辽宁省2026-2027学年高三上学期数学开学自编模拟试卷03

**基本信息** 高三开学模拟卷，衔接选择性必修三与三角函数复习，通过数列证明、函数单调性等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配一轮复习起点检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、等差数列前n项和、函数奇偶性（如第5题判断奇函数）|改编多地区期中/期末真题（如第2题江西开学考改编），体现高考常见考点| |填空题|3题/15分|数列求和（2025项和）、函数单调性与参数取值|融入大衍数列等文化素材，考查数学抽象| |解答题|5题/77分|数列证明与不等式（如第15题证等比数列及求和）、导数应用（恒成立问题）|综合性强，如函数与导数结合参数范围，符合高考解答题命题趋势|

辽宁省2026-2027学年高三数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西·开学考试）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 10．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 14．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 17．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，其中实数且． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，，使得，求的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高三数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 2．（25-26高三上·江西·开学考试）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 【答案】D 【分析】本题可利用等差数列前项和公式，结合已知条件列出方程组求出等差数列的首项和公差，进而求出． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列前项和公式， ，化简为， ，化简为， 联立解得，则． 故选：D． 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为奇函数求得当时，，再利用导数求切线方程. 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在处的切线方程为，即. 5．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过代入化简各选项的函数表达式，结合奇函数定义域关于原点对称、满足的性质逐一验证即可. 【详解】首先确定的定义域：由且，得或， 对于A选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故A选项错误； 对于B选项，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：， 不满足，故不满足奇函数性质，故B选项错误； 对选项C，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：满足奇函数性质，故C选项正确； 对于D选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故D选项错误； 6．（2026高三·全国·专题练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的值域求出AD选项中函数的值域，利用基本不等式可求出B选项中函数的值域，利用复合函数法可求出C选项中函数的值域. 【详解】对于A选项，函数的值域为，A不符； 对于B选项，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的值域为，B不符； 对于C选项，因为，则，即函数的值域为，C不符； 对于D选项，对于， 因为可得，则，则， 即函数的值域为，D符合. 7．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 8．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分段函数的图像与性质，需要将复合函数分层转化，将条件转化为有6个实数根，结合函数图像分析解的个数. 【详解】令，则恰有6个零点，等价于有三个不同的解， 且对应有6个实数根，由函数的图像，如图所示 则，，，， 当时，二次函数最大值在时取得，即， 则, 则二次函数与直线各有两个交点， 所以要满足有6个实数根， 则需即，解得. 故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A中，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B中，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 10．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 【答案】AB 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有个零点 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增；在内单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示，    由图像可知：当时，与有3个不同的交点，即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 【答案】9 【分析】根据单调区间可确定周期范围，结合可得，然后即可确定的取值. 【详解】因为函数在上单调， 所以， 又， 所以，得， 又，即， 当时，满足题意， 此时，可取，共9个. 14．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性，即可求解不等式． 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，； 当时，； 因为函数是定义在上的奇函数， 故当或时，； 当或时，.， 等价于或，得或， 故不等式的解集为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． (2) (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以． （3）略 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1)因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 17．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数为，结合题意，得到的最小正周期为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解； （3）设，得到，根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由， 因为是的两个零点，且的最小值是， 即是的两个根，即的两个根， 可得函数的最小正周期为， 又因为，可得最小正周期，解得． （2）由（1）知， 因为，可得， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，， 所以在上的值域为． （3）因为，设，，由（2）可知， 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立． 所以的取值范围是． 18．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，其中实数且． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】(1)代入值后求解不等式. (2)通过导数求解单调性. (3)通过化简后两函数关于对称这一性质求解范围. 【详解】（1）当时，，， ，∴函数在上单调递增， 又， 的解集为． （2）函数 ，定义域为，， 令，得，又，解得； 令，解得； 函数在上单调递减，在上单调递增． （3）由题意，化简得，此不等式对恒成立． 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称， 要使对恒成立，只需指数函数的图象完全位于直线的上方， 即对恒成立， 对两边取自然对数得，， 因为，所以对恒成立， 令，只需即可， 显然：，令得， 当时，，递增；当时，，递减； 故在处取得最大值，只需，即， 因此的取值范围是． 19．（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出导数值即可得出斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先求出导函数，再分类讨论函数的单调性结合定义域得出最值即可求解参数； （3）先根据任意及存在得出，结合导数得出函数单调性即可列式计算求解参数范围 【详解】（1），，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 （2）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $