3.1.1 椭圆及其标准方程（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程推导及应用，通过建筑椭圆形天窗和天文行星轨道情境导入，以问题链引导学生从直观操作到抽象定义，再到方程推导，构建“定义-推导-应用”的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，如用细绳画椭圆的探究活动发展数学思维，通过定义法、相关点法等例题强化数学语言表达。小结系统梳理知识清单与方法结构，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 学习目标 根据创设的情景，理解椭圆的定义； 理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高数学运算能力；（难点） 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；（重点） 掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算学科素养. 目录 CATALOG 01.理解椭圆定义 03.应用新知 02.椭圆标准方程推导 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.1.1 椭圆及其标准方程 01 理解椭圆定义 导入新知1：建筑设计——椭圆形天窗采光 某大型体育场馆设计了一个椭圆形天窗，建筑师在图纸上确定了两个定位桩（焦点）的位置，间距为 8 米。施工队用一根长度为 10 米的细绳，两端固定在两个定位桩上，用粉笔绷紧细绳画出了椭圆形天窗的轮廓线，恰好符合设计要求。 问题1：施工队用“绳长 10 米、两桩间距 8 米”能画出唯一的椭圆吗？如果绳长改为 8 米或 6 米，还能画出椭圆吗？画出的图形会是什么？ 问题2：在画图过程中，粉笔尖到两个定位桩的距离之和始终等于多少？这个常数与两桩间距有什么大小关系？ 导入新知2：天文观测——行星轨道与飞船交会 天文学家观测到一颗小行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。已知小行星到太阳的最大距离为 6 个天文单位，最小距离为 2 个天文单位。一艘探测飞船计划从小行星轨道附近某点出发，沿直线飞向太阳。 问题1：这颗小行星轨道的“长半轴 a”和“半焦距 c”分别是多少？轨道中心到太阳的距离是多少？ 问题2：如果飞船从小行星轨道上距离太阳最近的点出发飞向太阳，飞行距离是多少？若从最远的点出发呢？椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和有什么规律？ 探究新知 思考： 给你一根细绳和一支铅笔，如何画椭圆？ 引入新知 思考： 观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 认真思考，前后四人一组讨论，讨论时间：3分钟 要求：将随机邀请一位同学分享你们的讨论结果 并用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用椭圆定义求方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 02 椭圆标准方程推导 3.1.1 椭圆及其标准方程 新课探究 椭圆的定义 平面内与两个定点（F1,F2),的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆， 追问 你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？ ①平面——大前提； ②和——任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距. 三个概念 焦点 焦距 半焦距 这两个定点F1,F2 两焦点间的距离 焦距的一半 新课探究 思考1： 如果这个常数等于焦距，会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画。 当常数等于焦距时，点的轨迹为线段F1F2； 思考2： 如果这个常数小于焦距，又会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画。 当常数小于焦距时，点的轨迹不存在. 新课探究 求曲线方程的“四步曲”是什么？ ①建系设点 ②找等式关系 ③符号化 ④化简与标准化 思考： 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆方程形式更简单？ O x y 图1 O x y 图2 回 顾 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 轨迹问题——椭圆 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆上点到焦点的距离及最值 新课探究 自主学习教材，如何巧设定义中“常数”的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程的第三步“符号化”提供便利？ O x y F1 F2 M 设常数为，、 思 考 特例化 令，，请你化简上述式子，即化简： 新课探究 化简过程 两次平方去根号法 第一次平方 第二次平方 新课探究 一般化 两次平方去根号法 第一次平方 第二次平方 新课探究 观察右图，你能在图中找出 表示的线段吗？ O x y F1 F2 P ------ 、 ------ 、 ------ 追问 令进一步化简 思 考 引入新知 椭圆的标准方程 表示 焦点在轴上，两焦点分别为、的椭圆 其中 最大; b，c没有大小关系 新课探究 如果椭圆的焦点在 y 轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ O x y F1 F2 M 类比 焦点在轴上的椭圆的标准方程的推到方法 推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 思 考 新课探究 观察两个标准方程，从椭圆的标准方程如何判断焦点的位置？ 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上. 可简记为：“谁大在谁家” 思 考 新课探究 椭圆的标准方程相关概念整理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 焦点位置 的判断 O x y O x y “谁大在谁家” 、 、 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据方程表示椭圆求参数的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 椭圆中焦点三角形的周长问题 03 应用新知 3.1.1 椭圆及其标准方程 应用新知 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 解 析 定义法求方程 例 1 应用新知 还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？ 尝试着比较不同方法的特点. 法 二 思 考 待定系数法求方程 应用新知 尝试着比较定义法和待定系数法的特点. 两种解法的特点： 解法一：从几何角度，结合椭圆定义，计算出a,b的值，从而得到椭圆标准方程； 解法二：从代数角度，利用点在图象上，代入标准方程，建立关于a,b的方程组，解方程组得到a,b的值，从而从而得到椭圆标准方程。 相比较：解法二的计算比解法一的计算量大很多。 思 考 应用新知 分析 点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 例 2 应用新知 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 解 析 例 2 ①设点坐标 ②找关系 相关点法 ③标准化 应用新知 1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用相关点法？ 2. 相关点法求轨迹方程的“三步曲”： 双动点类的轨迹问题，可以考虑此法， 比如例题2中的点P和点M均为动点，其中点M 随着P点的运动而运动. 设点坐标：设目标动点的坐标为，另一动点的坐标为； 找关系：找与的等式关系、找与的等式关系； 标准化：代入消与，将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 第①步 第②步 第③步 总 结 应用新知 由 例2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆． 你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？ 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 思 考 应用新知 分析 例 3 应用新知 解 析 直接法 ①设点坐标 ②等式符号化 ③方程标准化 ④剔点 例 3 应用新知 1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用 四步曲法？ 2. 直接法求轨迹方程的四个步骤： 题干中有一个明显的等式关系的轨迹问题，可以考虑此法，比如例题3中的 斜率之积是就是一个明显的等式关系. 设坐标：设目标动点的坐标为； 符号化：找一个等式关系、并且用含的式子“符号化”等式关系； 标准化：将上述符号化后的方程进行化简，得到标准方程. 剔 点：把不满足题意的“点”，给剔除掉。比如例题3中斜率不存在时的点要剔除. 第①步 第②步 第③步 第④步 总 结 04 题型强化训练 3.1.1 椭圆及其标准方程 能力提升 题型一 用a,b,c的值求椭圆的标准方程 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 解 析 易知焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ，由椭圆的定义知 c=1 所以，所以所求椭圆的的标准方程为 例 题 能力提升 题型二 根据椭圆标准方程求参数 解 析 例 题 能力提升 方法总结 根据含参方程求参数范围方法： 形如 ① 表示椭圆：② 表示焦点在x轴上的椭圆： ③ 表示焦点在y轴上的椭圆： ④ 表示圆： 能力提升 解 析 题型三 轨迹方程求法之定义法 例 题 能力提升 方法总结 1.如何识别已知代数形式方程求椭圆标准方程？ 2.代数形式方程求椭圆标准方程的一般步骤： 双根号和，并且两个根号的几何意义都是两点之间的距离，即可利用该方程几何意义：动点（x,y）到两定点的和为定值，符合椭圆定义. 识别动点和两定点坐标：如： 动点的坐标为，两定点坐标分别为； 确定满足椭圆定义：若和大于两定点距离，满足椭圆定义； 求a,b：根据定义求出a,b,c的值； 下结论：写出椭圆标准方程. 第一步 第二步 第三步 第四步 能力提升 题型三 轨迹方程求法之直接法 例 题 解 析 能力提升 题型三 轨迹方程求法之相关点法 例 题 解 析 动点P在椭圆，点求线段PQ的中点M的轨迹方程. 设点M， 因为点P在椭圆上，所以 因为点M是线段PQ的中点，所以 将②式代入①式得： 化简得： 所以点M 的轨迹方程为： 能力提升 题型四 椭圆中的距离和差最值 解 析 例 题 能力提升 解 析 题型四 椭圆中的距离和差最值 例 题 能力提升 方法总结 椭圆中的距离和差最值的方法：化折为直法 两定点在曲线同侧；(如：定点Q、F都在椭圆内部)； 方法：同侧求差最值，直接三点共线； 同侧求和最值，等价转变为线段差，然后三点共线时取最值 比如：求， 三点共线时取最值 类型一 类型二 两定点在曲线异侧； 方法：异侧求和最值，直接三点共线； 同侧求差最值，等价转变为线段和，然后三点共线时取最值 05 真题感知 3.1.1 椭圆及其标准方程 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.1.1 椭圆及其标准方程 课堂小结 作业 作业1：人教版A版教材49页A组第1题、第2题、第3题. 作业2：方程能表示哪些我们学过的曲线？ 3.1.1 椭圆及其标准方程 课后l练习答案 练习（第49页） 课后l练习答案 练习（第49页） 课后l练习答案 练习（第49页） 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高二上·安徽·期中）若椭圆 上一点 与焦点 的距离为1，则点 与另一个焦点 的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【详解】由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点 到 的距离之和是10，则动点 的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则，方程为：. 故选：D 3.（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆 上一点P到焦点 的距离等于2，则点P到另一个焦点 的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【详解】由椭圆的定义得：， 所以. 故选：A 4.（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心 的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为；设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，因此，，由此可得；因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆；所以，椭圆的短半轴长，因此动圆圆心的轨迹方程为.故选：A. 5.（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为 ， ，点 在C上.若C上一点M与 的距离为6，则M与 的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，， 点在C上，所以，，于是. 因为，且， 所以.故选：B. 6.（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆 上一点 到该椭圆的一个焦点的距离为3，则点 到另一个焦点的距离为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【详解】由椭圆，得，解得，设椭圆的两焦点分别为，且，又点在椭圆上，所以，所以，解得，所以点到另一个焦点的距离为.故选：B. 7.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点 到点 的距离与点 到直线 的距离之比为 ，则 的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：，则， 因为，所以当时，， 故选：C 8.（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 【详解】椭圆的一个焦点坐标为， 焦点在轴上，，，. 故选：D. 9.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 解得.故选：C. 10.（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知 为椭圆 上任意一点， 是它的两个焦点，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆方程为，得，. 所以，故.由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即，又因为两焦点间距离为，因此，的周长为. 故选：C. Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 1.（25-26高二上·湖北·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 由椭圆方程知：，左焦点，设椭圆的右焦点为由椭圆的定义知：，所以周长为因为，当且仅当三点共线时等号成立，所以，当且仅当三点共线时等号成立，所以， 当且仅当三点共线时等号成立，即周长的最大值为.故选：D    2.（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 如图，由可得椭圆的半焦距，则，   于是的面积为，取，代入， 可得，则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则，又， 则得，故，则直线的斜率为，其方程为，即.故选：B. 3.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 故选：B 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 由题意知，，.因为， 所以.又，即， 所以.所以.故选：B $