第25章 第7课时 一元二次方程的根与系数的关系(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过复习判别式导入，以知识点导学明确公式，结合典型例题、变式训练搭建学习支架，衔接方程解法与综合应用的知识脉络。 其亮点在于分层训练体系，基础巩固题夯实公式应用，能力提升题培养推理能力，拓展延伸题（如矩形周长问题）强化模型意识。典型例题与变式训练对应，帮助学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十五章　一元二次方程 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 目 录 CONTENTS 04 分层训练 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点导学 一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如 下关系： x1＋x2= ，x1x2= ． －　 　 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 已知一元二次方程2x2－5x＋1=0. ∵a= ，b= ，c= ⁠， ∴Δ= ＞0. ∴方程有两个实数根x1，x2. ∴x1＋x2=－= ，x1x2== ． 2　 －5　 1　 17　 　 　 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 典型例题 知识点1：一元二次方程根与系数的关系 【例1】下列方程的两个根分别为x1，x2，不解方程，根据根与系 数的关系填写下表： 一元二次方程 x1＋x2 x1x2 x2－3x=0 ⁠ ⁠ x2－x－5=0 ⁠ ⁠ 2x2＋7x－6=0 ⁠ ⁠ 3　 0　 1　 －5　 －　 －3　 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 变式训练 2. 不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积： （1）3x2＋7x=6； 解：（1）移项，得3x2＋7x－6=0. ∴x1＋x2=－，x1x2=－2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）（x＋1）（x－2）=2. （2）原方程化为x2－x－4=0. ∴x1＋x2=1，x1x2=－4. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点2：利用根与系数的关系求代数式的值 【例2】已知方程x2－4x＋2=0的两个根分别为x1，x2.求： （1）x2＋x1；　 解：由题意，得x1＋x2=4，x1x2=2. （1）x2＋x1=x1x2（x1＋x2） =2×4 =8. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）＋=（x1＋x2）2－2x1x2 =42－2×2 =12. （2） ＋． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 已知方程x2＋8x－4=0的两个根分别为x1，x2.求： （1）＋；　 解：由题意，得x1＋x2=－8，x1x2=－4. （1）＋= ==2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）（x1－x2）2. （2）（x1－x2）2=（x1＋x2）2－4x1x2 =（－8）2－4×（－4） =80. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点3：判别式及根与系数关系的综合 【例3】已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＋1=0有两 个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； 解：（1）根据题意，得 Δ=（2k＋1）2－4（k2＋1）=4k－3＞0. 解得k＞． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）∵方程有x1，x2两个实数根， ∴x1＋x2=－2k－1，x1x2=k2＋1. ∵x1＋x2＋x1x2=0，∴－2k－1＋k2＋1=0. 整理，得k2－2k=0. 解得k1=0，k2=2. 又∵k＞，∴k的值是2. （2）若x1＋x2＋x1x2=0，求k的值． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m=0有两个不相等的 实数根． （1）求m的取值范围； 解：（1）根据题意，得 Δ=（2m）2－4（m2＋m）=－4m＞0. 解得m＜0. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且＋=12，求m的值． 解：（2）∵x1，x2是该方程的两个实数根， ∴x1＋x2=－2m，x1x2=m2＋m． ∵＋=12，∴（x1＋x2）2－2x1x2=12. ∴（－2m）2－2（m2＋m）=12. 整理，得m2－m－6=0.解得m1=－2，m2=3. 又∵m＜0，∴m的值是－2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 分层训练 5. 若x1，x2是方程x2－6x－7=0的两个根，则（　A　） A． x1＋x2=6 B． x1＋x2=－6 C． x1x2= D． x1x2=7 6. 两实数根的积等于－4的方程可能是（　C　） A． 3x2＋4x－4=0 B． 3x2－4x－4=0 C． x2＋2x－4=0 D． 2x2－7x＋4=0 A C 基础巩固 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 若关于x的方程x2＋kx－6=0的两个根互为相反数，则k= ⁠， 两根为 ⁠． 8. 填空： （1）已知关于x的方程x2－2x＋k=0的一个根为x=－1，则方程的 另一个根为 ⁠； （2）关于x的方程x2＋kx－8=0的一个根是2，则另一个根是 ⁠ ⁠． 0 ± 3 － 4 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 9. 设a，b是方程x2＋2x－20=0的两个实数根，则a2＋3a＋b的值为 （　A　） A． 18 B． －22 C． 20 D． 22 A 能力提升 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 10. 在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中 仅看错了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一次 项的系数，解得方程的两个根是－2和－5. 则原来的方程是 （　D　） A． x2＋6x＋5=0 B． x2－6x－10=0 C． x2－5x＋2=0 D． x2－7x＋10=0 D 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 11. 已知x1，x2是方程x2－2x－1=0的两个实数根，不解方程，求下 列各式的值： （1）（x1 －2）（x2－2）= ⁠； （2）＋= ⁠． －1 －6 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 12. 关于x的一元二次方程x2－2x－m＋2=0有两个不相等的实数根 x1，x2． （1）求实数m的取值范围； 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－2x－m＋2=0有两个不相等 的实数根x1，x2， ∴Δ=（－2）2－4（－m＋2）=4m－4＞0. 解得m＞1. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若方程的两实数根x1，x2满足＋2x2=m2，求m的值． 解：（2）∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1＋x2=2，－2x1－m＋2=0. ∴=2x1＋m－2. ∵＋2x2=m2， ∴2x1＋m－2＋2x2=m2， 即2×2＋m－2=m2． 解得m1=－1，m2=2. 又∵m＞1， ∴m=2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 13. （综合运用）已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋4k－ 3=0. （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （1）证明：∵Δ=［－（2k＋1）］2－4（4k－3）=4k2－12k＋13= （2k－3）2＋4＞0， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 拓展延伸 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和 BC的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． （2）解：根据题意，得AB＋BC=2k＋1，AB•BC=4k－3. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2=AC2，即AB2＋ BC2=31. ∴（AB＋BC）2－2AB•BC=31.∴（2k＋1）2－2（4k－3）=31. 整理，得k2－k－6=0.解得k1=3，k2=－2. 当k=－2时，AB＋BC=2×（－2）＋1=－3＜0，不合题意，舍 去． ∴k的值为3. ∴AB＋BC=2×3＋1=7. ∴矩形ABCD的周长为2（AB＋BC）=2×7=14. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 $