第26章 第25课时 实际问题与二次函数(3)(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数实际应用，核心内容为建立坐标系解决实际问题与动点问题。通过典型例题（如抛物线形拱桥）导入，衔接二次函数图像与性质，以例题解析、变式训练、分层训练为学习支架，帮助学生从理论知识过渡到实际问题解决。 其亮点在于分层设计与真实情境结合，通过建立坐标系培养几何直观，推导函数关系式发展推理能力，解决拱桥通航、铅球投掷等问题强化模型意识。如例1通过坐标系分析拱桥水位与船高关系，变式训练巩固方法，助力学生提升应用意识，为教师提供系统教学资源与分层教学思路。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十六章　二次函数 第25课时　实际问题与二次函数（3） 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 01 典型例题 02 变式训练 目 录 CONTENTS 03 分层训练 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 典型例题 知识点1：建立坐标系解决二次函数实际问题 【例1】 （RJ九上P54改编）如图26－25－1，有一座抛物线形拱 桥，正常水位时桥下水面宽度CD为20 m，拱顶距离水面4 m．由 于暴雨，导致该河水位上升3 m达到警戒线．一艘装有防汛器材的 运输船，露出水面部分的宽为4 m，高为0.8 m．暴雨后这艘船能 从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 图26－25－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：能通过． 理由如下： 如答图26－25－1，建立平面直角 坐标系． ∴D（10，－4）． 设抛物线的解析式为y=ax2. 将D（10，－4）代入y=ax2，得100a=－4. 解得a=－． 答图26－25－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴该抛物线的解析式为y=－x2. ∵船露出水面部分的宽为4 m， ∴令x=2，则y=－×22=－0.16. 4－3－0.16=0.84（m）． ∵0.84＞0.8， ∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 答图26－25－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 变式训练 1. 如图26－25－2是一座拱桥的截面图，当水面宽为10 m时，桥洞 顶部离水面4 m．已知桥洞的拱形是抛物线．一艘宽为6 m，高出 水面3 m的货船能否从该拱桥下安全通过？请说明理由． 图26－25－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：不能通过． 理由如下： 如答图26－25－2，建立平面直角坐标系． ∴A（－5，0），B（5，0），顶点（0，4）． 设抛物线的解析式为y=ax2＋4. 将B（5，0）代入y=ax2＋4，得25a＋4=0. 解得a=－． 答图26－25－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴该抛物线的解析式为y=－x2＋4. ∵船的宽为6 m， ∴令x=3，则y=－×32＋4=． ∵＜3， ∴这艘船不能从该拱桥下安全通过． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 【例2】 如图26－25－3，在△ABC中，AB=6 cm，BC=12 cm， ∠B=90°．点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动（不与 点B重合），点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动（不 与点C重合）．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时 间为x s，△PBQ的面积为y cm2． （1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围； 解：（1）由题意，得PB=（6－x）cm，BQ=2x cm． ∴y=（6－x）•2x=－x2＋6x（0＜x＜6）． 知识点2：动点问题 图26－25－3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：（2）y=－x2＋6x=－（x－3）2＋9. ∵－1＜0，0＜x＜6， ∴当x=3时，y有最大值，最大值为9. ∴经过3 s时，△PBQ的面积最大，最大面积是9 cm2. 图26－25－3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 如图26－25－4，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从 点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别是从点A，B同时出 发，设运动时间为t s．经过几秒，五边形APQCD的面积最小？最 小值是多少？ 图26－25－4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：由图可得S五边形APQCD=S矩形ABCD－S△PBQ=6×8－S△PBQ=48－ S△PBQ． 由题意，得PB=（6－t）cm，BQ=2t cm． ∴S△PBQ=×（6－t）×2t=－t2＋6t=－（t－3）2＋9（0＜t＜4）． ∵－1＜0，0＜t＜4， ∴当t=3时，S△PBQ有最大值为9. 此时五边形APQCD的面积最小，最小值为48－9=39（cm2）． ∴经过3 s，五边形APQCD的面积最小，最小值是39 cm2． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 分层训练 3. 如图26－25－5是一座抛物线形拱桥的截面图，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．若水面再上升1.5 m，则水面的宽度是 （　C　） 图26－25－5 A. 1 m B. 1.5 m C. 2 m D. 3 m C 基础巩固 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 4. （数学文化）图26－25－6①是我国著名建筑“东方之门”，它 通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体， 最大限度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线 形，如图26－25－6②，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度（即CD的长）为（　A　） A 图26－25－6 A． 40 m B． 45 m C． 50 m D． 55 m 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 要修一个圆形喷水池，如图26－25－7，在池中心竖直安装一根 水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池 中心3 m，水管高度应为 m． 图26－25－7 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 6. 如图26－25－8，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动（不与点B 重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动（不 与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为 x s，四边形APQC的面积为y cm2，则y（单位：cm2）与x（单位： s）之间的函数解析式为 ⁠．（结 果化为一般式） y=4x2－24x＋144（0＜x＜6） 图26－25－8 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投 中铅球所经过的路线是如图26－25－9所示的抛物线的一部分．已 知铅球出手处A距离地面的高度是 m，当铅球运行的水平距离为3 m时，达到最大高度 m的B处，请你求出小丁此次投掷的成绩． 图26－25－9 能力提升 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：如答图26－25－3，建立平面直角 坐标系． ∴顶点坐标B，A． 设抛物线的解析式为y=a（x－3）2＋． 将A代入y=a（x－3）2＋， 得=a•（0－3）2＋．解得a=－． ∴抛物线的解析式为y=－（x－3）2＋． 令y=0，则0=－（x－3）2＋． 解得x1=8，x2=－2（不合题意，舍去）． ∴小丁此次投掷的成绩是8 m． 答图26－25－3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 8. （RJ九上P62改编）如图26－25－10，四边形ABCD是正方形， AB=6.四边形EFGH也是正方形，点E，F，G，H分别位于正方形 ABCD的四条边上．点E在AB边上移动时，正方形EFGH的面积也 随之改变，当AE的长为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求 出最小面积． 图26－25－10 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：设AE=x，则BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=6－x． ∴S正方形EFGH=EF2=BE2＋BF2=（6－x）2＋x2=2x2－12x＋36=2（x －3）2＋18. ∵2＞0，0＜x＜6， ∴当x=3时，S正方形EFGH有最小值，最小值为18. ∴当AE的长为3时，正方形EFGH的面积最小， 最小面积为18. 图26－25－10 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 9. 一种玻璃水杯如图26－25－11①所示，其截面的左右轮廓线 AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB=8 cm，杯底CD=4 cm， 且AB∥CD，杯深12 cm．如图26－25－11②，若盛有部分水的水杯 倾斜45°（即∠ABP=45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯 口AB的距离为多少？ 图26－25－11 拓展延伸 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：如答图26－25－4，建立平面直角坐标系， 作PE⊥x轴于点E． 各点的坐标分别为A（－4，0），B（4，0）， C（－2，－12），D（2，－12）． 设抛物线的解析式为y=a（x＋4）（x－4）． 将C（－2，－12）代入y=a（x＋4）（x－4）， 得－12=a•（－2＋4）•（－2－4）． 解得a=1. 答图26－25－4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴抛物线的解析式为y=（x＋4）（x－4）=x2－16. ∵∠ABP=45°，∠PEB=90°， ∴∠EPB=45°．∴∠EPB=∠EBP． ∴EP=EB． 设P（x，y）． ∴EB=4－x，EP=－y． ∴－y=4－x，即－（x2－16）=4－x． 解得x1=4（不合题意，舍去），x2=－3. ∴y=（－3）2－16=－7.∴EP=－y=7. ∴此时点P到杯口AB的距离为7 cm． 答图26－25－4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 10. （RJ九上P55改编）一块三角形材料如图26－25－12， ∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其 中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上．设AE的长为x，矩形 CDEF的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式， 并写出x的取值范围； 图26－25－12 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）∵AB=12，AE=x， ∴BE=AB－AE=12－x． ∵四边形CDEF是矩形， ∴∠AFE=∠BDE=90°，DE∥AC． ∴∠BED=∠A=30°． ∴EF=AE=x， DE=BE=（12－x）． ∴S=EF•DE=x×（12－x）=－x2＋3　x（0＜x ＜12）． 图26－25－12 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积 是多少？ 解：（2）S=－x2＋3　x=－（x－6）2＋9． ∵－＜0，0＜x＜12， ∴当x=6时，S有最大值，最大值为9． ∴当AE的长为6时，矩形CDEF的面积最大， 最大面积为9． 图26－25－12 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 $