3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的几何性质，通过探究椭圆边界、对称性及特殊点等问题导入，基于椭圆标准方程，引导学生用代数方法分析范围、顶点、离心率等性质，构建从方程到几何特征的知识脉络，提供探究问题作为学习支架。 以探究式学习为主线，结合判断正误、典例解析及分层练习，培养学生用数学眼光观察几何特征、用数学思维推理性质关系、用数学语言表达规律的核心素养，帮助学生自主梳理知识，提升综合应用与问题解决能力。

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. 2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究椭圆的几何性质. 3.能综合利用椭圆的几何性质解决相关的问题. 一、椭圆的几何性质 探究1　观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 探究2　观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对称性？ 探究3　你认为椭圆＋＝1（a＞b＞0）上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ ⚪梳理教材 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 范围 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 轴 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 （±c，0） （0，±c） 焦距 ｜F1F2｜＝2＝2c 对称性 对称轴： 对称中心： 离心率 e＝∈ ⚪温馨提示　（1）椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. （2）已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，长半轴长a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是a.（　 ） （2）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.（　 ） （3）设F为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，M为其上任一点，则｜MF｜的最大值为a＋c（c为椭圆的半焦距）.（　 ） 【典例1】　已知椭圆x2＋（m＋3）y2＝m（m＞0）的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标. ⚪解题感悟 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准方程. （2）确定焦点位置. （3）求出a，b，c. （4）写出椭圆的几何性质. 【练习1】　焦点在x轴上的椭圆＋＝1（m＞4）的焦距是8，则椭圆的长轴长为（　 ） A.40 B.4 C.2 D.20 二、由椭圆的几何性质求标准方程 【典例2】　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程. （1）焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6； （2）与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率e＝； （3）以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点. ⚪解题感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤 （1）基本方法：待定系数法. （2）一般步骤： 【练习2】　（1）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为 . （2）已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是该椭圆的一个焦点，A是该椭圆的一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是 . 三、求椭圆的离心率 探究4　观察图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 探究5　你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？ ⚪梳理教材 ⚪温馨提示　e＝＝＝，利用也可以判定椭圆的扁平程度. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知椭圆＋y2＝1（k＞0）的离心率为，则k＝.（　 ） （2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越接近于圆.（　 ） 角度1　求离心率 【典例3】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　 ） A.　 B. C.　 D. 角度2　求离心率的取值范围 【典例4】　若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率e的取值范围. ⚪解题感悟 求椭圆离心率的值或其取值范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，解方程或不等式即可求得e的值或取值范围. 【练习3】　点A，B为椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）长轴的端点，点C，D为椭圆E短轴的端点，动点M满足＝2，若△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆E的离心率为（　 ） A. B. C. D. ⚪课堂达标 1.（多选）已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　 ） A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为（0，±） D.离心率为 2.已知椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　 ） A. B. C.2 D.4 3.已知点F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是此椭圆上的动点，点A（1，1）是一定点，则｜PA｜＋｜PF｜的最大值为 ，最小值为 . 4.已知椭圆＋＝1的离心率e＝，求实数k的值. 解析版 3.1.2　椭圆的简单几何性质　第1课时　椭圆的几何性质 ⚪学习目标　1.依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. 2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究椭圆的几何性质. 3.能综合利用椭圆的几何性质解决相关的问题. 一、椭圆的几何性质 探究1　观察下图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 提示：由方程＋＝1（a＞b＞0），可知＝1－≥0， 所以椭圆上点的横坐标都适合不等式≤1， 即－a≤x≤a. 同理有≤1，即－b≤y≤b.这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形框里. 探究2　观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对称性？ 提示：在椭圆的标准方程＋＝1（a＞b＞0）中，以－y代y，方程不变.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1（x，－y）也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称. 同理，以－x代x，方程也不变，这说明如果点P（x，y）在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2（－x，y）也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称. 以－x代x，以－y代y，方程也不变，这说明当点P（x，y）在椭圆上时，它关于原点对称点P3（－x，－y）也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称. 探究3　你认为椭圆＋＝1（a＞b＞0）上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 提示：在椭圆的标准方程＋＝1（a＞b＞0）中，令x＝0，得y＝±b.因此B1（0，－b），B2（0，b）是椭圆与y 轴的两个交点.同理，令y＝0，得x＝±a.因此A1（－a，0），A2（a，0）是椭圆与x轴的两个交点. ⚪梳理教材 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 范围 　－a≤x≤a，－b≤y≤b　 　－b≤x≤b，－a≤y≤a　 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 　A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）　 　A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）　 轴 短轴长＝　2b　，长轴长＝　2a　 焦点 （±c，0） （0，±c） 焦距 ｜F1F2｜＝2＝2c 对称性 对称轴：　x轴、y轴　 对称中心：　原点　 离心率 e＝∈　（0，1）　 ⚪温馨提示　（1）椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. （2）已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，长半轴长a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是a.（　✕　） （2）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.（　✕　） （3）设F为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，M为其上任一点，则｜MF｜的最大值为a＋c（c为椭圆的半焦距）.（　√　） 【典例1】　已知椭圆x2＋（m＋3）y2＝m（m＞0）的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1， ∵m－＝＞0， ∴m＞， ∴椭圆的焦点在x轴上，即 a2＝m，b2＝， c＝＝. 由e＝，得＝，解得m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1； 两个焦点坐标分别为（－，0），（，0）； 四个顶点坐标分别为（－1，0），（1，0），（0，－），（0，）. ⚪解题感悟 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准方程. （2）确定焦点位置. （3）求出a，b，c. （4）写出椭圆的几何性质. 【练习1】　焦点在x轴上的椭圆＋＝1（m＞4）的焦距是8，则椭圆的长轴长为（　B　） A.40 B.4 C.2 D.20 解析：由题意得m＝4＋16＝20，则椭圆的长半轴长为2，长轴长为4.故选B. 二、由椭圆的几何性质求标准方程 【典例2】　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程. （1）焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6； （2）与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率e＝； （3）以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点. 解： （1）设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意有 ∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72. ∴所求的椭圆方程为＋＝1. （2）已知椭圆焦点在x轴上，且半焦距c＝＝， 可设所求椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）. ∵e＝，c＝， ∴a＝5，b2＝a2－c2＝20. ∴所求椭圆的方程为＋＝1. （3）直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点分别为（0，3），（4，0）. ①若以（4，0）为其中一个焦点，则c＝4，b＝3，a＝5. ∴椭圆的方程为＋＝1. ②若以（0，3）为其中一个焦点，则c＝3，b＝4，a＝5， ∴椭圆的方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. ⚪解题感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤 （1）基本方法：待定系数法. （2）一般步骤： 【练习2】　（1）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为　＋＝1　. （2）已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是该椭圆的一个焦点，A是该椭圆的一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是　＋＝1或＋＝1　. 三、求椭圆的离心率 探究4　观察图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 提示：能.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长半轴长为a，半焦距为c.利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.保持a不变，改变c，c越接近a，椭圆越扁平；保持c不变，改变a，a越接近c，椭圆也越扁平；当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变. 探究5　你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？ 提示：如图.由a，c的几何意可知，a＝B2F2，c＝OF2， 在Rt△OB2F2中，e＝＝sin∠OB2F2， e越大，sin∠OB2F2越大，则∠OB2F2越大，椭圆越扁平， e越小，sin∠OB2F2越小，则∠OB2F2越小，椭圆越圆. ⚪梳理教材 ⚪温馨提示　e＝＝＝，利用也可以判定椭圆的扁平程度. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知椭圆＋y2＝1（k＞0）的离心率为，则k＝.（　✕　） （2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越接近于圆.（　✕　） 角度1　求离心率 【典例3】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为（　A　） A.　 B. C.　 D. 解析：由题意知，A（－a，0），B（0，b），F（c，0）.∵∠ABF＝90°，∴kABkBF＝－1， ∴－＝－1，即b2＝ac.又∵b2＝a2－c2， ∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0， ∴e＝或e＝－（舍）. 角度2　求离心率的取值范围 【典例4】　若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率e的取值范围. 解：方法一：设点M的坐标是（x0，y0）， 则｜x0｜＜a. ∵F1（－c，0），F2（c，0）， ∴＝（－c－x0，－y0）， ＝（c－x0，－y0）. ∵∠F1MF2＝90°， ∴＝－（c＋x0）（c－x0）＋＝0， 即＋＝c2. ∵点M在椭圆上，∴＋＝1， 即＝b2－， ∴＋＝b2＋∈[b2，a2）， 即c2∈[b2，a2）， ∴c2≥b2＝a2－c2， 即≥， 又0＜e＜1，∴≤e＜1， 故椭圆的离心率e的取值范围是［，1）. 方法二：设点M的坐标是（x0，y0）， 同方法一得出＋＝c2， 联立消去y0并整理， 得＝. ∵0≤＜a2， ∴ 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2， ∴a2≤2c2，则e2＝≥. 又0＜e＜1， ∴e∈［，1）. 由②得c2－b2＜c2，此式恒成立. 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是［，1）. 方法三：设椭圆与y轴的一个交点为P， ∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2， 即≥， 又0＜e＜1， ∴≤e＜1. ∴椭圆的离心率e的取值范围是［，1）. ⚪解题感悟 求椭圆离心率的值或其取值范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，解方程或不等式即可求得e的值或取值范围. 【练习3】　点A，B为椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）长轴的端点，点C，D为椭圆E短轴的端点，动点M满足＝2，若△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆E的离心率为（　D　） A. B. C. D. 解析：设A（－a，0），B（a，0），M（x，y）.∵动点M满足＝2，∴＝2，化简得动点M的轨迹方程为（x－）2＋y2＝.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴×2a×a＝8，×2b×a＝1，解得a＝（负值舍去），b＝，∴椭圆E的离心率为e＝＝. ⚪课堂达标 1.（多选）已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　CD　） A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为（0，±） D.离心率为 2.已知椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　D　） A. B. C.2 D.4 解析：∵椭圆＋＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1＝×2，∴m＝4，故选D. 3.已知点F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是此椭圆上的动点，点A（1，1）是一定点，则｜PA｜＋｜PF｜的最大值为　6＋　，最小值为　6－　. 解析：将椭圆方程化为＋＝1， 设F1是椭圆的右焦点，则F1（2，0）， ∴｜AF1｜＝，根据定义，｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜－｜PF1｜＋6，又－｜AF1｜≤｜PA｜－｜PF1｜≤｜AF1｜（当且仅当P，A，F1共线时等号成立）， ∴6－≤｜PA｜＋｜PF｜≤6＋， ∴｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋，最小值为6－. 4.已知椭圆＋＝1的离心率e＝，求实数k的值. 解：分两种情况进行讨论. ①当椭圆的焦点在x轴上时， 由a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1. 又∵e＝，∴＝，解得k＝4. ②当椭圆的焦点在y轴上时， 由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k. 又∵e＝，∴＝，解得k＝－. 综上，k＝4或k＝－. 页 学科网（北京）股份有限公司 $