辽宁省2026-2027学年高三上学期9月数学模拟复习卷一

**基本信息** 高三数学一轮复习模拟卷，聚焦函数、数列、导数等核心考点，通过图像辨析（如函数解析式判断）、实际情境（制药污水过滤）及综合应用（导数与数列交汇），考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配一轮复习巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数性质、数列前n项积、函数单调性|第1题结合图像辨析函数解析式，考查直观想象；第5题以污水减排为情境，体现数学建模| |多选题|3/18|数列递推关系、三角函数性质、抽象函数奇偶性|第9题综合判断数列类型与通项，考查逻辑推理；第11题抽象函数性质探究，提升思维深度| |填空题|3/15|等比数列公比、函数零点、基本不等式求最值|第14题结合条件式用基本不等式求最值，注重运算能力| |解答题|5/77|三角函数图像与恒等变换、导数单调性与恒成立、数列通项与最值|第16题导数单调性分类讨论与恒成立问题，第19题导数极值、单调区间及参数范围综合，贴合高考压轴题命题趋势|

2026-2027学年高三数学9月模拟复习卷一 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数下列结论中错误的是（    ） A．是偶函数 B．函数最大值为 C．是函数的一个周期 D．函数在内是增函数 4．（本题5分）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（    ）（参考数据：） A．3h B．4h C．5h D．6h 6．（本题5分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（本题5分）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 10．（本题6分）已知函数，则存在实数，使得（   ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0 11．（本题6分）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 13．（本题5分）若函数有个零点，则正数的取值范围是____________. 14．（本题5分）已知，且，则的最小值为______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为. (1)求和的值； (2)已知，，，求的值. 16．（本题15分）已知函数，，. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17．（本题15分）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值． 18．（本题17分）已知幂函数是定义在上的偶函数. (1)求函数的解析式； (2)当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知函数， (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求a的最小值； (3)如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三数学9月模拟复习卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A B C B BCD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据取特殊值排除A,B,C三个选项，利用函数的定义域,奇偶性和单调性可确定D正确. 【详解】对于A，当时，，，与图象矛盾，故A错误； 对于B，当时，，则，与图象矛盾，故B错误； 对于C，当时，，无意义，故C错误； 对于D，因，则， 由知函数为偶函数，图象关于轴对称； 且当时，，无意义； 当时，，即函数在上单调递减， 故在上单调递增，该图象均符合，即D正确. 故选：D. 2．D 【分析】由已知可得的图象关于直线对称轴，在上单调递增，在上单调递减，结合函数单调性和对称性解不等式. 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 因为函数对任意，都有， 又，所以对任意，都有， 所以函数在上单调递增，则有在上单调递减， 因为，所以，即，解得． 所以不等式的解集是. 故选：D. 3．C 【分析】利用奇偶函数的定义判断A，利用三角函数的平方关系，结合配方法判断B，举反例排除C，利用余弦函数的性质与复合函数的单调性判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，最大值为，故B正确； 对于C，因为，所以不是函数的一个周期，故C错误； 对于D，当时，则，且单调递减， 又在上单调递减， 所以函数在内是增函数，故D正确. 故选：C. 4．C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 5．A 【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可 【详解】由题意可知， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 比较接近3， 故选：A 6．B 【分析】根据的关系，作差可得是等比数列，即可根据是递增数列，结合，即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 两式相减得，而，解得， 因此数列是等比数列，， 数列是递增的正项数列，，， 因此， 所以当取得最小值时，． 故选：B 7．C 【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围. 【详解】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 8．B 【分析】作出函数的图象，设，首先得到与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，然后将方程解的个数问题转化为方程，，解的个数之和即可得出答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B 9．BCD 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】取，可验证AC的真假；假设函数为偶函数，根据偶函数的性质，判断B的真假；结合二倍角公式和辅助角公式，求函数的最大值，判断D的真假. 【详解】当时，，为奇函数，且，故AC正确； 若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误； 因为，所以，无解，故D错误． 故选：AC 11．ABD 【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确； 因为，所以，又， 所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确； 因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误； 因为，所以，那么， 所以也是周期为4的函数， ， 因为，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的. 12．/ 【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则. 又，则. 故答案为： 13． 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，函数有三个零点，利用正弦函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有个零点， 所以时，函数有三个零点， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 【分析】首先变形，再利用“1”的应用，根据基本不等式求最小值. 【详解】因为，且，则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解， （2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解. 【详解】（1）由已知，∵，∴，∴， 由已知，，∴，， 由图象可知，∵，∴，∴ （2）由（1）知， ∵，∴，∵，∴； ∵，∴， ∴，即 ∵，∴，∴， ∴. 16．(1) 时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. (2). 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得. （2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2）由，得， 由，得，当时，不等式显然成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，设， 则方程有两根，，于是， 当时，，则，在上单调递减， 又，则当时，，不满足条件， 所以的取值范围是. 17．(1)， (2) 【分析】（1）讨论是否为后根据裂项相消化简，求出公差的值，再求等差数列的通项公式即可；对于数列，利用其前项和为，可写，两式作差即可得到 是等比数列并求出其公比，根据当时，，得及公比即可求出等比数列通项. （2）写出的通项，再判断的正负，即可得到哪一项最大，即可求出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解，所以，即． 当时，，得. 当时，①，②， ①－②得，即，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．即. （2）由（1）知：，则， 当时，；时，. 所以. 所以当时，有最大值． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式求出m的值，结合函数为偶函数，即可求得答案. （2）将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合换元法以及二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）是幂函数，故， 解得或2， 当时，，其定义域为，且， 即函数为奇函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 则，， 函数有两个不同的零点， 即的图象与直线在时有两个不同的交点， 令，，令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， ， 故要使得的图象与直线在时有两个不同的交点， 需满足， 即. 19．(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （2）依题意可得在上恒成立，显然，参变分离可得，设，，利用导数得到，即可求出参数的取值范围，即可得解； （3）方法1：依题意可得函数在、上为增函数，则，，从而得到，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；方法2：依题意可得，，令，可得，，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）∵定义域为，， ∴当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值． （2）依题可知，，在上恒成立，显然，所以， 设，，，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． （3）方法1：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 由可得，则， 故， 令，，，可得. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故，， 又因为，，且，所以， 因此，的取值范围是． 方法2：由已知，则函数在、上为增函数， 若存在实数m、n，其中，使得，则，， 令，则，可得， 由可得， 令，其中，令可得， 当时，，此时函数单调递减，当时，， 此时函数单调递增，故当时，， 又因为，，且，所以， 因此的取值范围是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $