第26章 第13课时 二次函数的概念(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数，从实际问题出发，通过归纳抽象建立二次函数概念，系统梳理图像性质、三种解析式及与一元二次方程的联系，形成“实际问题-抽象建模-求解应用”的闭环学习支架。 其亮点在于以知识结构图呈现逻辑脉络，结合典型例题、变式训练及分层训练，培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。如通过矩形面积、直角三角形面积等实例，引导学生用数学语言表达现实问题，助力学生提升思维能力，也为教师提供分层教学资源。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十六章　二次函数 第13课时　二次函数的概念 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 二次函数 的图象和 性质 二次函数y=ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象和性质列表如下： a的符号 a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称 轴 直线x=－ 直线x=－ 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 顶点 坐标 增减 性 当x＜－时，y随x的增 大而减小； 当x＞－时，y随x的增 大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增 大； 当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x=－时，y有最小 值，y最小值= 当x=－时，y有最大值，y最大值 = 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 二次函数的解析式有以下三种常见形式： （1）一般式：y=ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：y=a（x－h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其 中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式：y=a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数， a≠0） 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 b2－4ac的取值 b2－4ac＞0 b2－4ac=0 b2－4ac＜0 二次函数y=ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根情况 有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 实际问题 与二次函 数 最值问题、利润问题、建立坐标系解决二次函数实际问题、动点问题等 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 目 录 CONTENTS 04 分层训练 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点导学 一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫 作二次函数． 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次 项系数、一次项系数和常数项． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 有下列函数：①y=1－x2；②y=；③y=x（x－3）；④y=ax2＋ bx＋c；⑤y=2x＋1.其中，是二次函数的有 ⁠．（填序号） ①③ 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 典型例题 知识点1：二次函数的概念 【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　A　） A． s=2t2－2t＋1 B． y=ax2＋bx＋c C． y=3x－1 D． y=x2＋ A 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 变式训练 2. 下列函数中是二次函数的有（　B　） ①y=3－x2；②y=；③y=x（3－5x）；④y=（1＋2x）（1－ 2x）＋4x2；⑤2x2－3xy＋4=0；⑥x2=0. A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 B 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点2：自变量的取值范围（①分母≠0；②二次根式内的式子 ≥0） 【例2】 求下列函数的自变量的取值范围： （1）y=： ⁠； x≠0 （2）y=： ⁠； （3）y=x2： ⁠； （4） y=： ⁠． x≤5 x为任意实数 x≥－1且x≠3　 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 求下列函数的自变量的取值范围： （1）y=： ⁠； （2）y=2x－3x2： ⁠； （3）y=： ⁠； （4）y=： ⁠． x≠－2 x为任意实数 x≥－3 x＞1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点3：实际问题中的二次函数 【例3】 已知矩形窗户的周长为6 m，设窗户的面积为S m2. （1）求窗户的面积S（单位：m2）与窗户一边长x（单位：m）之 间的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围： ⁠； 解：（1）S=x=－x2＋3x． （3）当x=1时，求S的值． 解：（3）当x=1时，S=－12＋3×1=2. 0＜x＜3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 一个直角三角形的两条直角边之和为18，其中一条直角边的长 为x． （1）求这个直角三角形的面积y与其中一条直角边的长x之间的函 数解析式； （2）写出自变量x的取值范围： ⁠； 解：（1）y=x（18－x）=－x2＋9x． 0＜x＜18 （3）当x=2时，求y的值． 解：（3）当x=2时，y=－×22＋9×2=16. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 分层训练 5. 下列函数中，不是二次函数的是（　D　） A． y=（x－1）2 B． y=x2－1 C． y=3x2＋2x－1 D． y=（x＋1）2－x2 6. 若y=（a－3）x2＋bx＋c是关于x的二次函数，则a的取值范围是 （　C　） A． a=3 B． a=－3 C． a≠3 D． a≠－3 D C 基础巩固 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 已知y=x2＋3x－1. （1）当x=1时，y= ⁠； （2）当x=－4时，y= ⁠． 8. 求下列函数的自变量的取值范围： （1）y=x2＋5： ⁠； （2）y=： ⁠． 3 3 x为任意实数 x≠3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 9. 已知直角三角形的两条直角边的和等于8 cm，若它的一条直角 边为x cm，面积为y cm2. （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：（1）∵直角三角形的两条直角边的和等于8 cm，且它的一条 直角边为x cm， ∴另一条直角边为（8－x）cm． ∴直角三角形的面积y=x（8－x）． ∴y与x之间的函数解析式为y=x（8－x）（0＜x＜8）． 能力提升 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当x=4时，求y的值． 解：（2）当x=4时，y=×4×（8－4）=8， ∴当x=4时，y的值为8. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 10. 已知关于x的函数y=（m2＋m）xm2－2m＋2＋2x－1. （1）若该函数为二次函数，求m的值； 解：（1）由题意，得m2－2m＋2=2. 解得m=2或m=0. 又∵m2＋m≠0， 解得m≠0且m≠－1. ∴m=2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若该函数为一次函数，求m的值． 解：（2）由题意分为以下两种情况： ①当m2＋m=0时，该函数为一次函数． 解得m=0或m=－1； ②当m2＋m≠0时，即m≠0且m≠－1. 由题意，得m2－2m＋2=1且m2＋m＋2≠0. 解得m=1. 综上所述，m=0或m=－1或m=1. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 11. 如图26－13－1所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一 边靠墙（墙足够长），另三边除大门外用篱笆围成． 已知篱笆总 长为30 m，门宽是2 m，若设这块场地的宽为x m． （1）求场地的面积y（单位：m2）与x（单位：m）之间的函数解 析式； （2）自变量x的取值范围是 ⁠； 解：（1）由题意，得 y=x（30－2x＋2）=－2x2＋32x． 2≤x＜16 拓展延伸 图26－13－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）若这块场地的宽为10 m，求此时场地的面积． 　 解：（3）由题意，将x=10代入y=－2x2＋32x， 得y=－2×102＋32×10=120. 答：此时场地的面积为120 m2． 图26－13－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 12. 如图26－13－2，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 m，BC= 24 m，动点P从点A开始沿边AB以2 m/s的速度向终点B移动，动点Q 从点B开始沿边BC以4 m/s的速度向终点C移动，点P，Q分别从点 A，B同时出发． （1）写出△PBQ的面积S（单位：m2）与出发时间t（单位：s） 的函数解析式； 图26－13－2 解：（1）由题意，得 BP=（12－2t）m，BQ=4t m． ∴△PBQ的面积S（单位：m2）与出发时间t （单位：s）的函数解析式为S=BP•BQ= （12－2t）•4t=－4t2＋24t． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）直接写出t的取值范围． 解：（2）t的取值范围为0＜t＜6. 图26－13－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 $