2.3解直角三角形同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦解直角三角形，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从三角函数概念到实际应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角函数定义、直角三角形基本元素计算|选择填空为主，直接应用定义（如已知角度求边长），强化运算能力| |中档层|图形综合（等腰三角形、折叠）、简单实际应用|结合几何图形转化（如等腰三角形中用tan求边长），发展几何直观| |提升层|四边形、坐标系、探究性问题|跨情境综合应用（如钟表坐标系问题），培养应用意识与创新意识|

2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.3解直角三角形同步练习答案 一．选择题。 1．在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形 在中，，， ∴， A．，故选项计算错误，不符合题意； B．，故选项计算错误，不符合题意； C．，故选项计算正确，符合题意； D．，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于（　　） A．3tan50° B．3sin50° C．3tan40° D．3sin40° 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，∵tanB＝，∴AC＝BC•tanB＝3tan50°，故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（　　） A． B．4 C．8 D．4 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4；故选：D． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（　　） A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35° 【解析】在Rt△ABC中，cosB，∴BC＝AB•cosB＝7cos35°．故选：C． 5.如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝50°，那么AB等于（　　） A．asin50° B．atan50° C．acos50° D． 【解析】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝50°，且tan50°，则AB＝AC×tan50°＝a•tan50°，故选：B． 6．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（　　） A．2 B．8 C．4 D．12 【解答】解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即(4)2+(2k)2＝(3k)2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tan∠B＝，则BC的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【解答】解：∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵tan∠B＝＝，∴AD＝BD，∵AD2+BD2＝AB2，∴(BD)2+BD2＝102，∴BD＝8，∴BC＝16；故选：D． 8．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值是（　　） A． B． C．2 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10， ∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°， 在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝BC﹣BF＝4， 设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2＝EF2，∴42+(8﹣x)2＝x2，解得：x＝5，∴EF＝5， 在Rt△AEF中，tan∠EAF＝＝＝；故选：A． 9．在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）． ∴，故选：C． 10．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在中，， 在中，， ，故选B． 11.在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 12.如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】解： 过点A作轴，于点B． 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分钟转动了， ∴， 在中，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴点A坐标为． 故选：A． 二．填空题。 13.在中，，则的度数为 ． 【详解】解：∵， ∴，故答案为：． 14.在中，，，，那么长为 ． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ， 解得， ∵ ∴ 故答案为：． 15.在Rt中，，则的长为 ，的长为 ． 【详解】解：在中，，， ，即，解得， ． 故答案为：，. 16.如图，在△ABC中，BC＝12，tanA，∠B＝30°，则AB长为 . 【解析】如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△BCH中，∵∠BHC＝90°，∠B＝30°，BC＝12，∴CHBC＝6，BHCH＝6， 在Rt△ACH中，∵tanA，∴AH＝8，∴AB＝8+6，故选：D． 17.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则tan∠EAF＝________． [解析] ∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8 cm，AD＝BC＝10 cm. ∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10 cm，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°. 在Rt△ABF中，BF＝＝6 cm， ∴FC＝BC－BF＝4 cm. 设EF＝x cm，则DE＝x cm，CE＝CD－DE＝(8－x)cm. 在Rt△CEF中，∵CF2＋CE2＝EF2， ∴42＋＝x2，解得x＝5，即EF＝5 cm.在Rt△AEF中，tan∠EAF＝＝＝. 三．解答题 18.．在中，分别是的对边，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，， ， ． 19.．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 20．在中，分别是的对边，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，， ， ． 21．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 22.如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 23.已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得：， ∴． 24.如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【详解】（1）解：在中，， ，． （2）解：在中，，． 25.如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，∴； （2）解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，∴，∴在中，． 26.如图，△ABC中，∠A＝30°，tanB，AC＝2．求BC的长． 解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CDAC．∵在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB，∴BD＝2，∴BC． 27. （1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 解：（1）在中，， ，由勾股定理得， ， ， 在中，． （2）如图，构造的直角三角形： 解：如图，在中，，延长至点D，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.3解直角三角形同步练习 一.选择题。 1.在△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC=8,则下列三角函数值正确的是() ch B A.sind=3 5 B.COs4=4 C.tand=4 D.sinB=4 2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3,则AC等于() A.3tan50 B.3sin50° C.3tan40 D.3sin40° 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8,则BC的长是() 45 A.3 B.4c.8V5 D.4V3 C B 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7,则BC的长为() 7 A.7sin35° B. C0s35o▣ C.7cos35 D.7tan35 5.如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB =50°，那么AB等于() 509 A.asin50° B.tan50° C.ac0s50° D. Q tan 50 2 6.在△4BC中，已知∠C=90,4C=4V5,sin4=3,那么BC边的长是() A.2V5 B.8 c.4v5 D.12 J 7.如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tan∠B=4,则BC 的长为() A.6 B.8 C.12 D.16 B D 8.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，己知AB=8C,BC= 10c,则tan∠EAF的值是() 1 A.2 B.4 C.2 D.5 E 。在RABC中，ZC=90,B=210,tanB=,则gC的长为( 2V10 A.2 B.4 C.6 D.3 10.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=a,∠ADC=B,则竹竿AB 与AD的长度之比为() E B 77777777 7777F tana sinβ sina cosB A tanB B sina C.sinB D cosa ABCD 11.在四边形 中 ∠A=135°∠B=45°，∠C=30°.AB=5,AD=1, 则四边形 ABCD周长为() A D 135° B1450 30°CC A 5+√2+V5 B.4+2+5 c.5+v2+V5 D 4+V2+V5 12如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分 别为x轴和'轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落 在点A处.若OA=10,则点A的坐标为() 1 10 8 5 A.(55,5) B.(5,53 c.(52,52) D.(55,52) 二.填空题。 13.在R△ABC中 ∠C=90,BC=10,4B=102,则∠A的度数为 14在R1△ABC中，∠C-90.sn1- 4,BC=4:那么AB长为 15.在Rt△MBC中，∠A=90,BC=6,c0sB 3,则AB的长为，4AC的长为 3 16.如图，在△ABC中，BC=12,tanA= ∠B=30,则AB长为一 17.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，己知AB=8cm,BC= 10cm,则tan∠EAF=」 D 三.解答题 18.在Rt△ABC中，∠C=90,a,b,c分别是∠4，∠B,∠C的对边，∠B=60°，a=5,解 这个直角三角形. 19.在Rt△4BC中，∠C=90°，a,b,c分别为 A,∠B,∠C 的对边，c=8V5∠A=30 解这个直角三角形. 20.在Rt△ABC中，∠C=90,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，∠B=60°，a=5,解 这个直角三角形. 21.在R1△1BC中，∠C=90°，a,b,c分别为 A,∠B,∠ 的对边，c=8v5.∠A=30 解这个直角三角形. B 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° B A 1 (已知AB=12,snA-3,求BC的长. 2已知BC=V5.4C=V ,求<B的度数。 4 23.已知：如图，在R△ABC中，∠C=90°，AB=10:sn1=5,求BC的长和∠B的正 切值. A 24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°」 B C A 1已知4B=12,sinA=3,求BC的长 2)已知BC=V2.4C=6 求<B的度数 25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，DE L AB交AC于点E,连接 BE,BE=5,sn∠CBE=← B D E (1)求BC的长： (2)求tanA的值. 26.(1)小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题.他为了求 tan22.5°的值，先构造Rt△ABC,使∠C=90°，BC=1,∠ABC=45°，再延长CB到D, 使BD=AB,连接AD,于是∠D=22.5°.请你按小明的构图，求出tan22.5°的值. (2)请你也画出一个几何图形，直接写出tanl5°的正切值. A 45 22.5D B