3.1.3　第二课时　函数奇偶性的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖奇偶性与单调性的关系、对称轴与对称中心、求解析式及综合应用等核心知识点。课堂通过上节奇偶性图象对称引入，提问对称区间单调性，搭建从定义到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以情境问题驱动，结合数学抽象与逻辑推理，如例1用“求谁设谁”步骤求解析式，例3解不等式时结合定义域与单调性。通性通法总结提升数学运算能力，自我诊断和跟踪训练强化落实。助力学生发展逻辑推理，教师可高效开展分层教学。

第二课时　 函数奇偶性的应用 新课程标准解读 核心素养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式 数学抽象、逻辑 推理 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单 的实际问题 逻辑推理、数学 运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　通过上节学习了函数 f （ x ）的奇偶性可知，具有奇（偶）性的函 数 f （ x ）的图象关于原点（ y 轴）对称. 【问题】　若已知 f （ x ）的奇偶性和 x ∈[ a ， b ]的单调性能否探究 f （ x ）在[－ b ，－ a ]上的单调性？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　函数奇偶性的综合应用 1. 函数的奇偶性与单调性的性质 （1）若 f （ x ）为奇函数且在区间[ a ， b ]（ a ＜ b ）上为增函数 （减函数），则 f （ x ）在[－ b ，－ a ]上为 （减函 数），即在关于原点对称的区间上单调性 ⁠； （2）若 f （ x ）为偶函数且在区间[ a ， b ]（ a ＜ b ）上为增函数 （减函数），则 f （ x ）在[－ b ，－ a ]上为 （增函 数），即在关于原点对称的区间上单调性 ⁠. 增函数　 相同　 减函数　 相反　 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数的对称轴与对称中心 （1）若函数 f （ x ）的定义域为 D ，对∀ x ∈ D 都有 f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ）（ a 为常数），则 x ＝ 是 f （ x ）的对称轴； （2）若函数 f （ x ）的定义域为 D ，对∀ x ∈ D 都有 f （ a ＋ x ）＋ f （ a － x ）＝2 b （ a ， b 为常数），则 是 f （ x ）的对称中心. a 　 （ a ， b ）　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 奇函数 f （ x ）＝ ，当 x ＞0时的解析式与 x ＜0时的解析式相同，所以 一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也 相同，这种说法正确吗？ 提示：不正确. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 若函数 f （ x ）的定义域为R，则 f （0）＝0是函数 f （ x ）为奇函数 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　当 f （ x ）＝ x2时， f （0）＝0，但 f （ x ）＝ x2为偶函 数；若 f （ x ）为奇函数，则 f （0）＝－ f （0），所以 f （0）＝0， 所以 f （0）＝0是函数 f （ x ）为奇函数的必要不充分条件.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（　　） A. y ＝ x （ x －1） B. y ＝ － x C. y ＝ x （ x2－1） D. y ＝2 x － 解析：　选项A、B不是奇函数；选项C中 y ＝ x （ x2－1）在（0， 1）上不是单调函数；选项D符合条件，故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 偶函数 f （ x ）在（0，＋∞）内的最小值为2 024，则 f （ x ）在（－ ∞，0）上的最小值为 ⁠. 解析：由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以 f （ x ）在对称区间内 的最值相等. 又当 x ∈（0，＋∞）时， f （ x ）min＝2 024， 故当 x ∈（－∞，0）时， f （ x ）min＝2 024. 2 024　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用函数的奇偶性求解析式 【例1】　若 f （ x ）是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝ x2 －2 x ＋3，求 f （ x ）的解析式. 目录 数学·必修第一册（B版） 解：当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－2（－ x ）＋3＝ x2＋2 x ＋3， 由于 f （ x ）是奇函数，故 f （ x ）＝－ f （－ x ）， 所以 f （ x ）＝－ x2－2 x －3. 即当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x2－2 x －3. 故 f （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册（B版） 【母题探究】 （变条件）若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当 x ＜0时， f （ x ）的解析式. 解：当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－2（－ x ）＋3＝ x2＋ 2 x ＋3，由于 f （ x ）是偶函数，故 f （ x ）＝ f （－ x ），所以 f （ x ） ＝ x2＋2 x ＋3，即当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ＋3. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区 间上设； （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式； （3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f （ x ）. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x ＋ 2，则当 x ＜0时， f （ x ）＝（　　） A. － x －2 B. － x ＋2 C. x －2 D. x ＋2 解析：　当 x ＜0时可得－ x ＞0，∵当 x ＞0时， f （ x ）＝ x ＋2， ∴ f （－ x ）＝－ x ＋2，又函数为定义在R上的偶函数，∴当 x ＜0时 f （ x ）＝－ x ＋2.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝ x3 ＋ x ＋1，则 f （ x ）在R上的解析式为 ⁠ ⁠. 解析：∵函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，∴ f （0）＝0， 当 x ＜0时，－ x ＞0，∴ f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－[（－ x ）3＋（－ x ）＋1]＝ x3＋ x －1. f （ x ）＝ 　 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用 角度1　比较大小 【例2】　已知 f （ x ）是偶函数，对任意的 x1， x2∈（－∞，－1]，都有（ x2－ x1）[ f （ x2）－ f （ x1）]＜0，则下列关系式中成立的是（　　） A. f ＜ f （－1）＜ f （2） B. f （－1）＜ f ＜ f （2） C. f （2）＜ f （－1）＜ f D. f （2）＜ f ＜ f （－1） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （2）＝ f （－2）， ∵（ x2－ x1）[ f （ x2）－ f （ x1）]＜0， ∴ f （ x ）在（－∞，－1]上是减函数， ∴ f （－1）＜ f ＜ f （2）. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 比较大小的求解策略 　　看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接 利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数 的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，则 f （1）和 f （－ 10）的大小关系为（　　） A. f （1）＞ f （－10） B. f （1）＜ f （－10） C. f （1）＝ f （－10） D. f （1）和 f （－10）关系不定 解析：　∵ f （ x ）是偶函数，∴ f （－10）＝ f （10）.又 f （ x ） 在[0，＋∞）上单调递减，且1＜10，∴ f （1）＞ f （10），即 f （1）＞ f （－10）. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. （多选）已知函数 f （ x ）是偶函数，在区间[1，6]上单调，若 f （－3）＜ f （－5），则有（　　） A. f （1）＜ f （3） B. f （－2）＞ f （4） C. f （－4）＜ f （3） D. f （－1）＜ f （2） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　∵函数 f （ x ）是偶函数，在区间[1，6]上单调， f （－ 3）＜ f （－5），∴ f （－ x ）＝ f （ x ）， f （－3）＝ f （3）， f （－5）＝ f （5）， f （3）＜ f （5），∴函数 f （ x ）在区间[1，6] 上单调递增，在区间[－6，－1]上单调递减，∴ f （1）＜ f （3）， f （－2）＝ f （2）＜ f （4）， f （－4）＝ f （4）＞ f （3）， f （－ 1）＝ f （1）＜ f （2）.故选A、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　解不等式 【例3】　（1）已知函数 y ＝ f （ x ）在定义域[－1，1]上是奇函数， 又是减函数，若 f （1－ a2）＋ f （1－ a ）＜0，求实数 a 的取值范围； 目录 数学·必修第一册（B版） 解：由 f （1－ a2）＋ f （1－ a ）＜0， 得 f （1－ a2）＜－ f （1－ a ）. ∵ y ＝ f （ x ）在定义域[－1，1]上是奇函数， ∴－ f （1－ a ）＝ f （ a －1），∴ f （1－ a2）＜ f （ a －1）. 又∵ f （ x ）在定义域[－1，1]上单调递减， ∴解得 ∴0≤ a ＜1，∴ a 的取值范围是[0，1）. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）定义在[－2，2]上的偶函数 f （ x ）在区间[0，2]上单调递减， 若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围. 解：∵函数 f （ x ）是偶函数，∴ f （ x ）＝ f （｜ x ｜）. ∴ f （1－ m ）＝ f （｜1－ m ｜）， f （ m ）＝ f （｜ m ｜）. ∴原不等式等价于 ∴实数 m 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 解不等式问题的求解策略 　　解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等 式转化成 f （ x1）＞ f （ x2）或 f （ x1）＜ f （ x2）的形式，再根据 函数的奇偶性与单调性， 列出不等式（组），要注意函数定义域 对参数的影响. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x ）是偶函数，且在区间（－∞，0]上递增，若 f （2 x2－ x ）≥ f （1），则 x 的取值范围是（　　） A. B. C. （－∞，－1]∪ D. [－2，1] 解析：　依题意，函数为偶函数，且在 y 轴两侧左增右减，故－1≤2 x2－ x ≤1，解得 x ∈ .故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 设定义在R上的奇函数 f （ x ）满足，对任意 x1， x2∈（0，＋∞）， 且 x1≠ x2都有 ＜0，且 f （3）＝0，则不等式 ≥0的解集为（　　） A. （－∞，－3]∪[3，＋∞） B. [－3，0）∪[3，＋∞） C. （－∞，－3]∪（0，3] D. [－3，0）∪（0，3] 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　因为对任意 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1≠ x2都有 ＜0， 所以函数在（0，＋∞）上单调递减，又 f （ x ）是在R上的奇函 数，则在（－∞，0）上也单调递减，由 f （3）＝0，则 f （－3）＝ 0， ＝ ＝ ≥0，即 ≤0. 当 x ＞0时， f （ x ）≤0，即 f （ x ）≤ f （3），解得 x ≥3； 当 x ＜0时， f （ x ）≥0，即 f （ x ）≥ f （－3），解得 x ≤－3. 综上，不等式的解集为（－∞，－3]∪[3，＋∞）， 故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 　函数图象的对称性 研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一 种特殊的对称性，是关于特殊点（原点）及特殊直线（ y 轴）对称的 问题.那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？ 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 函数图象关于直线 x ＝ a 对称的问题 当函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称时，会满足怎样的 条件呢？ 如图所示，在直线 x ＝ a 两边取对称的两个自变量 的值，如 a － x ， a ＋ x ，由对称性知它们的函数 值相等，即 f （ a － x ）＝ f （ a ＋ x ）. 反之，若对函数 y ＝ f （ x ）的定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝ f （ a ＋ x ），则可证明其图象关于直线 x ＝ a 对称. 目录 数学·必修第一册（B版） 提示：设函数 y ＝ f （ x ）图象上的任一点为 P （ x ， y ），则它关于 直线 x ＝ a 对称的点为P'（2 a － x ， y ），因为 f （ a － x ）＝ f （ a ＋ x ），所以 f （2 a － x ）＝ f [ a ＋（ a － x ）]＝ f [ a －（ a － x ）]＝ f （ x ）. 这说明点P'（2 a － x ， y ）也在函数 y ＝ f （ x ）的图象上，即函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称. 由此得出：函数 y ＝ f （ x ）对其定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝ f （ a ＋ x ）⇔函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称. 目录 数学·必修第一册（B版） 函数 y ＝ f （ x ）在定义域内恒满 足的条件 函数 y ＝ f （ x ）的图象的对称轴 f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a f （ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ） 直线 x ＝ 同样地，可以得到如下结论： 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数图象关于点（ a ，0）对称的问题 当函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称时，又会满足怎样的 条件呢？如图所示，在直线 x ＝ a 两边取对称的两个自变量的值， 如 a － x ， a ＋ x ，由对称性知它们的函数值互为相反数，即 f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ）. 目录 数学·必修第一册（B版） 反之，若对函数 y ＝ f （ x ）定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ），则可证明其图象关于点（ a ，0）对称. 提示：设函数 y ＝ f （ x ）图象上的任一点为 P （ x ， y ），则它关于 点（ a ，0）的对称点为P'（2 a － x ，－ y ），因为 f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ），所以 f （2 a － x ）＝ f [ a ＋（ a － x ）]＝－ f [ a －（ a － x ）]＝－ f （ x ）. 这说明点P'（2 a － x ，－ y ）也在函数 y ＝ f （ x ）的图象上，即函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称. 由此得出：函数 y ＝ f （ x ）对其定义域内任一 x 都有 f （ a － x ）＝ － f （ a ＋ x ）⇔函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点（ a ，0）对称. 目录 数学·必修第一册（B版） 同样地，可以得到如下结论： 函数 y ＝ f （ x ）在定义域 内恒满足的条件 函数 y ＝ f （ x ）图象的对称中心 f （ a ＋ x ）＝－ f （ a － x ） 点（ a ，0） f （ x ）＝－ f （ a － x ） 点 f （ a ＋ x ）＝－ f （ b － x ） 点 目录 数学·必修第一册（B版） 已知函数 y ＝ f （ x ）在（0，2）上是增函数，函数 y ＝ f （ x ＋2）是 偶函数，则下列结论中正确的是（　　） A. f （1）＜ f ＜ f B. f ＜ f （1）＜ f C. f ＜ f ＜ f （1） D. f ＜ f （1）＜ f 【迁移应用】 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　∵ y ＝ f （ x ＋2）是偶函数， ∴ f （ x ＋2）＝ f （－ x ＋2）， ∴ y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称. ∴ f （1）＝ f （3）， 又 f （ x ）在（0，2）上为增函数， ∴ f （ x ）在（2，4）上为减函数. ∴ f ＜ f （1）＝ f （3）＜ f . 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 若奇函数 f （ x ）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则 f （ x ）在区间[－7，－3]上是（　　） A. 增函数且有最大值－5 B. 增函数且有最小值－5 C. 减函数且有最大值－5 D. 减函数且有最小值－5 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　因为 f （ x ）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5， 所以 f （3）＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知 f （ x ）在 区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值 f （－3）＝－ f （3）＝－ 5.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知偶函数在（－∞，0）上单调递增，则（　　） A. f （1）＞ f （2） B. f （1）＜ f （2） C. f （1）＝ f （2） D. 以上都有可能 解析：　∵ f （ x ）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增， ∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，∴ f （1）＞ f （2），故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 函数 f （ x ）为R上的奇函数，且 f （ x ）＝ ＋1（ x ＞0），则当 x ＜0时， f （ x ）＝（　　） A. － ＋1 B. － －1 C. ＋1 D. －1 解析：　当 x ＜0时，－ x ＞0，因为函数 f （ x ）为R上的奇函数， 所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ ＋1）＝－ －1，故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）关于函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜＋3，下列说法正确的是 （　　） A. f （ x ）是偶函数 B. f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，1） C. f （ x ）的最大值是4 D. f （ x ）的单调递减区间是（－1，0）∪（1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜＋3的定义域为R， f （－ x ）＝－（－ x ）2＋2｜－ x ｜＋3＝ f （ x ）， f （ x ）是偶函数，A 正确； 当 x ≥0时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3在（0，1）上单调递增，在 （1，＋∞）上单调递减，由偶函数的性质知， f （ x ）在（－∞， －1）上单调递增，在（－1，0）上单调递减，因此， f （ x ）的单 调递增区间是（－∞，－1），（0，1），B正确； 因 f （ x ）＝－｜ x ｜2＋2｜ x ｜＋3＝－（｜ x ｜－1）2＋4，则当｜ x ｜＝1，即 x ＝±1时， f （ x ）max＝4，C正确； 显然 f （ x ）的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞），不能写 成（－1，0）∪（1，＋∞），D不正确. 故选A、B、C. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 已知奇函数 f （ x ）是定义在[－1，1]上的增函数，且 f （ x －1）＋ f （1－2 x ）＜0，则 x 的取值范围为 ⁠. 解析：因为奇函数 f （ x ）在[－1，1]上是增函数，所以有 f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （ x －1）＋ f （1－2 x ）＜0可化为 f （ x －1）＜ － f （1－2 x ）＝ f （2 x －1），要使该不等式成立，则有 解得0＜ x ≤1，所以 x 的取值范围为（0，1]. （0，1]　 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $