第25章 第8课时 实际问题与一元二次方程(1)——几何图形问题(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级全一册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程”中几何图形实际问题，通过明确图形类型与条件，设边长、宽度等未知量，结合周长面积公式列方程并检验解的合理性，搭建起方程解法与实际应用的学习支架。 其亮点在于融入社区游园、非遗刻纸等生活情境，通过典型例题、变式训练及分层巩固，培养学生抽象能力、几何直观与模型意识。如矩形围栏问题用判别式推理能否围成特定面积，助力学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实问题，提升应用能力，便于教师系统教学。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十五章　一元二次方程 第8课时　实际问题与一元二次方程（1）—— 几何图形问题 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 目 录 CONTENTS 04 分层训练 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点导学 先明确图形类型与已知边长、面积条件，通常设边长、宽度为未 知量，结合周长、面积等公式或勾股定理列出一元二次方程，针 对修路、镶边等场景可通过平移法、割补法简化面积计算． 求解 后还需根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性，舍去不 符合实际意义的解． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 典型例题 【例1】（RJ九上P20改编）若一个直角三角形三边的长为连续整 数，求它的斜边长． 设这个直角三角形的斜边长为x，则可列方 程为 ⁠． （x－2）2＋（x－1）2=x2 知识点1：边长问题 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 变式训练 1. 一个三角形的两边之差是5，两边之积是24，则两边之和 是 ⁠． 11 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点2：围栏问题 【例2】（RJ九上P21改编）社区中秋游园会设置猜灯谜区域，怎 样用一条总长为28 m的装饰灯带围成一个48 m2的矩形区域？能围 成一个面积为120 m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不 能，说明理由． 解：设矩形区域的长为x m，则宽为（14－x）m． 依题意，得x（14－x）=48. 解得 x1=8，x2=6. 当x=8时，14－x=6；当x=6时，14－x=8. ∴当矩形区域的长和宽分别为8 m和6 m时，它的面积为48 m2. 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 不能． 理由如下： 依题意，得x（14－x）=120. 整理，得x2－14x＋120=0. ∵Δ=（－14）2－4×1×120=－284＜0， ∴该方程无实数根． ∴不能围成一个面积为120 m2的矩形区域． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 如图25－8－1，要利用一面墙（墙长为60 m），用100 m的围栏 建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相同的矩形． 如果 围成的总面积为400 m2，求菜园的边AB，BC的长． 　图25－8－1 解：设AB=x m，则BC=（100－4x）m． 依题意，得x（100－4x）=400， 即x2－25x＋100=0. 解得x1=20，x2=5. ∵100－4x≤60， ∴x≥10. ∴x=20. ∴AB=20 m，BC=100－4×20=20（m）． 答：菜园的边AB的长为20 m，BC的长为20 m． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 【例3】“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀 能刻古今情． 在一幅长100 cm，宽60 cm的细纹刻纸的四周镶嵌 宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图25－8－2所示． 若 要使整个挂图的面积是7 700 cm2，设边框的宽度为x cm， 图25－8－2 则列出的方程为 ⁠． （100＋2x）（60＋2x）=7 700 知识点3：边框问题 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 图25－8－3 3. 四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨 将遂宁民俗文化不断创新和传承． 如图25－8－3，要在一幅长80 cm，宽60 cm的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是6 300 cm2的矩形挂图． 那么边框的宽度为 ⁠cm． 5 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点4：小路宽度问题 【例4】要在长为32 m、宽为20 m的矩形花圃中修两条与花圃四周 垂直等宽的小路（如图25－8－4），且使种植花草的面积为589 m2，则小路应修多宽？ 　图25－8－4 解：设小路的宽为x m． 依题意，得 （32－x）（20－x）=589. 解得x1=1，x2=51（不合题意，舍去）． 答：小路应修1 m宽． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 如图25－8－5，在一块宽为30 m、长为35 m的长方形草地上， 修建同样宽的小路后，剩下的草坪面积为750 m2，求修建的小路 的宽度． 　图25－8－5 解：设修建的小路的宽度为x m，则种植草坪 的部分为长（35－x）m，宽（30－x）m 的长方形． 依题意，得（35－x）（30－x）=750. 解得x1=5，x2=60（不合题意，舍去）． 答：修建的小路的宽度为5 m． 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 分层训练 5. 已知一个矩形的周长为56 cm，面积为180 cm2，求矩形的 长．设矩形的长为x cm，则可列方程为 ⁠． 6. 已知一个直角三角形的两条直角边的边长相差7 cm，且三角形 的面积为30 cm2．设较短直角边的长为x cm，则可列方程为 ⁠ ，进而可求出斜边的长为 ⁠cm． x=180 x （x＋7）=30 13 基础巩固 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 7. （RJ九上P2改编）如图25－8－6是一张长10 dm、宽6 dm的矩 形纸板，将纸板的四个角各剪去一个边长为x dm的正方形，然后 将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒． （1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 ⁠ dm；（用含x的式子表示） （10－2x） （6－ 2x） 能力提升 图25－8－6 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若要制作一个底面积是32 dm2的无盖方盒，求剪去的正方形 的边长． 解： （2）由题意，得（10－2x） （6－2x）=32. 整理，得x2－8x＋7=0. 解得x1=1，x2=7（不合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为1 dm． 图25－8－6 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 8. 如图25－8－7，用一段80 m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小 相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1 m的门通往中间的 长方形，中间的长方形有一个1 m的门通往外面，墙的最大可用长 度为50 m． （1）如果羊圈的总面积为345 m2，求边AB的长； 拓展延伸 　图25－8－7 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）设AB=x m，则AD=80－4x＋3= （83－4x）m． 依题意，得x（83－4x）=345. 解得x1=，x2=15. 当x=时，83－4x=60＞50，不合题意， 舍去； 当x=15时，83－4x=23＜50，符合题意． 答：边AB的长为15 m． 　图25－8－7 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）请问羊圈的总面积能为480 m2吗？若能，请求出边AB的长； 若不能，请说明理由． 解：（2）不能． 理由如下： 假设羊圈的总面积能为480 m2，则x（83－ 4x）=480. 整理，得 4x2－83x＋480=0. ∵Δ=（－83）2－4×4×480=－791＜0， ∴方程4x2－83x＋480=0无实数根． ∴羊圈的总面积不能为480 m2． 　图25－8－7 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 九年级 全一册 配人教版 $