得（负值舍去）． 故选：D． 椭圆的范围知识点02 知识点速记： 椭圆的范围 若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为：，；应用场景：1. 确定坐标取值范围；2. 求解最值（范围问题）。 题型巩固练： 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 7.（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为______ 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 椭圆的对称性知识点03 知识点速记： 1.椭圆的对称性 若椭圆的方程为，则椭圆关于原点对称，关于轴对称，也关于轴对称. 2.应用场景： 1.简化代数运算与求最值：已知椭圆上一点，根据对称性可直接得出其对称点，，也在椭圆上。这一性质常用于减少变量个数，或在求距离之和、面积最大等问题中，通过对称点转化路径，避免繁琐的代数推导； 2.辅助几何证明与图形构造：对于过原点的直线与椭圆交点问题，利用中心对称性可知两交点关于原点对称；对于垂直于对称轴的弦，利用轴对称性可知其被对称轴平分。 题型巩固练： 8．（23-24高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，A，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．不确定 【答案】B 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，， 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形 所以, 由椭圆的定义可得，所以 所以的周长为： 故选：B. 9．（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. 10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【答案】6 【详解】依题意，点关于原点对称，而为线段中点，连接， 则四边形为平行四边形，， 所以. 故答案为：6 11．为椭圆上的点，且点与左、右焦点的连线互相垂直，求点的坐标． 【答案】． 【详解】由于为椭圆上的点，椭圆离心率为， 设，故；， 而，由题意知，则, 得，得， 从而点的坐标为． 椭圆的离心率知识点04 知识点速记： 1.椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1）； （2）趋向于1时，椭圆越扁；趋向于0时，椭圆越圆； 2.椭圆离心率的计算公式： 题型巩固练： 12．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得，， ． 13．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 14．（24-25高二上·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 15．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 16.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 17．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 18．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 已知离心率、长轴或短轴求参数知识点05 知识点速记： 此类问题注意区分椭圆的交点位置，若焦点位置不明确，则需分两种情况讨论。 题型巩固练： 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 20．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 【答案】B 【详解】当焦点在轴时，有 ，，则，解得； 当焦点在轴时，有 ，，则，解得， 因为，满足题意，综上所述，或. 21．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 点与椭圆的位置关系知识点06 知识点速记： 点与椭圆（a>b>0）的位置关系： 点P在椭圆上⇔； 点P在椭圆内部⇔； 点P在椭圆外部⇔. 题型巩固练： 22．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 23．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 24．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 直线和椭圆的位置关系知识点07 知识点速记： 直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 解 0 相切 解 0 相离 解 0 题型巩固练： 25．（24-25高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 26．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 28．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 弦长和面积知识点08 知识点速记： 弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，或． 三角形面积公式：（为弦长，为定点到直线的距离） 题型巩固练： 29．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 30．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 31．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 【答案】 【详解】由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 32．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. 【答案】 【详解】由题设，，将代入椭圆，得，则， 所以的面积为. 33．（2024·黑龙江吉林·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则__________. 【答案】 【详解】由题意，则， 因为， 所以.    34．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 35．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 【答案】 【详解】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 中点弦知识点09 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为， 则，两式相减得，则，即，即； 另一结论：。 题型巩固练： 36．（25-26高二上·山东·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】设，，因为A，B两点在椭圆上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率k，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D 37．（25-26高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设以为中点的弦的两个端点为， 则，代入椭圆方程中得 ，两式相减得，， 因式分解， 将代入(1)， 因为弦的斜率， 所以整理(1)可得， 故选： 38．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 定点、定值问题知识点10 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 39．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 40．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测），为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于，的任意一点，直线，的斜率之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则有， 由，可得， 所以， 所以， 故选：A. 41．已知为椭圆上的动点，设过点的切线斜率为，问：是否为定值？（为原点） 【答案】当时无意义；当时，定值为 【详解】由题可设点，， 当时，过点的切线与y轴垂直，即，此时无意义； 当时，因为是椭圆在点处的切线，所以， 即，所以． 又因为，所以． 42．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意得 ，得，                           故的方程为； （2）证明：设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且，          所以 ， 故为定值． 43．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 44.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)过定点， 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 1．（25-26高二上·广东·期中）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【答案】D 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同， 所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同， 即，即， 解得， 所以小椭圆的短轴长为10cm， 故选：D 3．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆上任意一点到，的距离之和为，由椭圆的定义得，即， 令椭圆：的半焦距为， 则，则直线， 由，解得， 于是得，则， 所以椭圆的方程为. 故选：C 4．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 5．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 6．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 7．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 8．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 9．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆E的左焦点为，连接， 因为直线过原点，所以其与椭圆的交点关于原点对称， 且焦点也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 所以， ，所以，解得， 因为点M到直线l的距离为，不妨设， 则点M到直线l的距离为，解得， 所以， 故椭圆E的离心率为. 10．（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【详解】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上， 且，， 则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误； 两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确； 两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确； 故选：BD. 11．（多选）（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的最小值为3 C．的周长为12 D．的最大值为16 【答案】ACD 【详解】由椭圆可得：， 所以，故离心率为，故A正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知：，故B错误； 根据椭圆的定义可知：的周长为，故C正确； 根据基本不等可得：，取等号条件是，故D正确； 故选：ACD. 12．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 【答案】CD 【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 解得 , 所以， 故椭圆的短轴长为千米，A错误，B错误； ，故C正确，D正确, 故选：CD. 13．（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆的焦点，则 【答案】BD 【详解】对于A，设，则， ， 因此，即，直线与不垂直，A错误； 对于，由点，得，则，则直线的方程为，即，B正确； 对于C，由直线的方程为，得，点的坐标不可能为，C错误； 对于D，过椭圆焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长， 而椭圆最短弦长为1，最长弦长为4，又直线的斜率存在且不过原点，则，D正确. 故选：BD 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 【答案】 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【答案】 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 16．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 17．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为：． （2）由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交，    则直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 设，，则，， 可得， 且点到直线：的距离为． 所以的面积为． 18．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 19．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 椭圆的方程为； （2）设，，， 可得，即，则， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理得， 即，即， 所以，所以， 又， 所以与的面积之比为. 1．【知识融合】设为椭圆上一点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则矩形面积的最大值为（    ） A．9 B． C． D．18 【答案】B 【详解】 由题意知，矩形的面积， 而，所以. 当且仅当时取等号； 故选：B 2．【转化思想】（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知点是椭圆：上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，， 由椭圆的定义得，设， 则 ， 当点为线段的延长线与的交点时取等号． 3．【知识融合】（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以， 在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故， 所以椭圆的长轴长为. 4．【新定义问题】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义“-伴随点”：若点与点关于直线对称，则称为的“-伴随点”．已知椭圆上存在点，使得的“-伴随点”恰好也在椭圆上，则满足条件的点的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】设点，其关于直线的对称点为，则， 的中点在对称轴上，， 解得, , 已知在椭圆上，满足(1) 又因为对称点也在椭圆上，将代入椭圆方程, =1 两边同乘，展开整理得  (2) 将方程 (2) 减去方程 (1) 乘以，消去常数项后化简，可得两个椭圆的公共点必在两条过原点的直线上, 因式分解得两条直线, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 对任意实数，右边恒正，因此始终有2 个不同的交点,这两个点在对称轴上，对称点为自身，必然满足条件, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 当时，右边恒正，因此也有2 个不同的交点, 这两个点不在对称轴上，它们互为对方的对称点，均满足 “对称后仍在椭圆上”, 当时（直线非 x 轴，非椭圆的对称轴），两条直线互不重合，与椭圆共有4 个不同的公共点，即满足条件的点有 4 个, 因此满足条件的点的个数为. 5．【存在性问题】（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（    ） A．的周长为 B．不存在点P，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点P共有6个 【答案】ACD 【详解】由题意可知，， 则的周长为，故A正确； 当点位于短轴顶点时，，则， 此时，故B错误； 设，则， 在中利用余弦定理可得，， 即，即，即， 则，故的面积为，故C正确； 若，则由椭圆的对称性可知，点位于短轴顶点，共两个点； 若，由，以及椭圆的对称性可知，这样的点有个； 同理，若，这样的点也有个， 故使得为等腰三角形的点P共有6个，故D正确.    故选：ACD 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设，，联立直线与椭圆的方程消，由根与系数间的关系得，，再结合条件得，即可求解； （3）根据条件得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，， 由，消得， 则，且，， 又，则，， 因为，则， 又，，所以 ， 因为，所以， 整理得到，解得， 所以直线的方程为：，故直线过定点. （3）由（2）知，所以，， 因为， 因为，则， 因为， 又，所以， 令，则， 当时，，所以， 当时，，， ，即，解得且， 且，且， 且， 综上所述，的取值范围为. 7．【存在性问题】（25-26高二下·重庆·期末）如图，椭圆：的左、右焦点分别为、，点和点是椭圆的左顶点和上顶点．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为右焦点，且，．    (1)求椭圆的方程； (2)直线过椭圆的右焦点，且与相交于、两点， ①若，求直线的方程； ②在轴上是否存在点，使得无论如何变化，被轴平分，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②存在，点坐标为. 【详解】（1）依题意，点，令椭圆的半焦距为，则， 由，得，则， 由，得∽， 因此，即，则， 由，得， 联立解得， 所以椭圆的方程是. （2）①由（1）知，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 设， ，，而， 则 ， 整理得，解得， 所以直线的方程为. ②假设在轴上存在点，使得被轴平分， 则直线斜率互为相反数， 设，由①得， 则，即，而不恒为0， 因此，解得， 所以在轴上存在点，使得被轴平分，点坐标为. 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 4．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 5．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 7．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 8．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 9．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 10．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 11．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 12．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 14．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1)；(2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 椭圆的顶点、长轴和短轴 知识点02 椭圆的范围 知识点03 椭圆的对称性 知识点04 求椭圆的离心率 知识点05 已知离心率、长轴或短轴求参数 知识点06 点与椭圆的位置关系 知识点07 直线和椭圆的位置关系 知识点08 弦长与面积 知识点09 中点弦 知识点10 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 椭圆的顶点、长轴和短轴知识点01 知识点速记： 椭圆的顶点坐标为，，长轴长为，短轴长为。 椭圆的顶点坐标为，，长轴长为，短轴长为。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为．设为坐标原点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 椭圆的范围知识点02 知识点速记： 椭圆的范围 若椭圆的方程为，则椭圆上横坐标纵坐标的范围分别为：，；应用场景：1. 确定坐标取值范围；2. 求解最值（范围问题）。 题型巩固练： 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 7.（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为______ 椭圆的对称性知识点03 知识点速记： 1.椭圆的对称性 若椭圆的方程为，则椭圆关于原点对称，关于轴对称，也关于轴对称. 2.应用场景： 1.简化代数运算与求最值：已知椭圆上一点，根据对称性可直接得出其对称点，，也在椭圆上。这一性质常用于减少变量个数，或在求距离之和、面积最大等问题中，通过对称点转化路径，避免繁琐的代数推导； 2.辅助几何证明与图形构造：对于过原点的直线与椭圆交点问题，利用中心对称性可知两交点关于原点对称；对于垂直于对称轴的弦，利用轴对称性可知其被对称轴平分。 题型巩固练： 8．（23-24高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，A，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．不确定 9．（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 11．为椭圆上的点，且点与左、右焦点的连线互相垂直，求点的坐标． 椭圆的离心率知识点04 知识点速记： 1.椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1）； （2）趋向于1时，椭圆越扁；趋向于0时，椭圆越圆； 2.椭圆离心率的计算公式： 题型巩固练： 12．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 16.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 已知离心率、长轴或短轴求参数知识点05 知识点速记： 此类问题注意区分椭圆的交点位置，若焦点位置不明确，则需分两种情况讨论。 题型巩固练： 19．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 20．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 21．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 点与椭圆的位置关系知识点06 知识点速记： 点与椭圆（a>b>0）的位置关系： 点P在椭圆上⇔； 点P在椭圆内部⇔； 点P在椭圆外部⇔. 题型巩固练： 22．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 23．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 直线和椭圆的位置关系知识点07 知识点速记： 直线与椭圆的位置关系判断方法： 联立消去（或）得到一个关于（或）的一元二次方程： 位置关系 解的个数 的取值 相交 解 0 相切 解 0 相离 解 0 题型巩固练： 25．（24-25高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 弦长和面积知识点08 知识点速记： 弦长公式：当直线与椭圆的两交点为，时，或． 三角形面积公式：（为弦长，为定点到直线的距离） 题型巩固练： 29．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 30．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 31．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 32．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. 33．（2024·黑龙江吉林·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于A，B两点，设，，若的面积是4，则__________. 34．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为__________. 35．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 中点弦知识点09 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为， 则，两式相减得，则，即，即； 另一结论：。 题型巩固练： 36．（25-26高二上·山东·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 37．（25-26高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 定点、定值问题知识点10 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 39．（24-25高二上·福建宁德·期末）过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测），为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于，的任意一点，直线，的斜率之积是（   ） A． B． C． D． 41．已知为椭圆上的动点，设过点的切线斜率为，问：是否为定值？（为原点） 42．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 43．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 44.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 1．（25-26高二上·广东·期中）若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 3．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 6．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 9．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于两点，若，点M到直线l的距离为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 11．（多选）（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的最小值为3 C．的周长为12 D．的最大值为16 12．（多选）（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 13．（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆的焦点，则 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 16．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 17．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积． 18．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 19．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 1．【知识融合】设为椭圆上一点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则矩形面积的最大值为（    ） A．9 B． C． D．18 2．【转化思想】（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知点是椭圆：上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．【知识融合】（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 4．【新定义问题】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义“-伴随点”：若点与点关于直线对称，则称为的“-伴随点”．已知椭圆上存在点，使得的“-伴随点”恰好也在椭圆上，则满足条件的点的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 5．【存在性问题】（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（    ） A．的周长为 B．不存在点P，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点P共有6个 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 7．【存在性问题】（25-26高二下·重庆·期末）如图，椭圆：的左、右焦点分别为、，点和点是椭圆的左顶点和上顶点．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为右焦点，且，．    (1)求椭圆的方程； (2)直线过椭圆的右焦点，且与相交于、两点， ①若，求直线的方程； ②在轴上是否存在点，使得无论如何变化，被轴平分，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 5．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 7．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 8．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 9．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 10．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 11．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 12．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 14．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 参考答案 知识点01 椭圆的顶点、长轴和短轴 1.D: 2.A: 3.C; 4.D: 知识点02 椭圆的范围 19 5.C: 6.-1: 7.4 知识点03 椭圆的对称性 8.B: 9.D 10.6 579579579 11. 【答案】 44凡4444 2 【详解】由于p为椭网5+号-1上的点，韬圆离心率为， 设Pk小故lPF=5+:P明=5 而FF引=8，由题意知PR⊥PF,则PF+PF=FE, 从而点的坐标为 知识点04 椭圆的离心率 12.A: 13.D: 14.D: 15.A: 16.B;17.A: 18.B; 1/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点05 已知离心率、长轴或短轴求参数 19.B: 20.B: 21.B: 知识点06 点与椭圆的位置关系 22.C 23.B; 24.A: 知识点07 直线和椭圆的位置关系 25.D: 26.B; 27.C; 28[4,6U(6,+∞)： 知识点08 弦长和面积 5v5 8 4w7 4v5 29.D: 30.3 31.3 32.2 33. 7 34.3 35. 5V42 21； 知识点09 中点弦 36.D: 37.A: 38.D: 知识点10 定点、定值问题 39.A: 40.A: 41. 【答案】当k=0时无意义：当k≠0时，定值为2 【详解】由题可设点P(,%),y。≠0， 2/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当。=0时，过点P的切线与y轴垂直，即k=0,此时KoP无意义； +%=1, 当x,≠0时，因为1是椭圆在点P(x,%)处的切线，所以8+4 即1：xx+2yy=8,所以k=-)。 又因为ko,所以k-ka三-2%x号=~). 42. 【容案】回学+=1，回答奖见解折 b=1 【详解】(1)由题意得 a2-b5,得 0 2 a=2 故E的方程为4 +x2=1: (2)证明：设D0,M(:,乃)，N(:,2),则直线1的方程为y=2x+t, 与若+r=1联立，得®4红f-4=0 t2-4 则△=168-2)>0，且￥+%=-26=8， 所以DMP+DNP=x+(y-}'+x+(2-t) =+(2x++(2x=5(G+x)=5[(G+x-2xx]=5, 故DM+|DNP为定值. 3/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43. 【答案】(1)+y2=1:2)答案见解析 x v 【详解】(1)设椭圆c的方程为。+存=1(a>b>0)，一个焦点为F-5,0' 所以c=V5,椭圆的另一个焦点为E(V3,0) 又c经过点P5 所以由椭圆定义得： a=pp-5+5+日j+v5-+g0-+54 即a=2,所以b=Va2-c2=1, 所心c的方程为号+少1 (2)由已知得D(0,1), y=kx+m 由{ 4+少2-1：得 （1+4k2）x2+8kx+4m2-4=0' 故△=16+64k2-16m2>0→1+4k2-m2>0, -8km 4m2-4 设Ay)B(x,)则+=1+4状， 1+4k2, 月+男=+)+2m银，=低+m,+网】上m-4线 1+4k2, 由AD1BD得，DA:DB=+(-1(52-1)=0 5m2-2m-3=0, 1+4k2 所以5m-2m-3=0解得m=1或m=氵 ①当m=1时，直线l经过点D,舍去： 4130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当m= 时，显然有A>0直线，经过定点(Q引别】 D 4.【答案】4+少=1,2过定点，(0，-2) 【详解】(1)由题意可得 e= √a-E5' 2 a=2 x2 解得b=1,所以椭圆C的方程为4+少=1， (2)显然P(0,1),当直线1的斜率不存在时， 设：x=(<2且x≠0) 1-1- 1+1- 4】 -Xo 即当直线I的斜率不存在时，不符合要求. 当直线I的斜率存在时，设直线的方程为y=x+t(t≠1)， y=kx+t 联立 。+y2=1消去得。 y(4k2+1)x2+8+42-4=0' 则△=(8k-4(42+1)(4-4)=16(42+1-tP)>0, 设A(4),B(3,为)， 8tk 4t2-4 所以+=4秋+西4+ 则k阳=1.当-1+1-1+t-1 x 5/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2飞x+k-1)(出+x+(t-_3 2 4 则(42-3x+4k(-1)(飞+5)+4-1=0， 则-0-+4-=0， 整理得P+t-2=0,解得t=-2(t=1舍去). 所以直线1过定点(0，-2)」 B B组 能力进阶 1.B; 2.D: 3.C; 4.A: 5.C: 6.B; 7.C;8.C: 9.D: 10.BD: 11.ACD; 12.CD: 13.BD; 14.x+y-7=0;15.[3,63]: 16. 2 【详解】(1)依题意可得c=1,e=。-3,可得a=5, 则b2=a2-c2=3-1=2, x2,y2 故椭圆ε的标准方程为3+21， y=G-2 (2)联立 x +之消元整理得 2+3k2)x2-12+6=0. 由△=仁12=4x6x2+3)>0,解得<-￥或4、，人 3 6130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即实数，的取值范围为 17. 【暗1+-1,2 x2,y2 【详解】1)因为椭圆c:云+方1（a>b>0)的离心率为是，焦距为2， 2 「c-2 则a2,解得a=5,可 2c=2 c=1 b=Va2-c2=1 +y2=1 所以椭圆c的方程为：2十 (2)由题意可知：乃(-1,0)，直线1的斜率k=tan60°=V3,且直线1与椭圆C必相交， B 则直线1的方程为y=V3(x+1), x2 +y2=1 联立方程 、，消去卫可得 y=V3(x+1 7x2+12x+4=0 设A(,4)小83，马)，则头+5=2 4 ，=7， 可得4--可号-4号8 7 7/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且点o(0,0)到直线/：5x-y+5=0的睡离为3+2 所以。0AB的面积为Saa二 18√2、V5_2W6 2727 x2,y2 18.【答案】(1)云+ 。+3=1:2答案见解析 【详解】(1)因为椭圆过点4(2，)和B(0,V3), 代入椭圆表达式可得a2=6,b2=3: 所到的你方超为后号1， 2651 2)证明：设C(,)D(,),k=- 七2-2， 直线CD的斜率一定存在，设为y=k(x-3), 如下图所示： B M D +=1 联立63 ，消去得到 y=k(x-3) y(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0, 易知△=(122-4(2k2+1)18k2-6)>0,可得k2<1: 18k2-6 2k2+x5=2+1 片+么-6-31，西-3)-1_[2-56+)+12]-k+5)+4 x-2-2 xx2-2(x+2)+4 -12k2+8k2+4 2k2+1 -4k2+4 18k2-6-24k2+8k2+4 2k2-2 -2 2k2+1 故k+k是定值. 8/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19【答案1(4+=l,a写 x b=1 c3 [a=2 【详解】(1)依题意可得 e== =a=2,解得c=5, c2=a2-b2 b=1 x2 :椭圆c的方程为4+少=1： (2)设D(0,%)(-1<%<1),M(-x%),N(x%)(x>0), 可华-，手-w0小六0 4 直线BN的方程为：y=x-1, DE L BN,koe =-%o :直线0的方程，+% 直线 AM 的方程：少=山 -x+1 -x0 y=h-1x+1 -x0 直线 与直线 的方程联立可得 y=-x+6 DE AM %+11 x+1=-x+, ,yo- 整理得- %+1 4--必x=1,所以x。=号 所以 1 又SADN 2 4D-ul5 所以。ADE与△4DM的面积之比为5 9130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.B; 2.B;3.D: 4.C: 5.ACD; 6. 【容类】四号+广1，答案见解折：间信4 【分析】(1)根据条件建立方程组，直接求出a,b,即可求解： (2)设A(5,y),B(x,少)小，联立直线与椭圆的方程消y,由根与系数间的关系得+名=- 8km 1+4k2, 4m2-1) XX2= 1+4k2 再结合条件得m= 5,即可求解： SAOP (3)根据条件得S.0P 再求出、 的取值范围，即可求解 15 2 4 .=1 b2 【详解】(1)由题意得 ，即 1+15=1,解得 4a216b2 e=VI-a=2 1-b23 [a=2 a-a b=1 所以椭圆E的标准方程为4+少=1 (2)设A(x,当)，B(,2), y=kx+m 由 x ，消得 +广=1y+4)2+8mx+4m2-4=0 则A=n-40-m-4小0：且+=名 4m2-1) 1+4k2 10/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又M(0,1),则MA=(:,y-1),MB=(,-1), 因为MA.MB=0,则MAMB=xx+(-1)(y2-), 又y=c+m,乃=，+m,所以MA.MB=x2+(+m-)(c,+m-) -e54-m--0:24-a-ro 因为m≠1，所以41+k2)(m+1)-8k2m+(m-11+42)）=0, 整理得到5m+3=0,解得m=-3 5 所以直我，的方是为：y=红-}枚直线，过定点P0-》 M B 24k -64 (由（②知m}所以+60,259】 S.= 因为S。B0r 2x -64 因为251+4k2) S.402=X ,则So <0 飞+x}-+2x西+发=五+2+五 因为x为 x七3 x' 242k2 区+ 251+4k27 9k2 又 XX2 -64 1+4k2，所以 +2+点=- 9k2 251+42） X2 x1+4k2 =1,则+2+ 19k2 t1+4k2, S402=-=1」 当k=0时，x=:所以S=名 11/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 9 t+-+2=- -<0 当 时， t 1 k≠0 24, 4下、 1 :k2>0 24 [2+21+1<0 t -91 0,即4+171+4、0，解得 1且， <t+二+2<0 ->0 4<t< 4 04t 4t≠-1 1-<4且-+1 4<≤-且之≠1,4X2 x, 1,S40E<4且SB0r 4S△BoP SAAOP+1 S△4oP 综上所述，SAROP 的取值范围为 x2y2 7.【答案】4+2=1：(2①x士V2y-5=0:②存在，点g坐标为2N2,0) 【详解】(1)依题意，点4(-a,0),B(0,b),令椭圆E的半焦距为c,则F(-c,0),E(c,0), x=C 由 上得b则 P(c,) a 由ABIIOP,得RtAOPF∽Rt△ABO, IPFBO b2 b 因此O5,40,即aea,则b=c,a=2c, 由lAE卡2-2，得a-c=2-2, 联立解得a=2,b=c=V2, x2,y2 所以椭圆￡的方程是4十+21， (2)①由(1)知F(W2,0),显然直线1不垂直于y轴，设其方程为x=y+V2, x=y+√2 由x+2y=4消去得 (+2)y2+22-2=0' 设M(G,),N(2,), 22t △=(2V2)2+8t+2)>0,片+=- *2%72而5aw= 2 2 12/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则Sm=o5-%上三0+g-4以 √ 82 8 2 2e+2y+2+2 2W22+0_6 t2+2 2 整理得31-412-4=0，解得1=±V2, 所以直线l的方程为x±V2y-2=0. ②假设在x轴上存在点Q,使得∠MQN被x轴平分， 则直线QM,QN斜率kou,kov互为相反数， 0m0:0潮人产n产n2-司t2司 +3 =0 4-255-m=0,而，不恒为0， 则2，+(2-m0+y2)=0,即+22+2 因此4+2V2(W2-m)=0,解得m=22, 所以在x轴上存在点Q,使得∠MN被x轴平分，点坐标为(2V2,0). 拓展 链接高考 2 1.A;2.C;3.C: 4.35 5.5: 6.13: 7.8: x2.y2 8【答案】4+3l:(②四3 【详解】(1)由于椭圆的离心车为；，所以©=-). a2,即a=2c' 由于a2=b2+c2,所以b2=3c2, b2.y2 将x=b代入椭圆方程，得。+尔=1，即 +花=，解得少=子，即y=t 3c2.y2 2c, 由愿意，所酸得的线段长为石，所以2x5。 c=5,解得c=1从而a2=4,2=3 所以花两的务程为子皆=1， (2)由(1)可知，b=3,所以圆的方程为x2+y2=3, 设直线1的方程为y=-V3x+m,因为直线1与圆相切，如图所示， 13/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m d= -5 则圆心到直线的距离 V5+ 2 ,解得 m=t2√5 椭圆上顶点A0,V5),分两种情况讨论： ①当m二25时，直线的方程为，+25，代入椭圆方程，+背力 化简得5r-16x+12=0:解得=2度x-号。 5 圆2时0x时，电时 5 1<'所以P(2.0),g 643 55 则6-0-55：与= 45-5 k 2 =3 k= 6—-6’比的2V3 2-02 6 x2 y2 ②当m=-25时，直线，的方程为y=5x-25,代入椭圆方程4+31， 化简得50+16+12=0解得：。-2或x=一号 5, 64V3 0(-2,0), 45-535 3V5 则= 6-0 2， k=2=3. k2-0-5-5,此时无方= -2-02 2 综上所述，飞的值为3 【若1写+皆-：因0y= 2 2(x+1):(i)45 【分析】(1)根据焦点以及离心率的定义即可求解： 14/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(①通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解：()由于∠PQR是 直线PO与直线RO的夹角，列出tan∠PpR的表达式即可求解。 【详解】（4)已知椭圆。+左=1的左焦点为F(L0):离心率e x2y2 2 则c=l,e=c=J a2,解得a=2’b6=a2-c2=22-1=4-1=3 x2.y2 因此椭圆方程为4+3=1. (2)解法一： 设1：y=k(x+1)(k>0),点P(,),点(x,),其中x>, y=k(x+1) 联立商线，与桃国方手+若-1 1 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0 8k2 4k2-12 由韦达定理得x+x2= 3+43=3+4k2, 由于P,R两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点R(-,乃)，且片=k(+1)2=k(32+1), (i) 商积公式，Sw=ory-为=之1-=--)》。 又因为O是线段PR的中点，所以SPe=So,所以SPo=2SPo=k(:-), .moF) 22 ；-3,得206-)-306+小甲名+2=-3” 由于SPF0 2由4+63+与x+2x三-3得3+4 30 15/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入xx2= 4u-12 (9-4u)(9+4u）_4u-12 ,得 3+4u (（3+4u) 3+4h,解得u=。 4 之，所以直线，的方程为y=5 所以k (x+1). (i)直线QR的斜率为-- 少-业=k5+5+2=-3 x+x2 4k k+ 4k 3 于是tan∠PQR= 3 s4k24纸45当且仅当 。时取等号， 1- 4 k= 故tan∠PQR的最小值为4W3 解法二： 少如图所示，设直线！的方程为x=侧-1：其中斜车k=>0→m>0, 设点P(x,y),点(x,),且，y2<0, 根据椭圆的中心对称性可知，点R(-x,一y), x=y-1 联文直战与我网方岳有任+号=化疯 (3m2+4)y2-6my-9=0 6m -9 由韦达定理可得%+为=3m+4少=3m+4: 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此S.Poo=SRe0,所以S△PoR=2S△Peo, 由于SAPOR=3S△PpO,所以2 SAPRO=3S△Po, 5w0k-g小2y--以， 16/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.mo=F 所以2-为小3，-以 2 由于片>0，乃<0，所以简化为4-片=2→片=-2y, 代人达定，得%”4则秋2=一气” 化简得45m2=36:由于m >0'解得m=2=25 55 所以直线，的方程为x=25, y-1,即y=5 (x+1). (i)由题意，∠PR即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l,方程为x=my-1(m>0), 点0，小点PK,）小点，直骏DP的斜率o品 ow年会2尝 由于P,Q在直线x=my-1(m>0)上，有x=my-1,x2=my2-1, 出+2 6m 则omy+)-2,代入片+片3m+4' 6m 则er=3n2+4 6m 6m_3m m ,6m,-26m2-23m2+4-8-4, 3m2+4 设直线QP的倾斜角为a,直线QR的倾斜角为B,则∠POR=π-P+ax, 因此tan∠P2R=tan(π-B+a)=tan(a-B)= tana-tanB kor-kor 1+tanatanB 1+kor'KoR 13m kop-koR m4 4+3m2 即tan∠PoR= 4 =3m+ 1+kop:KoR 1+ 13m m m 4 4 4 由基本不等式得3m+>23m=4B,当日仪当3m即m=、2时取等号，所以an∠PO的 m 小值为4W3. 17/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1a【答案1后+号1：ae±9 4 【详解】4)由题意可得。2则心-从4，龙即6>改的方程为+力 a (2)由题意可得'cy=k(x-)+1,设B(:,y)、C(x,), 由B关于直线y=x对称的点为D,则D(,), 联立43 ，消去得： y=k(-1)+1y(4k2+3)x2-8k(k-1)x+4k2-8k-8=0 “联3、药2-8 由4+方2<1，故4在桃圆内部，故4>0恒成立，有气+5-8化 12127 4k2+3· 则h+5=k(:-1)+1+k(:2-1)+1=k(名+x)-2k+2, y2=[k(x-1)+1][k(化-1)+1]=k2xx2+(k-k2)(x+x)+k2-2k+1, y==(x-y)+x oy=-(x-y)+x联立 x2- x2- y=x 则=安安-+，6-=0-)-g-州+5k- xx2-2 X3-y2 xx2-yiy2 整理得G+)-+即O+)+广++ 点。到直故0的瓶考-5号，点c到线0的师离4=上别 2 e-24-小则5m方4，-57，w分-4 -8小5252k6 等可+-小+6+ 1 =(西-)-(G+)+(+⅓ =-x6-k-+)-2+2k-1-(G+)+G+)2k+2习 -R)-&x+x)2+1 18/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1(1-k2)(4k2-8k-8)（1-k2）8k(k-1) -k2+1 2 4k2+3 4k2+3 14k2-8k-8-4K4+8K3+8K28K2-8k-8K4+8k3,-44-3k2+42+3 4k2+3 4k2+3 4k2+3 15k2-5_5 24k2+38' 即有5k-=5k2+ 4,若>1则5=5 =4,无解，不符： 则g<1有5-52=52+ 4,解得k=t 4: 故k=t② B SOA 11. 【答案】() +y2 4+2=1:28o8 【分析】(1)根据椭圆定义以及离心率可求出a,C,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程； OA (2)法一：联立直线方程求出点4，B坐标，即可求出OB,再根据3，BM, 即可得出它们的大小关系 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM=∠BOM,再根据三角形的面积公式即可 解出 【解】（由稀圆可知，244所以，=2·又e=号 =a=2,所以c=V2b2=a2-c2=2' 故椭圆E的方程为4+2 xx+2y%y-4=0 ②联立任号1 ，消去得， 4-2yy +2y2=4, 整理得，(2x+46)y2-16yy+16-4x6=0①， 19/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 反君+=1.所以2x+4=8:16-4x=8 2 故0式可化简为8y2-16y+8=0,即(0-%》=0，所以y=, 所以直线ox+2yy-4=0与椭圆相切，M为切点： S.OA 设A6,乃)，B(k,)易知，当x=5时，由对称性可知，，O8: S AM 压--- 放设5<6<5，易知了。BM--名 xox+2yoy-4=0 联立1y=2 ，解得七 4-40,=2, xx+2yy-4=0 联立1y=-2 解得3 4+40,2=-2,， 44少-x4-4-号 S=-龙=6 所以S2- _4+4x6-4y-4 2y6-4y= 2-y0 -2y6-4y%2+%' 2 4-4y +4 OA xo V41-%)+x_V41-)+4-2 -4%+4_2- OB 2 4+4yo V41+⅓%)}+x号V4(1+%)}+4-2后 V6+4+42+% +4 故S2OB: 法二：不妨设A,y),B(氏y)易知，当5=5时，由对称性可知，S,O8· 故设<x<x, xox+2ox-4=0 联立1y=2 ,解得x 4-4出，y=2, Xo xox+2yov-4= 联立1y=-2 0、解得5-4+，乃=-2. 若x=0,则=1，x=±V2,x2=±4W2 20/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由对称性，不妨取x。V2,x=42,则A(0,2),B(4V2,-2,MN2,, √2√2 tan∠BOM=2写45=2，所以 1-22 tan∠BOM=√2 24 ∠AOM=∠BOM 同理，当x2=0时，∠AOM=∠BOM, 当50所则客4路奶2如台动2 七 又浮号-1，所u写2时-4 所以tam∠40M=a-kaL-2-2y元 1+o4kow1+。。一x0 2-2y%0 =-5+26-2%=-4-2%=2 x(%-2）)(-2)x。’ yo+ tan∠BOM=kaw-k=。2+2y 号+2奶+2%=4+2。=2 1+kowko81+× x(+2)x(y+2)x’ x(2+2y 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, S_O4OM sin∠AOM OA 所以S,=OB OMsin∠BOM OB 珠 2 y=-2 /B 2【名】子号1：包运明见解行 【分析】(1)根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c,再由直线PF的斜率得到m=C,从而利用三角 形的面积公式得到关于C的方程，解之即可得解： (2)联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k,进而得到直线PB的方程与点B的坐标，法一：利用 21/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证：法三利用正切的倍角公式即可得证： 法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证 x2.y2 【详解】(1)依题意，设椭圆京+尔=1(a>b>0)的半焦距为c 则左焦点F(-c,0)右顶点4a0离心率e= a2,即a=2c 因为P为x=a上一点，设P(a,m), m-01 又直线pr的斜率为行则05即。 a+c3? 所以2c+c=3,解得m=c,则Pa,c),即P(2c,c） 3 因为。PFA的面积为2：1AFFa-(←e)=a+c=3C,高为m卡c, 所以Sm4r网=号x3cxc 3 2,解得c=1 则a=2c=2,b2=a2-c2=3, 所以椭圆的方程为4+3 (2)证明：由(1)可知P(2,1),F(-1,0),A(2,0) 易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=+m,则1=2k+m,即m=1-2k, y=kx+m 联立父+上=1消去得， 3 y(3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0 因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8km)-43+4k)(4m2-12)=0, 1 即4k2-m+3=0则42-1-26}+3=0，解得k=2,则m=2: 所以直线PB的方程为)=一2+2， 22/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y= 2t+2 x=1 联立 解得」 3则 =1 3 y= 2 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则FB= 2》历-6.a=60. 所以cOs∠BFP= FB.FP 23+1 3v10 F丽 10, cOS∠PFA FAFP_3×3+1×0_310 FA·FP 3V32+12 10, 则cos∠BFP=cos∠PF4:又∠BP,∠PFAe0孕， 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 30 法二：所以k=-()4 2 2100 3 31 由两直线夹角公式，得tan∠BFPp= 431 10 +x33,tan∠PFA= 3 1+0 3 1+× 34 则an∠BFP=tn∠PFA'又∠BFP,∠PFA∈(0，， 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB. 法三：ltan∠PEA=keE=,tan∠BFA=PB三， 1 故tan2∠PFA 2tan∠PFA 2× 3 3 =tan∠BFA 1-tan2∠PFA 3 又∠BFP,∠PFA∈O,, 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 3-03 法四：则km广(-可4 2 23/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线FB的方程为y=x+),即3x-4y+3=0 则点。到直线的距窝为1= x2-4x1+3=1 P FB V32+(4) 又点P到直线FA的距离也为1， 所以PF平分∠AFB 1：25 x2 13.【答案】()4+2 【详解】(1)因为长轴长为4，故a=2,而离心率为2，故c=√2， x2 y2 故b=V2,故椭圆方程为：4+2 =1. (2) 由题设直线AB的斜率不为0，故设直线：x=(y+2),A(:,),B(x,), x=t(y+2) 由1x2+2y2=4可得2+2）y2+4y+42-4=0: 故△=1614-4(+2(4-4=4(8-4r)>0即-V2<t<√2， 412412-4 且y+y2= 2+25s 2+2, 故sas×24-为小=h0+广-4%-H52-1c-2, 2+2 解得1=±6 2 微=iF--0+为-西-得 32-16× 3=5 32 24/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案回号引 3m n+2-m2-n2 (2() m2+(n+1m2+(+1月 国35+2) 【分析】(1)根据题意列出a,b,c的关系式，解方程求出a,b,C,即可得到椭圆的标准方程； (2)(国设R(x,%),根据斜率相等以及题目条件列式，化简即可求出或者利用数乘向量求出： ()根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接 运算即可解出 Va2+b2=10 =c-2v2 【详解】(1)由题可知， ,所以e=二 ，解得 c2=a2-b2 A(0,-b),B(a,0) a2=9,b2=1,c2=8 故椭圆C的标准方程为g+少=1； (2)()设R(xo,o),易知m≠0， 法-：所以k加-”+ ,+1_n+1 m，故名=m，且m此，>0： 因为A(0,-),ARAP=3,所以Vx+(+1×Vm2+(n+1=3, m+(n+,所以6=+2-m2-2 3m m2+(n+1)2 3m n+2-m2-n 所以点的坐标为m2+(n+1” R m2+(n+1)2 法=：设派=，>0，则AR4=3→[m++门=3，所以 AR=AP=2(m,n+1)= 3m 3(n+1） 入= m2+(n+1) m2+(n+’m2+(n+故 3mn+2-m2-n2 点的坐标为 R m2+(n+12’m2+(n+1明 25/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R B n+2-m2-n (i因为kn= m2+(n+1=n+2-m2-刀 3m 3m 由 ,可得 m2+(n+1)2 m koR =3kop 3n_n+2-m2-n2 3m ，化简得m2+m2+8n-2=0即m2+(n+4)=18(m≠0小 所以点P在以N(0,4)为圆心，32为半径的圆上（除去两个点）， POar为？到圆心N的距离加上半径 法一：设2(3cos8,sin0),所以 2N=(3cos0)+(sin0+4)}=9cos20+sin20+8sin0+16 =8cos20+1+8sin0+16 =81-sin20)+8sin0+17 =-8sin20+8sin0+25 =-8m0-+27≤27，且仅当sm0-时取等号， 所以POlx=V27+32=33+V2) 法二：设@oo小则亨+g-1, 10W=x后+(y2+4=9-9y6+y6+8yo+16=-86+8y2+25 =-86月+27≤27，当且仅当%时取等号， 故POnx=V27+32=33+V2) 15.【答案】(1)2：(2)直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 【分析】(1)代入两点得到关于ab的方程，解出即可： (2)方法一：以AP川为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移 26130 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线的方程：方法二：同法一得到点B到直线AP的 距离，再设B(,),根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可：法三：同法一得到点B到 直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解：法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线 y=c+3,联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可：法五：首先考虑直线PB斜率 PB:y-,=k(x-3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得 法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘2表达面积即可 b=3 9 【详解】(1)由题意得9 +4=1 解得b2=9, b2 a2=12 所以e= 122 3、3 (2)法-：kp=0-32 2 号，则直线，的方程为y=- AP 2+3,即 +2y-6=01 1 12+9 d=2x9-12W5 设点到直线的距离为，则”3√55， AP d 2 则格直线4P沿与4重直的方向平移25单仓即时。 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 设该平行线的方程为：x+2y+C=0, 1C+6125 则5=5，解得c=6或c=-18 x2,y2 [x=-3 =1 当时，联立了 129,解得x=0或 C=6 x+2y+6=0 y=-3 即80)政8 当80，列时：此时-直线，的方程为y子-3，甲3x-2y-6=0 3 27/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当83-引时，此时长-：直线，的方程为y-即x-2y=0 1 2=1 当 时，联立 129得 C=-18 x+2y-18=02y2-27y+117=0 △=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, 点g到直线4p的距离d-125 , [x+2y-6_125 设 v5 5 则 ，解得」 =-3 3或∫x=0, B(xo:yo) 129 y0=-2 y%=-3 3 即B0,-3)或-3,2， 以下同法一 法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0, 点B到直线 AP 的距离d=12W5 5, V3cos0+6sin0-6125 设B(2V3cos0,3sin0 其中00,2元)则有 5 cos0=_V3 联立 ,解得 2 cos20+sin20=1 sin0=-2 或〔cos0=0, sin0=-1 即B0,-3)或3 2 以下同法一： 法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B(0,-3), 3 Ss=2×6x3=9,符合题意，此时=2，直线1的方程为y=2X-3,即3x-2y-6=0 当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=x+3, y=kx+3 联立椭圆方程有父+父=1？则 1, 129 (4k2+3)x2+24=0 。其中，即k丰一 k≠kAP 28/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -24k 解得x=0或x 42+3,k≠0，人≠ 2 令x= 42+3'则y=12k2+9 -24k -24k-12k2+9 42+3 则B 4k2+3’4k2+3 同法一得到直线AP的方程为r+2y-6=0 点，到直线的距离d=125 , -24k -12k2+9 则42+3 +2× -6 4k2+3 5 125,解得k=名 5 此时B-3, 3 2, 则得到此时：=2，直线，的方程为y=2x，即x-2y=0 综上直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0 法：当，的斜率不存在时，1：=33》P阴=31到B距离=3 此时9a,x3x3 1 2≠9不满足条件」 当7的斜率存在时，设PBy一(-，令Pk,为k,） y=kx-3)+3 ，消可得 (12+91 y(42+3)x2-(（24k2-12k)x+36k2-36k-27=0 a=(24-12-4427+30362-36k-27)小0，且k≠e,即k +5 24k2-12k 6s362zP9=V6+1+广-45 4k2+3 4W5VR+13k2+9k+2 4k2+3 书 4k2+3 +31 3/ 3k+ 到直线 距离d= 14W5F+132+9+27 4 2 =9 A PB Vk2+11 42+3 Vk2+1 k 3 3 2或2，均满足题意，1y=2或y=2-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0 法六：当，的斜车不有在时，133引=4到PB距离43 29/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 此时SABP= ×3x3= 2 ≠9不满足条件。 当直线，斜率存在时，设1：y=k-3)+ 设，与，轴的交点为g:令x=0则00-3+别》】 y=kx-3k+ 3 联立 3x2+4y2=36 则有6+4)-女》-36-30-27=0 3+4)-83k引+36-36k-27=0. 其车A-s--g:-列小0，且号 则3，-3636-273-12212t-9， 3+4k2 3+4k2 则8-0小+空斗-9，解得大=我经代入别庆金正均满足是意 则直线为或y3.即3-2y-6=0或-2=0 30/30