3.1.1 椭圆及其标准方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕椭圆及其标准方程展开，通过圆锥曲线发展史介绍与信息技术展示引入课题，结合绳拉实验及问题链探究，类比圆的轨迹方程求法，引导学生抽象椭圆定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料突出实验探究与逻辑推导结合，以问题链驱动学生用数学眼光观察轨迹形成，通过类比迁移发展数学思维，步骤化解构方程推导与表格对比强化数学语言表达，小试牛刀练习提升应用意识，助力学生自主构建知识体系。

当选择加努力到达一定程度时，我们才能画出属于自己的椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 一、创设情景，引入课题 情景一：介绍圆锥曲线发展史 情景二：信息技术展示三种圆锥曲线 二、观察分析，感知概念 （一）实验探究环节（问题链设计） 实验：现在将细绳的两端拉开一段距离，分别将两端点固定在两定点F1 、F2，且拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖形成的轨迹。 思考：1、当绳长等于|F1F2|时，笔尖形成的轨迹又是什么？ 2、当绳长小于|F1F2|时，还会形成轨迹吗？ （二）概念建构环节 问题1：回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？类比求圆的轨迹方程求椭圆的方程。 椭圆的定义：平面内到 的距离之 等于常数（大于 ）的点的集合（或轨迹）叫作 ． 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 . 问题2：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，在了解椭圆的概念后，我们下一步应该研究什么？ 追问1：用坐标法求轨迹方程分为几步？ 追问2：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 建立平面直角坐标系通常遵循的原则： (1)建系：以 建立平面直角坐标系， (2)设点:设P(x,y)，椭圆的焦距为2c(c>0),则焦点F1( , ),F2( , )，点P与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0). (3)限制条件: (4)代换: + = (5)化简: 第一步：移项（使左侧只剩一个根号) = 第二步：第一次平方（消去左侧根号） （ = 第三步：整理+二次移项 = = = = 第四步：第二次平方（彻底消去根号） = = = = 第五步：设参：令 ,得: = 椭圆的标准方程： 完成下列表格 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 焦点位置的判断 小试牛刀：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标. 高二数学第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $