3.1.2 函数的单调性（第一课时）课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性（增函数、减函数、单调区间）及最值，通过艾宾浩斯记忆曲线的现实情境导入，结合正比例、反比例函数图像观察变化规律，逐步抽象出单调性定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（记忆曲线情境），通过数学思维（逻辑推理证明单调性）和数学语言（符号精确表达定义）展开教学。例1用定义严谨证明单调性，例2结合单调性求最值，练习设计辨析题深化理解，帮助学生发展抽象与推理能力，教师可依托清晰流程提升教学效果。

人教B版(2019)必修第一册 3.1.2 函数的单调性 （第一课时） 第三章 函数 1 学习目标 理解函数的单调性与单调区间，体现数学抽象能力（重点） 理解函数单调性的判断，体现逻辑推理能力（重点） 掌握函数的最大（小）值，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题. 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔(单位: h)，y表示记忆保持量，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为 y=f(x). 3 新课学习 思考一下：这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 情境与问题中的函数y=f(x)反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小. 那么，给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化？ 4 新课学习 思考一下：根据下面这个图象，你可以得到什么信息？ 如图，从正比例函数y=2x的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大； 从反比例函数y= 的图象可以看出，在(-∞，0)和(0，+∞)内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小. 5 新课学习 增函数的概念 一般地，设函数y=f (x)的定义域为D，且ID： (1)如果对任意x1，x2∈I，当 x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，则称y=f(x)在I上是增函数 (也称在I上单调递增)，如图(1)所示； 6 新课学习 减函数的概念 (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，则称y=f(x)在I上是减函数 (也称在I上单调递减)，如图(2)所示. 7 新课学习 单调区间的概念 两种情况下，都称函数在 I 上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 8 新课学习 举个例子： 1.y=2x在R上是增函数； 2.y= 在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数. 想一想：能否说y= 在定义域内是减函数？为什么？ 不能；不符合减函数的定义． 9 新课学习 尝试与发现：如图所示的函数y=f(x)， 在[-6 , -4]上是增函数，在[-4 , -2]上是减函数， 在[-2 , 1]上是增函数，在[1 , 3]上是减函数，在[3 , 6]上是增函数. 10 新课学习 思考一下：由尝试与发现得到什么结论？ 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性. 但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性. 这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 11 新课学习 例1：求证：函数 f(x)=-2x在R上是减函数． 任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1-x2<0，那么 f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0， 从而 f(x1)>f(x2). 因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数. 12 新课学习 最值的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤ f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点； 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为 f (x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 求函数最值的方法：如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值. 13 新课学习 例2：判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1,6]的单调性，并求这个函数的最值． 任取x1，x2∈[-1,6]且x1<x2，则x1-x2<0，那么 f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0， 所以这个函数是增函数． 因此，当-1≤x≤6时，有 f(-1)≤f(x)≤f(6)， 从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23． 方法一： 14 新课学习 例2：判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1,6]的单调性，并求这个函数的最值． 方法二： 因为-1≤x≤6，所以 -3≤3x≤18，2≤3x+5≤23， 即f(-1)≤f(x)≤f(6)， 从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23． 15 课堂练习 A 16 课堂练习 17 课堂练习 D 18 课堂练习 19 课堂练习 D 20 课堂练习 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 (-∞，1) 26 课堂总结 1.增函数的概念 2.减函数的概念 3.单调区间的概念 4.最值的概念 27 谢 谢 观 看 28 $