第3章 习题课 弦长问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆弦长问题，系统讲解弦长公式推导及最值求解，通过回顾圆的弦长方法自然过渡，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于公式推导逻辑清晰，例题采用多方法对比，强调判别式及斜率分类讨论等易错点，结合函数法与基本不等式解决最值，培养数学思维的推理与运算能力。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

习题课 弦长问题 第三章　圆锥曲线的方程 <<< 1.会利用弦长公式求直线被椭圆所截的弦长(重点). 2.掌握有关弦长的最值问题(难点). 学习目标 我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长，当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？ 导 语 一、弦长问题 二、与弦长有关的最值、范围问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 弦长问题 一 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 问题 提示　当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(k≠0)，椭圆方程为+ =1(a>b>0)或+=1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则|AB|=， 所以|AB|= = =， 或|AB|= = =. 其中，x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2的值可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 当直线斜率不存在时，可代入直接求得. 弦长公式：当直线y=kx+b(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|== ___________________________或|AB|= . 知识梳理 (1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. (2)不确定直线有没有斜率时，要分类讨论. 注 意 点 <<< 10 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例 1 11 因为直线l过椭圆+=1的右焦点F1(1，0)， 又直线斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0. 方法一　解方程组 得交点A(0，-2)，B， 所以|AB|====. 解 12 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2-5x=0，因为Δ=(-5)2=25>0， 则x1+x2=，x1x2=0. 所以|AB|== ===. 解 13 方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 消去x得3y2+2y-8=0， 因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 所以|AB|== ===. 解 14 求解弦长时，如果交点坐标易求，可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；如果交点坐标不易求解，则可以直接利用弦长公式求解. 反 思 感 悟 15 已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； 跟踪训练 1 由题意得 所以椭圆C的方程为+=1. 解 16 (2)当△AMN的面积为时，求k的值. 17 由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， 所以|MN|== =. 又点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=， 解 18 所以△AMN的面积S=|MN|·d=， 由=， 得k=±1， 满足Δ>0. 所以当△AMN的面积为时， k=±1. 解 19 二 与弦长有关的最值、范围问题 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； 例 2 由题意得∴ ∴椭圆C的方程为+=1. 解 21 (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 22 设直线AB的方程为y=-x+m， 联立 得3x2-4mx+2m2-6=0， 由Δ=(-4m)2-4×3(2m2-6)>0，得-3<m<3， x1+x2=，x1x2=， ∴|AB|=|x1-x2|=， 原点到直线AB的距离d=. 解 23 ∴S△OAB=×× =≤·=. 当且仅当m=±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 解 24 求与弦长有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. 反 思 感 悟 25 已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且椭圆C的长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； 跟踪训练 2 由题意得 则b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为+y2=1. 解 26 (2)设直线l过点D，且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当△PMN面积最大时，求直线l的方程. 27 由题意可知，直线斜率存在，P(0，-1)， 设直线l：y=kx+， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 得(4k2+1)x2+4kx-3=0，Δ=16k2+12(4k2+1)>0. x1+x2=-，x1x2=， 解 28 S△PMN=|PD||x1-x2|==×， 令=m(m≥)， 则S△PMN=×===， 又∵y=m+，+∞)单调递增， ∴当m==， 即k=0时，△PMN面积最大， 此时直线l：y=. 解 29 1.知识清单： (1)弦长问题. (2)与弦长有关的最值、范围问题. 2. 方法归纳：数形结合. 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是 A. B. C. D. √ 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦. 将x=c代入+=1，得y=±， 故最短弦长是. 解析 1 2 3 4 2.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是 A. B. C. D. √ 将直线y=x+1代入x2+4y2=8， 可得x2+4(x+1)2=8，即5x2+8x-4=0， ∴x1=-2，x2=，∴y1=-1，y2=， ∴直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长为=. 解析 1 2 3 4 3.已知椭圆C：+=1，对于任意实数k，下列直线中被椭圆C截得的弦长与直线l：y=kx+2被椭圆C截得的弦长一定相等的是 A.kx-y+1=0 B.kx+y-1=0 C.kx+y-2=0 D.kx-y-3=0 √ 当k=0时，直线y=2和y=1被椭圆C截得的弦长不同，直线y=-3与椭圆相离，所以A，B，D错误； 直线kx+y-2=0和直线y=kx+2关于y轴对称，而椭圆也关于y轴对称，因此这两直线被椭圆C截得的弦长相等，故C正确. 解析 1 2 3 4 4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A，B，|FA|=3，|FB|=1，则直线y=x+被椭圆C截得的弦长为　　　　.  1 2 3 4 设椭圆的半焦距为c， 由|FA|=3，|FB|=1， 可得a+c=3，a-c=1， 解得a=2，c=1， 则b===， 则椭圆的方程为+=1， 联立直线方程y=x+和椭圆方程3x2+4y2=12， 解析 1 2 3 4 可得7x2+4x-11=0， 设截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2， 则x1+x2=-，x1x2=-， 可得弦长为· =×=. 解析 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C C B BC 12 题号 8 11 12 13 14 14 答案 x-y+1=0或 x+y-1=0 A B A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设A(-c，y)在椭圆C上， +=1，解得y=± 所以椭圆C+=1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设|PF1|=m，|PF2|=n， 则m+n=2a=4 由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos 即m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=32-3mn=16，则mn= =mnsin=××=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)依题意2b=2b=. =×|F1F2|×|yP|=c×|yP|， 当|yP|最大，即P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为c×b= 所以c=1，a==2， 所以椭圆C的标准方程为+=1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)得B1(0F2(1，0)，==- 由于MN⊥B1F2，所以直线MN 所以直线MN的方程为y=x-1)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y并化简得13x2-8x-32=0，Δ=64+4×13×32=1 728>0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=x1x2=- 所以|MN|=×=×= F1(-1，0)到直线y=x-1)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x-y-1=0的距离 d==1， 所以△F1MN的面积为×d×|MN|= 设△F1MN的内切圆半径为r， ×4a×r=4r=r= 所以内切圆的面积为πr2=. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由两圆的方程知，曲线C2，C3的圆心分别为F1(-1，0)，F2(1，0)，∴b2+1=4，解得b2=3， ∴C1+=1(y≤0). (2)由题意知|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2. ∵l1∥l2，∴由对称性可知，|MF1|+|PF2|+=1截直线l2的弦长， 设l2：x=my+1+=1交于点(x1，y1)和(x2，y2)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(3m2+4)y2+6my-9=0，则Δ=144(m2+1)>0， ∴y1+y2=-y1y2=- ∴|MF1|+|PF2|=·==4- 故当m=0时，|MF1|+|PF2|取得最小值4-1=3， ∴|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5. 基础巩固 1.一条过原点的直线与椭圆+=1(a>b>0)的一个交点为()，则它被椭圆截得的弦长等于 A.3 B.6 C.2 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线与椭圆相交的两点为A，B， 根据对称性可知A，B两点关于原点O对称， 即|OA|=|OB|， 不妨令|OA|==3， 所以|AB|=|OA|+|OB|=3+3=6. 解析 2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易求直线AB的方程为y=(x+). 由 消去y并整理，得7x2+12x+8=0. Δ=-4×7×8=64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由弦长公式，得|AB|=·|x1-x2| =2×=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知直线AB的方程为y=x-1，联立椭圆方程+=1， 整理可得7x2-8x-8=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=-. 故|AB|=·=. 又点F1(-1，0)，点F1到直线AB的距离d=， 故=×|AB|×d=. 解析 4.已知直线y=2x与椭圆C：+=1(a>b>0)交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若||+||=2，|+|=2，则|AB|等于 A.2 B. C. D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由对称性可得||+||=2a=2， 所以a=，又|+|=2c=2， 所以c=1，所以b2=1， 即椭圆C的方程为+y2=1， 将y=2x与+y2=1联立，消去y得x2=， 所以|AB|=×2×|x|=2×=. 解析 5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y=x+m， 由 消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0， 由Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)=80-16m2>0，得0≤m2<5. 则x1+x2=-，x1x2=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴|AB|=|x1-x2|=· =· =·， ∴当m=0时，|AB|取得最大值. 解析 6.(多选)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y=x-过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则 A.椭圆的焦距为 B.椭圆方程为+y2=1 C.|AB|= D.S△OAB= √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△AF1B的周长为8，所以4a=8，得a=2，因为y=x-过右焦点F2，所以c=，所以b2=a2-c2=4-3=1，所以椭圆的焦距为2，故A错误； 所以椭圆方程为+y2=1，故B正确； 设A(x1，y1)，B(x2y2)，由 得5x2-8x+8=0，解得x1+x2=，x1x2=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |AB|== = ==，故C正确； 原点到直线y=x-的距离d==， 所以S△OAB=d·|AB|=××=，故D错误. 解析 7.直线y=x+2交椭圆+=1于A，B两点，若|AB|=3，则m的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由椭圆+=1， 得上顶点为(0，2)，而直线y=x+2也过(0，2)， 所以A(0，2)为直线与椭圆的一个交点， 设B(xB，yB)， 则|AB|==|xB-xA|=|xB|=3， 解得xB=±3，所以B(-3，-1)或B(3，5)(舍去)， 把B(-3，-1)代入椭圆方程得+=1，故m=12. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由 得(4+m)x2+4mx=0，所以xA=0，xB=， 又|AB|==|xB-xA|=|xB|， 所以=3， 因为m>0，所以=3，故m=12. 解析 8.已知椭圆两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|=时，直线l的方程为　　　　　 　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x-y+1=0或x+y-1=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得b=1，c=1. ∴a2=b2+c2=1+1=2. ∴椭圆方程为+x2=1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|=2， 不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1， 联立得(k2+2)x2+2kx-1=0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Δ=8(k2+1)>0恒成立. 设C(x1，y1)，D(x2，y2). ∴x1+x2=-，x1x2=-. ∴|CD|=|x1-x2|==. 即=，解得k2=2，∴k=±. ∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y-1=0. 解析 9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(-c，y)在椭圆C上，则+=1，解得y=±， 所以 所以椭圆C的方程为+=1. 解 (2)设点P在椭圆上，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设|PF1|=m，|PF2|=n， 则m+n=2a=4， 由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos， 即m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=32-3mn=16，则mn=， 所以=mnsin=××=. 解 10.设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，短轴长为2，P为椭圆C上一点，△PF1F2面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意2b=2，b=. =×|F1F2|×|yP|=c×|yP|， 当|yP|最大，即P是椭圆的上、下顶点时， △PF1F2的面积取得最大值，为c×b=， 所以c=1，a==2， 所以椭圆C的标准方程为+=1. 解 (2)过点F2的直线与C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得B1(0，)，F2(1，0)， ==-， 由于MN⊥B1F2， 所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为y=(x-1)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由消去y并化简得 13x2-8x-32=0，Δ=64+4×13×32=1 728>0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=-， 所以|MN|=×=×=， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F1(-1，0)到直线y=(x-1)， 即x-y-1=0的距离d==1， 所以△F1MN的面积为×d×|MN|=， 设△F1MN的内切圆半径为r， 则×4a×r=4r=，r=， 所以内切圆的面积为πr2=. 解 11.已知F1，F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|=2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若=4，则|AB|等于 A.8 B.6 C.5 D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=4，c=1， ∴×2c×|yA-yB|=4， ∴|yA-yB|=4. ∵直线过椭圆左焦点且斜率为， ∴|AB|=|yA-yB|=8. 解析 12.直线y=kx-1被椭圆C：+y2=1截得的最大弦长为 A.3 B. C.2 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立直线y=kx-1和椭圆+y2=1， 可得(1+5k2)x2-10kx=0， 解得x=0或x=， 则弦长l=·， 令1+5k2=t(t≥1)， 则l==2=2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t=， 即k=±时， l取得最大值2×=. 解析 13.已知直线y=2x+m与椭圆C：+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，|AB|等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由得21x2+20mx+5m2-5=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=，|AB|=· ==. 又O到直线AB的距离d=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则△AOB的面积S=d·|AB|=≤=， 当且仅当m2=21-m2， 即m2=时， △AOB的面积取得最大值， 此时|AB|==. 解析 14.已知直线l与圆O：x2+y2=1相切，且交椭圆C：+=1于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y2=-，则|AB|=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，直线l的斜率不能为0， 设直线l：x=my+t， ∵直线l与圆O：x2+y2=1相切， ∴=1，∴t2=1+m2， 将直线l的方程与椭圆方程联立，得(4+3m2)y2+6mty+3t2-12=0， Δ=48(3m2+4-t2)=48(2m2+3)>0， ∴y1y2==-， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴m2=1，t2=2， 由对称性，不妨取m=1，t=， ∴y1+y2=-， ∴|AB|=×=. 解析 15.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ的长为　　　千米.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意设PQ的方程为y=kx+b， 由图易得b>1，->2， 联立 可得x2+2kbx+b2-1=0， 则Δ=(2kb)2-4(b2-1)=0， 即k2=(b2-1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵P，Q(0，b)， ∴|PQ|2=+b2=+b2=+b2 =4++b2=5++(b2-1)≥5+2=9， 当且仅当b2-1=， 即b=时取等号，即|OQ|=. 解析 16.如图所示，由半椭圆C1：+=1(0<b<2，y≤0)和两个半圆C2：(x+1)2 +y2=1(y≥0)，C3：(x-1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C，其中点A1，A2分别为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2分别为C1的左、右焦点.若F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求C1的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两圆的方程知，曲线C2，C3的圆心分别为F1(-1，0)，F2(1，0)，∴b2+1=4，解得b2=3， ∴C1的方程为+=1(y≤0). 解 (2)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和C1，C3交于点M，N和P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2. ∵l1∥l2，∴由对称性可知，|MF1|+|PF2|为椭圆+=1截直线l2的弦长， 设l2：x=my+1，其与椭圆+=1交于点(x1，y1)和(x2，y2)， 由得(3m2+4)y2+6my-9=0， 则Δ=144(m2+1)>0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴y1+y2=-，y1y2=-， ∴|MF1|+|PF2|=·==4-， 故当m=0时，|MF1|+|PF2|取得最小值4-1=3， ∴|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三章　圆锥曲线的方程 <<< $