3.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 导学案 （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 观察：观察以上五个椭圆，有何发现？ 思考：直线倾斜程度不同，可以用斜率来定量刻画；那么椭圆的扁平程度不同能否有一个量来定量刻画呢？ 自主完成以下填空. 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 要求：利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 结论：以上即为椭圆第一个简单几何特征： ，椭圆位于直线 ， 围成的矩形框里. 牛刀小试： 练1：椭圆中，x，y的范围是什么？ 练2：椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（     ） A． B． C． D． 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 结论：椭圆的第二个简单几何性质： . 椭圆关于 、 都是对称的．这时， 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的 ． 牛刀小试： 练3：下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 练4：判断题：已知曲线C的方程为关于坐标原点中心对称.（ ） 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标 结论：椭圆的第三个简单几何性质： . 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的 有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的 和 ，它们的长分别等于 和 ，和分别叫做椭圆的 和 ． 牛刀小试： 练5：求椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标． 练6：（多选）若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（  ） A． B． C． D． 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的 不． 通过动画演示我们发现：保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越 ． 类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越 ；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样， 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的 ． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 ，用 表示，即 ． 结论：椭圆的第四个简单几何性质： . ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 辨析：（1）因为，所以 ． （2）越接近 ，越接近，就越小，因此椭圆越 ； （3）反之，越接近 ，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当 时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 ． 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 牛刀小试： 练7：椭圆的离心率为 ． 练8：椭圆的离心率为，则（     ） A． B． C． D．2 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的 第2步：确定椭圆 位置 第3步：由标准方程，求出 的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 题型一：根据椭圆的方程求a,b,c值及相关量 例题 求椭圆的长轴与短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 题型二：根据几何条件求出椭圆的方程 例题（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点，求椭圆的标准方程. 方法总结：待定系数法 待定系数法求 的值：根据题意建立关于a,b,c的 ，解方程即可求得椭圆的标准方程. (2) 经过两点和，求椭圆的标准方程. 方法总结：巧设椭圆方程为 ：根据题意建立关于m,n的方程组，解方程即可求得椭圆的方程，再将椭圆方程标准化处理. 题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 (1)已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． (2)已知 P ( m, n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法总结：首先将所求式子进行 处理，由多元变为一元，结合函数的性质，以及椭圆的 性，即可求得所求式子的范围或最值. 题型四：求椭圆的离心率或离心率的范围 例题（1）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． （2）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 方法总结： 求离心率的方法： 方法①： ：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②： ，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解. 求离心率范围的方法： ，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解. 1．（24-25高二上·山东烟台·期末） 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·广东梅州·期末） 已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（     ） A．4 B． C．8 D． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 6. （高二上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 导学案 （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 观察：观察以上五个椭圆，有何发现？ 扁平程度不同 思考：直线倾斜程度不同，可以用斜率来定量刻画；那么椭圆的扁平程度不同能否有一个量来定量刻画呢？ 离心率 自主完成以下填空. 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 预设：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 预设：由方程，可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式即，． 要求：利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 同理有，即． 结论：以上即为椭圆第一个简单几何特征：范围，椭圆位于直线，围成的矩形框里. 牛刀小试： 练1：椭圆中，x，y的范围是什么？ 预设：根据椭圆的性质可知，椭圆中，． 练2：椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（     ） A． B． C． D． 预设：由，得，所以椭圆的标准方程为， 则， 因为点在椭圆上，所以． 故选：C 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 预设：观察右图，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 预设：以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 预设：以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 预设：以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称． 结论：椭圆的第二个简单几何性质：对称性. 椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 牛刀小试： 练3：下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 预设：曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称.即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 练4：判断题：已知曲线C的方程为关于坐标原点中心对称.（ ） 预设：设点，满足，则点关于原点对称的点为，因为，所以点也在曲线C上，即曲线C关于坐标原点对称. 故正确; 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 预设：观察右图，容易看出椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊.研究曲线上这些特殊点的位置，可以确定曲线的位置． 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 预设：在椭圆的标准方程中，令，得．因此，是椭圆与 轴的两个交点． 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标 预设：令，得．因此，是椭圆与轴的两个交点． 结论：椭圆的第三个简单几何性质：顶点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 牛刀小试： 练5：求椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标． 预设：把给定方程化成标准方程．这里，，． 所以椭圆的长轴和短轴的长分别是10和6， 两个焦点在轴上，它们分别是和， 四个顶点分别是、、、． 练6：（多选）若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为（  ） A． B． C． D． 预设：令得，令得，故与两坐标轴的交点坐标为， A选项，的两焦点坐标为，又为一个顶点，A正确； B选项，的两焦点坐标为，B错误； C选项，的两焦点坐标为，且为一个顶点，C正确； D选项，的两焦点坐标为，D错误. 故选：AC 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 通过动画演示我们发现：保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平． 类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样， 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即． 结论：椭圆的第四个简单几何性质：离心率. ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 辨析：（1）因为，所以． （2）越接近1，越接近，就越小，因此椭圆越扁平； （3）反之，越接近0，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为． 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 牛刀小试： 练7：椭圆的离心率为 ． 预设：因为椭圆方程为，所以所以，所以 所以离心率，故答案为： 练8：椭圆的离心率为，则（     ） A． B． C． D．2 预设：由题意得，解得，故选：A. 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 第2步：确定椭圆焦点位置 第3步：由标准方程，求出a,b,c,的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 题型一：根据椭圆的方程求a,b,c值及相关量 例题 求椭圆的长轴与短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 题型二：根据几何条件求出椭圆的方程 例题（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点，求椭圆的标准方程. 预设：（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程. (2) 经过两点和，求椭圆的标准方程. 预设：（2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得，故所求椭圆的标准方程为. 方法总结：巧设椭圆方程为：根据题意建立关于m,n的方程组，解方程即可求得椭圆的方程，再将椭圆方程标准化处理. 题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值 例题 (1)已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 预设：因为点是椭圆上一点，所以， 又，，所以，， 设，，则， 所以函数在区间上单调递减，所以，， 所以，所以函数点P到点的距离的取值范围. (2)已知 P ( m, n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 预设：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，所以， 且，则，则，因为，所以， 所以，即. 故选：B. 方法总结：首先将所求式子进行消元处理，由多元变为一元，结合函数的性质，以及椭圆的有界性，即可求得所求式子的范围或最值. 题型四：求椭圆的离心率或离心率的范围 例题（1）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 预设：，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即， 求得，，， 故选：B. （2）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 预设：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，，所以， 又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 方法总结： 求离心率的方法： 方法①：定义法：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②：齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解. 求离心率范围的方法： 齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解. 1．（24-25高二上·山东烟台·期末） 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 预设：因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东梅州·期末） 已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（     ） A．4 B． C．8 D． 预设：由知，离心率为， 解得，，故短轴长为. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 预设：由化简可得，焦点为在轴上， 同时又过点，设，有，解得， 故选：C 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 预设：由可得，由图知，， 则的面积为，解得， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习） 已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 预设：由可得，由图知，， 则的面积为，解得， 则椭圆的离心率为. 故选：C. 6. （高二上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 预设：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可，即当点位于短轴的端点时，， 所以，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $