第25章 第11课时 实际问题与一元二次方程(4)——其他问题(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，涵盖利润、数字、几何动点三类核心题型。通过典型例题导入，以“例题解析-变式训练-分层巩固”为学习支架，帮助学生衔接方程建模与实际应用的知识脉络。 其亮点在于以现实情境问题为载体，通过“问题抽象-方程建模-推理求解”流程，培养数学眼光（如利润问题中抽象销量与利润关系）、数学思维（动点问题中几何推理）和数学语言（用方程表达数量关系）。分层训练满足不同学生需求，助力学生提升应用能力，教师可高效开展针对性教学。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十五章　一元二次方程 第11课时　实际问题与一元二次方程（4）—— 其他问题 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 01 典型例题 02 变式训练 目 录 CONTENTS 03 分层训练 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 典型例题 知识点1：利润问题 【例1】某超市销售一款月饼，平均每天可售出20盒，每盒盈利40 元，临近中秋节，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措 施． 经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多 售出2盒． （1）若降价8元，则平均每天销售量为 ⁠盒； 36 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）为尽快减少库存，要使超市每天销售利润为1 200元，每盒 月饼应降价多少元？ 解：（2）设每盒月饼应降价x元． 依题意，得（40－x）（20＋2x）=1 200. 解得x1=10，x2=20. 当x=10时，20＋2x=40； 当x=20时，20＋2x=60. ∵要尽快减少库存， ∴x=20. 答：每盒月饼应降价20元． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 变式训练 1. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶16元，当销 售单价为每瓶20元时，每天的销售量为60瓶． 经市场调查发现： 销售单价每上涨1元，每天的销售量将减少5瓶． 若设这款洗手液 的销售单价上涨x元． （1）每天的销售量为 瓶（用含x的代数式表 示）； （60－5x） 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到315元，则销售单价 应上涨多少元？ 解：（2）依题意，得（60－5x）（20－16＋x）=315. 解得x1=3，x2=5. 答：销售单价应上涨3元或5元． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点2：数字问题 【例2】一个两位数，个位数字与十位数字的和为7，且个位数字 的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数． 解：设个位数字为x，则十位数字为（7－x）． 依题意，得10（7－x）＋x=x2. 解得x1=5，x2=－14（不合题意，舍去）． ∴7－x=2. 答：这个两位数是25. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 一个两位数，个位数字与十位数字的和为5，并且个位数字的平 方比十位数字大1，求这个两位数． 解：设个位数字为x，则十位数字为（5－x）． 依题意，得x2－（5－x）=1. 解得x1=2，x2=－3（不合题意，舍去）． ∴5－x=3. 答：这个两位数是32. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点3：动点问题 【例3】如图25－11－1，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm， BC=7 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，点 Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动． 当P，Q两点中 有一点到达终点，则同时停止运动． 　图25－11－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，那么几秒后，PQ的 长度等于2 cm？ 解：（1）设t s后，PQ=2　 cm，则BP=（5－t）cm， BQ=2t cm． ∵∠B=90°， ∴PQ2=BP2＋BQ2，即40=（5－t）2＋（2t）2． 解得t1=3，t2=－1（不合题意，舍去）． 答：3 s后PQ的长度等于2 cm． 　图25－11－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4 cm2？ 解：（2）设x s后，△PBQ的面积为4 cm2（0＜x≤3.5）． ∴AP=x cm，BP=（5－x）cm，BQ=2x cm． 由S△PBQ=BP•BQ=4，得（5－x）×2x=4. 整理，得x2－5x＋4=0. 解得x1=1，x2=4（不合题意，舍去）． 答：1 s后△PBQ的面积等于4 cm2． 　图25－11－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 如图25－11－2，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从 点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从 点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动． 如果点P，Q分别 从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． 设运 动时间为t s（0＜t＜4）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于6 cm？ 　图25－11－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）依题意，得BQ=2t cm，AP=t cm． ∴PB=AB－AP=（6－t）cm． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°． 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PQ2=PB2＋ BQ2， 即62=（6－t）2＋（2t）2． 解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2.4. ∴当t=2.4时，PQ的长度等于6 cm． 　图25－11－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于10 cm2？ 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：（2）存在． 依题意，得CQ=BC－BQ=（8－2t）cm． ∵△PQC的面积等于10 cm2， ∴CQ•PB=10，即（8－2t）（6－t）=10. 解得t1=5－，t2=5＋（不合题意，舍去）． ∴当t=5－时，△PQC的面积等于10 cm2． 　图25－11－2 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 分层训练 4. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元 时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降 价销售． 经市场调查发现，每件T恤每降价1元，平均每周可多卖 出8件，若要使每周销售该款T恤获利8 450元，设每件降低x元， 则可列方程为 ⁠． （20－x）（200＋8x）=8 450 基础巩固 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，设十位上 的数字为x，则这个两位数可用含x的式子表示为 ⁠． 9x＋5 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 6. 某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5 000元，每月可 售出100台． 为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不 能亏本，且降价需大于0元． 经调查发现，每台降价100元，每月 可多售出10台． 已知笔记本电脑的成本为每台3 800元． 当每月 获利72 000元时，求此时每台笔记本电脑的售价． 解：设每台笔记本电脑降价100x元． 依题意，得（5 000－100x－3 800）（100＋10x）=72 000. 整理，得x2－2x－48=0. 能力提升 解得x1=8，x2=－6（不合题意，舍去）． 当x=8时，5 000－100x=4 200. 答：此时每台笔记本电脑的售价为4 200元． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 某网店销售一种商品，经过一段时间的试销发现，日销售量y （单位：件）与每件的售价x（单位：元）之间满足一次函数关 系，其函数图象如图25－11－3所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： ⁠（不要 求写出自变量x的取值范围）； y=－2x＋230 　图25－11－3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若该商品的成本为35元，则商品日利润能否达到2 750元？ 如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 解：（2）能． 依题意，得（x－35）（－2x＋230）=2 750. 解得x1=60，x2=90. 答：商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元． 　图25－11－3 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 8. 如图25－11－4，在矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm． 动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度向点B移动，点 Q以1 cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止 运动． （1）两动点经过几秒后，四边形PBCQ的 面积是矩形ABCD面积的？ 拓展延伸 图25－11－4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）设两动点经过x s后，四边形PBCQ的面积是矩 形ABCD面积的． ∴CQ=x cm，BP=（16－2x）cm． 依题意，得（CQ＋BP）•BC=AB•AD， 即×（x＋16－2x）×6=×16×6. 解得x=． ∴两动点经过 s后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面 积的． 图25－11－4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）连接BQ，两动点经过几秒后，△BQP是以BQ为腰的等腰三 角形？ 　 解：（2）设两动点经过y s后，△BQP是以BQ为腰的 等腰三角形． ①当BP=BQ时，BQ2=BC2＋CQ2， 则（16－2y）2=62＋y2. 整理，得3y2－64y＋220=0. 解得y1=（不合题意，舍去），y2=． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 ②当BQ=PQ时，如答图25－11－1，过点Q作QH⊥AB于点H． 由勾股定理，得BQ2=BC2＋CQ2，PQ2=（PB－BH）2＋HQ2， 则62＋y2=（16－2y－y）2＋62. 整理，得（8－y）（8－2y）=0. 解得y3=4，y4=8（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过 s或4 s后， △BQP是以BQ为 腰的等腰三角形． 答图25－11－1 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 $