专题03 函数的概念与性质（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了函数的概念与性质专题，涵盖函数及其表示、奇偶性与周期性、单调性与最值、函数图像四大核心考点，通过知识脑图搭建脉络框架，分层突破基础与高阶重难点。 清单采用分层设计与母题探究结合，基础梳理夯实定义域等核心概念，高阶思维突破对勾函数值域等难点，培养数学思维。特设易错剖析与技法点拨，如赋值法破解抽象函数，帮助学生精准避坑，教师可依托真题典例优化复习策略，提升备考效率。

专题03 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 函数及其表示 考点02 函数的奇偶性与周期性 考点3 函数的单调性、值域与最值 考点4 函数的图像 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 对勾函数求值域 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 函数的概念与表示（定义域、值域、分段函数） 题型02 函数的奇偶性与周期性 题型03 函数的单调性与最值（极值） 题型04 函数新定义与性质综合（压轴） ▶重点突破・考法深研 重点01 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 重点02 根据函数零点的个数求参数 重点03 函数不等式恒成立问题 重点04 函数性质证明问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01 赋值法破解抽象函数 技法点拨02 值域最值求法 技法点拨03 函数求参问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数不等式恒成立问题 易错点02 函数新定义 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点1 函数及其表示 1.函数的有关概念 （1）定义域、值域定义 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；定义域为非空数集. （2）函数两要素：定义域、对应关系. （3）相等函数判定：两个函数的定义域和对应关系完全一致，则两函数相等. 2.函数的三种表示法 解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 （1）定义：函数在定义域的不同子集上，对应关系不同，用多个不同式子表示的函数. （2）核心性质：分段函数的定义域=各段定义域的并集，值域=各段值域的并集；分段函数由多段组成，但只代表一个函数. 4.求函数定义域的类型与解法 （1）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）实际应用问题：结合实际意义+解析式有意义，联立不等式（组）求解； （3）复合函数定义域两类题型： -已知定义域为，求定义域：解不等式； -已知定义域为，求定义域：求时的值域. （2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． （2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 考点2 函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法判断步骤 ①确定函数定义域； ②判断定义域是否关于原点对称，不对称则函数既不是奇函数也不是偶函数； ③若定义域对称，计算； ④对比与的关系，判定奇偶. （2）奇偶性等价变形（时） 偶函数： 奇函数： （3）图像判定法 偶函数图像关于轴对称；奇函数图像关于原点中心对称. 2.函数奇偶性的四大应用 （1）已知奇偶性，求函数解析式； （2）含参数函数，已知奇偶性求参数：利用恒成立，对比等式系数求解； （3）奇偶性结合单调性：奇函数在关于原点对称区间单调性相同；偶函数在关于原点对称区间单调性相反； （4）抽象函数奇偶性：推导与关系，结合图像分析性质. 3.奇偶性基础常用结论 （1）定义域关于原点对称，是函数具备奇偶性的必要前提； （2）奇函数若在处有定义，则必有；偶函数恒满足. 4.奇偶性与函数图像对称性的关联（） 1.是偶函数，则图像关于直线对称； 2.对任意实数，或，则图像关于直线对称； 3.是奇函数，则图像关于点中心对称. 5.函数周期性 （1）周期函数定义：存在非零常数，对定义域内任意满足，称为函数的周期； （2）最小正周期：周期函数所有周期中，最小的正数. 6.周期性核心结论（，对定义域任意） （1）； （2）； （3）； （4）. （2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． （2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 考点3 函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 （1）单调函数定义 设函数定义域为，区间： -若区间内任意，都有，则在区间为严格增函数，图像自左向右上升； -若区间内任意，都有，则在区间为严格减函数，图像自左向右下降. （2）单调区间定义 函数在区间上单调，则该区间称为函数的单调区间. （3）单调性运算性质（在区间单调） ①两个增（减）函数相加，和仍为增（减）函数； ②时，与单调性相同；时单调性相反； ③时，、与单调性相反； ④复合函数：内外函数单调性遵循同增异减. （4）单调性等价变形（） （5）单调区间书写注意事项 ①只能用区间表示，不能用不等式； ②多个单调区间分开书写，用逗号/“和”连接，禁止用符号、“或”. 2.函数值域6种求解方法 （1）单调性法：闭区间上单调函数，端点处取得最大、最小值； （2）配方法：适用于二次型，需注意自变量取值范围； （3）三角函数有界性：利用； （4）分离常数法：分式型、； （5）换元法：根式型； （6）基本不等式法. （2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． （2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 考点4 函数的图像 1.四大图像变换作图规则 （1）平移变换 -水平平移：； -竖直平移：. （2）伸缩变换 -横坐标伸缩：； -纵坐标伸缩：. （3）对称变换 -关于轴对称：； -关于轴对称：； -关于原点对称：. （4）翻折变换 -：保留轴右侧图像，将右侧图像翻折至左侧，舍弃原左侧图像； -：保留轴上方图像，将轴下方图像翻折到轴上方. 2.函数图像三类应用 （1）判断方程根的个数； （2）求解参数取值范围； （3）求解不等式解集. 3.函数图像对称性 （1）单个函数自身轴对称 ①图像关于轴对称； ②图像关于直线对称； ③若对任意，，则对称轴为直线. （2）单个函数自身中心对称 ①图像关于原点对称； ②图像关于点对称； ③图像关于点中心对称等价条件： （3）两个函数图像的对称关系 ①与：对称轴； ②与：关于直线对称； ③与：关于点对称； ④与：关于点对称. （2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 难点解读01 对勾函数求值域 1.对勾函数的定义及其性质 形如的函数，当时其图象如图所示，是关于原点对称的对勾，故函数称为对勾函数. 对勾函数的基本性质： 定义域 奇偶性 奇函数 单调性 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增. 极值 极大值；极小值. 最值 函数在定义域上无最值， 在区间上，有最大值； 在区间上，有最小值. 当时，函数的图象如图1所示，此时也为对勾函数，其基本性质可参考上述对勾函数性质. 当时，函数的图象如图2所示，在，上均单调递增，此时称为双撇函数. 2.对勾函数在值域问题中的应用 对勾函数常常应用于一些求值域(最值)的问题，在圆锥曲线、导数等多个模块我们都会见到对 第一步:通过代数变形(一般为换元)，将待求函数变形为含对勾函数的形式. 第二步:根据对勾函数的相关性质，得到这个新函数的值域(最值)，从而解决问题. 3.利用对勾函数求分式型函数的值域： 使用对勾函数求值域时，大多数情况是求分式型函数的值域，通常包含以下几种情形. ①二次比一次型：形如，此时把分母看作一个整体进行换元，即可化成对勾函数的形式，进而求解出值域. ②一次比二次型：形如，此时将分子、分母同除以分子，分母就变成了①中的形式，换元后继续操作即可. ③二次比二次型：形如，此时先把分子中的二次项分离常数分离下去，就变成了②中的形式，再将分子、分母同除以分子，换元后继续操作即可. 难点破解 （上海嘉定一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为_________ 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数的概念与表示（定义域、值域、分段函数） 考情定位： 本题型稳定出现在填空题第1—5题，每题4分，属于“开卷即得”的基础分.近三年真题中，2024年春考第1题考查函数的定义域（对数型），2024年秋考第2题考查分段函数求值，2025年秋考第5题考查余弦型函数在闭区间上的值域. 核心考法： 考法1 定义域：对数型真数大于0、分式分母不为0、偶次根式被开方数不小于0的联立求解（2024春•第1题）. 考法2 值域：利用三角函数（或指、幂函数）在给定闭区间上的单调性，计算端点与最值点确定值域（2025秋•第5题）. 考法3 分段函数求值：判断自变量所落区间，按段代入解析式，必要时多次迭代求 型的值（2024秋•第2题）. 解题要点： 要点1 “定义域优先”意识：凡涉及函数问题，先确定定义域，再谈性质与运算. 要点2 求值域先判单调性：闭区间上单调函数的值域即两端点函数值；不单调时先分段或用换元化归. 要点3 分段函数“对号入座”：先看自变量范围再选解析式；多层的 由内向外逐层求值. 要点4 警惕细节陷阱：分母、真数、开偶次方、区间开闭，落笔前逐一核对. 【典例1】（2025·上海秋考）函数在上的值域为_________． 【典例2】（2024·上海秋考）已知则______． 【典例3】（2024·上海春考）函数的定义域为_______. 题型02 函数的奇偶性与周期性 考情定位： 奇偶性与周期性是上海卷函数性质中考查密度最大的板块：填空题层面，2024年秋考第4题由奇函数定义求参数、2026年秋考第5题由偶函数性质求值，均为4分的基础送分题；选择题层面，2024年秋考第14题以四个三角函数为载体考查最小正周期（4分）。偶函数几乎每年都作为压轴题第21题的核心证明对象（2025春、2025秋、2026春第21题均以“偶函数的充要条件”或“偶函数零点个数”压轴），小题打基础、大题见真章的命题格局非常稳定。 核心考法： 考法1 用定义求参数：由 恒成立，比较系数求待定参数（2024秋•第4题）。 考法2 偶函数“知一半求另一半”：已知 的解析式，利用 直接求值（2026秋•第5题）。 考法3 最小正周期判断：正余弦型用 、正切型用 ，特别注意绝对值（翻折变换）使周期减半，如 的周期为 （2024秋•第14题）。 解题要点： 要点1 判定奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再用 与 、 的关系下结论。 要点2 “比较系数法”处理恒成立：奇偶性等式对一切 x 成立，等价于对应系数分别相等。 要点3 周期公式与图象变换联动记忆： 是 x 轴下方翻折向上，正弦型周期减半； 是去左留右、右图补左。 要点4 奇偶性⟺ 图象对称性：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称，抽象问题随时回到图象直观。 【典例1】（2024·上海秋考）若函数是奇函数，则实数______. 【典例2】（2026·上海秋考）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【典例3】（2024·上海秋考）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 题型03函数的单调性与最值（极值） 考情定位： 单调性考查呈“小题+大题”双线布局：小题层面，2025年春考第14题以幂函数为载体考查指数与单调性的关系（4分）；解答题层面，2024年秋考第18题（14分）利用指数函数单调性解不等式并处理存在性问题，2025年秋考第19题（14分）以三次函数为载体考查不等式解集与极大值存在的条件. 该题型是解答题第18、19题的主力，处于“基础分与中档分”的交界位置，得分率直接决定总分档次. 核心考法： 考法1 幂函数（指数函数）单调性判断：时在上严格减，结合过定点确定指数（2025春•第14题）. 考法2 利用单调性解不等式：化为同底后按底数范围定方向；或构造单调函数，把>转化为a、b的大小关系（2024秋•第18题）. 考法3 三次函数的极值：f'有两个不等实根（判别式大于0）是存在极大值的充要条件，结合图象“升—降—升”形态分析（2025秋•第19题）. 考法4 存在性问题化归：存在x使等式成立⟺相应函数的值域包含目标值，用值域法求参数范围（2024秋•第18题第2问）. 解题要点： 要点1 基本初等函数单调性必须“张口就来”：幂、指、对、三角在各典型区间上的增减. 要点2 解指数、对数不等式先化同底，再按底数与1的大小分情况定不等号方向. 要点3 三次函数看导数：f'²+bx+c型，>0两个驻点（先增后减再增，有极大、极小），无极值，单调. 要点4 数形结合定解集：高次不等式穿根法（偶次重根不穿透）；参数存在性问题优先考虑值域法. 【典例1】（2025·上海春考）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【典例2】（2024·上海秋考）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【典例3】（2025·上海秋考）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 题型04 函数新定义与性质综合（压轴） 考情定位： 以“新定义”为情景、以函数性质为核，分值约23分：选择题第16题，2026年春考“最低点”（各5分）；压轴解答题第21题层面，2024年秋考“最近点”、2025年春考“对称集”、2025年秋考“集合A_f与偶函数零点”、2026年春考“性质P”、2026年秋考“排列函数”（各18分）. 新定义题重在“现学现用”：定义本身只用到集合、函数、不等式等基础知识，但要求在陌生情境下完成定义翻译、性质判断、充要条件证明与零点估计，是区分顶尖考生的主战场. 核心考法： 考法1 新定义的即时翻译：把文字定义逐句译成坐标/集合语言，如延展函数的递推解析式、“最低点”的存在性条件、“最近点”的距离最小值（2024春•第16题、2026春•第16题、2024秋•第21题）. 考法2 存在性与恒成立的判断：构造满足条件的例子证明“存在”，举反例否定“任意”，选择题多用特例排除（2024秋•第16题、2026春•第16题）. 考法3 偶函数的充要条件证明：压轴固定模式——先在一侧用已知条件（最小值、单调性、值域）锁定性质，再由对称性推广到全体实数（2025春•第21题、2026春•第21题）. 考法4 零点个数的上界估计：对称性（零点成对）+单调性（每段至多1个）+递推条件（间距限制）三件套（2025秋•第21题）. 考法5 新定义与排列、单调性综合：将排列条件转化为函数单调性的限制，进行计数或证明（2026秋•第21题）. 解题要点： 要点1 逐字翻译定义是第一生产力：新定义题的第一步永远是把定义写成数学表达式，定义域、条件、目标三要素缺一不可. 要点2 小题优先用特例：判断“存在”只需构造一个例子，判断“恒成立”优先找反例，选项间常可用极端情形快速排除. 要点3 压轴证明“先半后全”：偶函数类问题先在上借最小值/单调性建立结论，再用对称推广；充要条件两个方向分别书写. 要点4 零点估计三板斧：零点关于y轴成对出现、每个单调区间至多1个零点、递推条件限制相邻零点间距，三者结合给出上界. 要点5 书写规范：充要条件证明必须“充分性”“必要性”双向标注；反例要具体写出函数或取值. 【典例1】（2026·上海春考）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【典例2】（2026·上海春考）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【典例3】（2025·上海春考）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【典例4】（2025·上海秋考）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 重点01 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 【重点攻略】 ① 奇偶性：利用f(-x)=±f(x)将不等式两侧化为同一函数符号f下的比较； ② 单调性：根据单调递增/递减脱去f，注意递减时不等号反向； ③ 定义域：去f前必须确认自变量在同一单调区间内，且满足定义域约束；④ 选择题可代入特殊值快速排除。 【典例01】(2026·上海闵行二模) 已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例02】(2026·上海黄浦二模) 设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 重点02 根据函数零点的个数求参数 【重点攻略】 ① 分离参数：将f(x)=0拆为a=g(x)，转化为水平线y=a与函数图像的交点问题； ② 画图定界：先画一个周期或一段区间的图像，再由周期性、对称性延伸； ③ 临界取值：交点数发生变化的临界位置在直线与曲线相切、或直线经过端点/极值点处； ④ 计数防重：区间端点的零点只算一次，周期函数先算整周期再补零头。 【典例01】(2026·上海嘉定二模) 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【典例02】(2025·上海静安一模) 设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 重点03 函数不等式恒成立问题 【重点攻略】 ① 分离参数优先：能分离为或时，直接求的最值； ② 构造函数兜底：无法分离时移项构造，求的最值并令其满足不等关系； ③ 端点与极值：闭区间最值必在端点或极值点取得，逐一验证； ④ 选择题速解：代入边界特殊值（如、）快速排除错误选项； ⑤ 存在性与恒成立区分：存在性看最大值，恒成立看最小值。 【典例01】(2026·上海模拟) 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ 【典例02】(2025·上海普陀一模) 设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 重点04 函数性质证明问题 【重点攻略】 ① 转化思想：把文字定义逐句转化为数学等式或不等式，用具体初等函数代入验证理解； ② 全称问题找反例：判断全称命题时优先构造反例，一个反例即可否定； ③ 充要性证明分条理：充分性、必要性分开写，每步标注依据； ④ 存在性构造：证明存在时构造具体函数或取值，验证成立即可；⑤ 唯一性反证：证明唯一时假设存在两个，利用单调性或定义推出矛盾； ⑥ 紧扣定义不跳步：所有结论必须从定义出发代数推导，不可用图像直观替代证明。 【典例01】(2025·上海杨浦一模) 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【典例02】(2025·上海徐汇一模) 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 技法点拨01 赋值法破解抽象函数 【方法技巧】赋值法是处理抽象函数的核心方法：① 求特殊值：令x=0或x=y，得f(0)的值；② 判奇偶：令x=-y，得f(-x)与f(x)的关系；③ 求周期：令x=x+T，验证f(x+T)=f(x)；④ 求解析式：将所求区间的自变量通过奇偶性、周期性转化到已知解析式的区间，代入后还原。关键是根据目标式的结构，选择恰当的赋值使未知量消去。 【典例01】（2026·上海徐汇模拟）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【典例02】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 技法点拨02 值域最值求法 【方法技巧】求函数值域与最值的常用方法：① 单调性法：先判断函数在区间上的单调性，端点处取最值；② 换元法：将复杂表达式换元为初等函数，注意新元取值范围；③ 分离常数法：将分式拆分为常数+真分式，由真分式范围推值域；④ 基本不等式法：适用于和定积最大、积定和最小的形式；⑤ 导数法：求导找极值点，结合端点比较得最值。 【典例01】函数的值域为___________. 【典例02】函数，的值域为________. 技法点拨03 函数求参问题 【方法技巧】函数求参的核心是性质与条件的转化：① 已知单调区间求参数：由f'(x)≥0（或≤0）在区间上恒成立，分离参数求最值；② 已知最值求参数：分类讨论极值点是否在区间内，比较端点与极值；③ 已知零点个数求参数：分离参数后转化为图像交点数，找临界位置；④ 已知奇偶性求参数：利用f(-x)=±f(x)对比系数，或用特殊值f(0)=0（奇函数）。 【典例01】（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（     ） A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误 【典例02】（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 易错点01 函数不等式恒成立问题 易混易错： ① 恒成立看最大，能成立看最小，方向别反。 ② ， 取等，端点别漏。 ③ 分离参数除负数变号，除含参式子讨论正负。 ④ 参数范围端点单独代回验证。 【典例01】（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 【典例02】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则______. 【典例03】（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 易错点02 函数新定义 易混易错： ① 新定义先翻译：把集合/文字定义转化为等式或不等式，明确"对任意"还是"存在"。 ② 全称命题找反例：一个反例即可否定；证明正确须对所有情况成立。 ③ 分清函数对象： 与 是不同函数，奇偶性判断勿混淆。 ④ 定义域值域不可忽略：题目给出的定义域、值域约束是推理前提。 【典例01】（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【典例02】（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【典例03】（2026·上海闵行·二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. (1)判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； (2)是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； (3)设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 优题精练·专题实战通关 （上海市静安区2025-2026学年度高三第二学期教学质量调研）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． （上海市奉贤区2026届高三上学期数学一模）若函数是偶函数，则实数______． （上海市静安区2025-2026学年高三一模）已知函数，则___________． （上海市虹口区2025-2026学年高三一模）函数的定义域为___________ （上海市杨浦区2026届高三一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. （上海市嘉定区2025-2026学年高三上学期一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. （上海市普陀区2025-2026学年高三模拟）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. （上海市嘉定区2025-2026学年高三下学期质量调研）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． （上海市崇明区2026届高三下学期二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． （上海市金山区2025-2026学年模拟）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 （上海市闵行区2025-2026学年二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （山西应县第一中学校2026届高三下学期一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 （上海市徐汇区2025-2026学年模拟）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. （2025届上海浦东新区二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． $专题03 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 函数及其表示 考点02 函数的奇偶性与周期性 考点3 函数的单调性、值域与最值 考点4 函数的图像 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 对勾函数求值域 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 函数的概念与表示（定义域、值域、分段函数） 题型02 函数的奇偶性与周期性 题型03 函数的单调性与最值（极值） 题型04 函数新定义与性质综合（压轴） ▶重点突破・考法深研 重点01 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 重点02 根据函数零点的个数求参数 重点03 函数不等式恒成立问题 重点04 函数性质证明问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01 赋值法破解抽象函数 技法点拨02 值域最值求法 技法点拨03 函数求参问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01 函数不等式恒成立问题 易错点02 函数新定义 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点1 函数及其表示 1.函数的有关概念 （1）定义域、值域定义 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；定义域为非空数集. （2）函数两要素：定义域、对应关系. （3）相等函数判定：两个函数的定义域和对应关系完全一致，则两函数相等. 2.函数的三种表示法 解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 （1）定义：函数在定义域的不同子集上，对应关系不同，用多个不同式子表示的函数. （2）核心性质：分段函数的定义域=各段定义域的并集，值域=各段值域的并集；分段函数由多段组成，但只代表一个函数. 4.求函数定义域的类型与解法 （1）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）实际应用问题：结合实际意义+解析式有意义，联立不等式（组）求解； （3）复合函数定义域两类题型： -已知定义域为，求定义域：解不等式； -已知定义域为，求定义域：求时的值域. （2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． （2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 考点2 函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法判断步骤 ①确定函数定义域； ②判断定义域是否关于原点对称，不对称则函数既不是奇函数也不是偶函数； ③若定义域对称，计算； ④对比与的关系，判定奇偶. （2）奇偶性等价变形（时） 偶函数： 奇函数： （3）图像判定法 偶函数图像关于轴对称；奇函数图像关于原点中心对称. 2.函数奇偶性的四大应用 （1）已知奇偶性，求函数解析式； （2）含参数函数，已知奇偶性求参数：利用恒成立，对比等式系数求解； （3）奇偶性结合单调性：奇函数在关于原点对称区间单调性相同；偶函数在关于原点对称区间单调性相反； （4）抽象函数奇偶性：推导与关系，结合图像分析性质. 3.奇偶性基础常用结论 （1）定义域关于原点对称，是函数具备奇偶性的必要前提； （2）奇函数若在处有定义，则必有；偶函数恒满足. 4.奇偶性与函数图像对称性的关联（） 1.是偶函数，则图像关于直线对称； 2.对任意实数，或，则图像关于直线对称； 3.是奇函数，则图像关于点中心对称. 5.函数周期性 （1）周期函数定义：存在非零常数，对定义域内任意满足，称为函数的周期； （2）最小正周期：周期函数所有周期中，最小的正数. 6.周期性核心结论（，对定义域任意） （1）； （2）； （3）； （4）. （2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. （2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 考点3 函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 （1）单调函数定义 设函数定义域为，区间： -若区间内任意，都有，则在区间为严格增函数，图像自左向右上升； -若区间内任意，都有，则在区间为严格减函数，图像自左向右下降. （2）单调区间定义 函数在区间上单调，则该区间称为函数的单调区间. （3）单调性运算性质（在区间单调） ①两个增（减）函数相加，和仍为增（减）函数； ②时，与单调性相同；时单调性相反； ③时，、与单调性相反； ④复合函数：内外函数单调性遵循同增异减. （4）单调性等价变形（） （5）单调区间书写注意事项 ①只能用区间表示，不能用不等式； ②多个单调区间分开书写，用逗号/“和”连接，禁止用符号、“或”. 2.函数值域6种求解方法 （1）单调性法：闭区间上单调函数，端点处取得最大、最小值； （2）配方法：适用于二次型，需注意自变量取值范围； （3）三角函数有界性：利用； （4）分离常数法：分式型、； （5）换元法：根式型； （6）基本不等式法. （2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. （2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 【答案】 【详解】令，定义域为， 函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又，则， 所以不等式的解集为. 考点4 函数的图像 1.四大图像变换作图规则 （1）平移变换 -水平平移：； -竖直平移：. （2）伸缩变换 -横坐标伸缩：； -纵坐标伸缩：. （3）对称变换 -关于轴对称：； -关于轴对称：； -关于原点对称：. （4）翻折变换 -：保留轴右侧图像，将右侧图像翻折至左侧，舍弃原左侧图像； -：保留轴上方图像，将轴下方图像翻折到轴上方. 2.函数图像三类应用 （1）判断方程根的个数； （2）求解参数取值范围； （3）求解不等式解集. 3.函数图像对称性 （1）单个函数自身轴对称 ①图像关于轴对称； ②图像关于直线对称； ③若对任意，，则对称轴为直线. （2）单个函数自身中心对称 ①图像关于原点对称； ②图像关于点对称； ③图像关于点中心对称等价条件： （3）两个函数图像的对称关系 ①与：对称轴； ②与：关于直线对称； ③与：关于点对称； ④与：关于点对称. （2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 难点解读01 对勾函数求值域 1.对勾函数的定义及其性质 形如的函数，当时其图象如图所示，是关于原点对称的对勾，故函数称为对勾函数. 对勾函数的基本性质： 定义域 奇偶性 奇函数 单调性 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增. 极值 极大值；极小值. 最值 函数在定义域上无最值， 在区间上，有最大值； 在区间上，有最小值. 当时，函数的图象如图1所示，此时也为对勾函数，其基本性质可参考上述对勾函数性质. 当时，函数的图象如图2所示，在，上均单调递增，此时称为双撇函数. 2.对勾函数在值域问题中的应用 对勾函数常常应用于一些求值域(最值)的问题，在圆锥曲线、导数等多个模块我们都会见到对 第一步:通过代数变形(一般为换元)，将待求函数变形为含对勾函数的形式. 第二步:根据对勾函数的相关性质，得到这个新函数的值域(最值)，从而解决问题. 3.利用对勾函数求分式型函数的值域： 使用对勾函数求值域时，大多数情况是求分式型函数的值域，通常包含以下几种情形. ①二次比一次型：形如，此时把分母看作一个整体进行换元，即可化成对勾函数的形式，进而求解出值域. ②一次比二次型：形如，此时将分子、分母同除以分子，分母就变成了①中的形式，换元后继续操作即可. ③二次比二次型：形如，此时先把分子中的二次项分离常数分离下去，就变成了②中的形式，再将分子、分母同除以分子，换元后继续操作即可. 难点破解 （上海嘉定一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为_________ 【答案】/ 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【详解】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数的概念与表示（定义域、值域、分段函数） 考情定位： 本题型稳定出现在填空题第1—5题，每题4分，属于“开卷即得”的基础分.近三年真题中，2024年春考第1题考查函数的定义域（对数型），2024年秋考第2题考查分段函数求值，2025年秋考第5题考查余弦型函数在闭区间上的值域. 核心考法： 考法1 定义域：对数型真数大于0、分式分母不为0、偶次根式被开方数不小于0的联立求解（2024春•第1题）. 考法2 值域：利用三角函数（或指、幂函数）在给定闭区间上的单调性，计算端点与最值点确定值域（2025秋•第5题）. 考法3 分段函数求值：判断自变量所落区间，按段代入解析式，必要时多次迭代求 型的值（2024秋•第2题）. 解题要点： 要点1 “定义域优先”意识：凡涉及函数问题，先确定定义域，再谈性质与运算. 要点2 求值域先判单调性：闭区间上单调函数的值域即两端点函数值；不单调时先分段或用换元化归. 要点3 分段函数“对号入座”：先看自变量范围再选解析式；多层的 由内向外逐层求值. 要点4 警惕细节陷阱：分母、真数、开偶次方、区间开闭，落笔前逐一核对. 【典例1】（2025·上海秋考）函数在上的值域为_________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 【典例2】（2024·上海秋考）已知则______． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 【典例3】（2024·上海春考）函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 题型02 函数的奇偶性与周期性 考情定位： 奇偶性与周期性是上海卷函数性质中考查密度最大的板块：填空题层面，2024年秋考第4题由奇函数定义求参数、2026年秋考第5题由偶函数性质求值，均为4分的基础送分题；选择题层面，2024年秋考第14题以四个三角函数为载体考查最小正周期（4分）。偶函数几乎每年都作为压轴题第21题的核心证明对象（2025春、2025秋、2026春第21题均以“偶函数的充要条件”或“偶函数零点个数”压轴），小题打基础、大题见真章的命题格局非常稳定。 核心考法： 考法1 用定义求参数：由 恒成立，比较系数求待定参数（2024秋•第4题）。 考法2 偶函数“知一半求另一半”：已知 的解析式，利用 直接求值（2026秋•第5题）。 考法3 最小正周期判断：正余弦型用 、正切型用 ，特别注意绝对值（翻折变换）使周期减半，如 的周期为 （2024秋•第14题）。 解题要点： 要点1 判定奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再用 与 、 的关系下结论。 要点2 “比较系数法”处理恒成立：奇偶性等式对一切 x 成立，等价于对应系数分别相等。 要点3 周期公式与图象变换联动记忆： 是 x 轴下方翻折向上，正弦型周期减半； 是去左留右、右图补左。 要点4 奇偶性⟺ 图象对称性：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称，抽象问题随时回到图象直观。 【典例1】（2024·上海秋考）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 【典例2】（2026·上海秋考）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 【典例3】（2024·上海秋考）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 题型03函数的单调性与最值（极值） 考情定位： 单调性考查呈“小题+大题”双线布局：小题层面，2025年春考第14题以幂函数为载体考查指数与单调性的关系（4分）；解答题层面，2024年秋考第18题（14分）利用指数函数单调性解不等式并处理存在性问题，2025年秋考第19题（14分）以三次函数为载体考查不等式解集与极大值存在的条件. 该题型是解答题第18、19题的主力，处于“基础分与中档分”的交界位置，得分率直接决定总分档次. 核心考法： 考法1 幂函数（指数函数）单调性判断：时在上严格减，结合过定点确定指数（2025春•第14题）. 考法2 利用单调性解不等式：化为同底后按底数范围定方向；或构造单调函数，把>转化为a、b的大小关系（2024秋•第18题）. 考法3 三次函数的极值：f'有两个不等实根（判别式大于0）是存在极大值的充要条件，结合图象“升—降—升”形态分析（2025秋•第19题）. 考法4 存在性问题化归：存在x使等式成立⟺相应函数的值域包含目标值，用值域法求参数范围（2024秋•第18题第2问）. 解题要点： 要点1 基本初等函数单调性必须“张口就来”：幂、指、对、三角在各典型区间上的增减. 要点2 解指数、对数不等式先化同底，再按底数与1的大小分情况定不等号方向. 要点3 三次函数看导数：f'²+bx+c型，>0两个驻点（先增后减再增，有极大、极小），无极值，单调. 要点4 数形结合定解集：高次不等式穿根法（偶次重根不穿透）；参数存在性问题优先考虑值域法. 【典例1】（2025·上海春考）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 【典例2】（2024·上海秋考）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 【典例3】（2025·上海秋考）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 题型04 函数新定义与性质综合（压轴） 考情定位： 以“新定义”为情景、以函数性质为核，分值约23分：选择题第16题，2026年春考“最低点”（各5分）；压轴解答题第21题层面，2024年秋考“最近点”、2025年春考“对称集”、2025年秋考“集合A_f与偶函数零点”、2026年春考“性质P”、2026年秋考“排列函数”（各18分）. 新定义题重在“现学现用”：定义本身只用到集合、函数、不等式等基础知识，但要求在陌生情境下完成定义翻译、性质判断、充要条件证明与零点估计，是区分顶尖考生的主战场. 核心考法： 考法1 新定义的即时翻译：把文字定义逐句译成坐标/集合语言，如延展函数的递推解析式、“最低点”的存在性条件、“最近点”的距离最小值（2024春•第16题、2026春•第16题、2024秋•第21题）. 考法2 存在性与恒成立的判断：构造满足条件的例子证明“存在”，举反例否定“任意”，选择题多用特例排除（2024秋•第16题、2026春•第16题）. 考法3 偶函数的充要条件证明：压轴固定模式——先在一侧用已知条件（最小值、单调性、值域）锁定性质，再由对称性推广到全体实数（2025春•第21题、2026春•第21题）. 考法4 零点个数的上界估计：对称性（零点成对）+单调性（每段至多1个）+递推条件（间距限制）三件套（2025秋•第21题）. 考法5 新定义与排列、单调性综合：将排列条件转化为函数单调性的限制，进行计数或证明（2026秋•第21题）. 解题要点： 要点1 逐字翻译定义是第一生产力：新定义题的第一步永远是把定义写成数学表达式，定义域、条件、目标三要素缺一不可. 要点2 小题优先用特例：判断“存在”只需构造一个例子，判断“恒成立”优先找反例，选项间常可用极端情形快速排除. 要点3 压轴证明“先半后全”：偶函数类问题先在上借最小值/单调性建立结论，再用对称推广；充要条件两个方向分别书写. 要点4 零点估计三板斧：零点关于y轴成对出现、每个单调区间至多1个零点、递推条件限制相邻零点间距，三者结合给出上界. 要点5 书写规范：充要条件证明必须“充分性”“必要性”双向标注；反例要具体写出函数或取值. 【典例1】（2026·上海春考）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 【典例2】（2026·上海春考）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】(1)没有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【典例3】（2025·上海春考）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2) 证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）略 （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 【典例4】（2025·上海秋考）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 重点01 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 【重点攻略】 ① 奇偶性：利用f(-x)=±f(x)将不等式两侧化为同一函数符号f下的比较； ② 单调性：根据单调递增/递减脱去f，注意递减时不等号反向； ③ 定义域：去f前必须确认自变量在同一单调区间内，且满足定义域约束；④ 选择题可代入特殊值快速排除。 【典例01】(2026·上海闵行二模) 已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 【典例02】(2026·上海黄浦二模) 设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 重点02 根据函数零点的个数求参数 【重点攻略】 ① 分离参数：将f(x)=0拆为a=g(x)，转化为水平线y=a与函数图像的交点问题； ② 画图定界：先画一个周期或一段区间的图像，再由周期性、对称性延伸； ③ 临界取值：交点数发生变化的临界位置在直线与曲线相切、或直线经过端点/极值点处； ④ 计数防重：区间端点的零点只算一次，周期函数先算整周期再补零头。 【典例01】(2026·上海嘉定二模) 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 【典例02】(2025·上海静安一模) 设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】首先根据对称性，周期性画出函数在区间的图象，再在同一坐标系下作出函数的图象，由函数的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为： 重点03 函数不等式恒成立问题 【重点攻略】 ① 分离参数优先：能分离为或时，直接求的最值； ② 构造函数兜底：无法分离时移项构造，求的最值并令其满足不等关系； ③ 端点与极值：闭区间最值必在端点或极值点取得，逐一验证； ④ 选择题速解：代入边界特殊值（如、）快速排除错误选项； ⑤ 存在性与恒成立区分：存在性看最大值，恒成立看最小值。 【典例01】(2026·上海模拟) 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ 【答案】. 【分析】由 得的最小值，转化为解关于a的一元二次不等式. 【详解】由题意知，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， 故答案为： . 【典例02】(2025·上海普陀一模) 设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 重点04 函数性质证明问题 【重点攻略】 ① 转化思想：把文字定义逐句转化为数学等式或不等式，用具体初等函数代入验证理解； ② 全称问题找反例：判断全称命题时优先构造反例，一个反例即可否定； ③ 充要性证明分条理：充分性、必要性分开写，每步标注依据； ④ 存在性构造：证明存在时构造具体函数或取值，验证成立即可；⑤ 唯一性反证：证明唯一时假设存在两个，利用单调性或定义推出矛盾； ⑥ 紧扣定义不跳步：所有结论必须从定义出发代数推导，不可用图像直观替代证明。 【典例01】(2025·上海杨浦一模) 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【答案】(1)是压缩函数. (2) (3)证明如下： （必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【详解】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）略 【典例02】(2025·上海徐汇一模) 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】(1) 函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. (2) 因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. (3) 假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 技法点拨01 赋值法破解抽象函数 【方法技巧】赋值法是处理抽象函数的核心方法：① 求特殊值：令x=0或x=y，得f(0)的值；② 判奇偶：令x=-y，得f(-x)与f(x)的关系；③ 求周期：令x=x+T，验证f(x+T)=f(x)；④ 求解析式：将所求区间的自变量通过奇偶性、周期性转化到已知解析式的区间，代入后还原。关键是根据目标式的结构，选择恰当的赋值使未知量消去。 【典例01】（2026·上海徐汇模拟）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 【典例02】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 技法点拨02 值域最值求法 【方法技巧】求函数值域与最值的常用方法：① 单调性法：先判断函数在区间上的单调性，端点处取最值；② 换元法：将复杂表达式换元为初等函数，注意新元取值范围；③ 分离常数法：将分式拆分为常数+真分式，由真分式范围推值域；④ 基本不等式法：适用于和定积最大、积定和最小的形式；⑤ 导数法：求导找极值点，结合端点比较得最值。 【典例01】函数的值域为___________. 【答案】 【分析】化简得，即得解. 【详解】由题得， 所以当时，； 当时，. 所以函数的值域为. 故答案为： 【典例02】(2026·上海长宁二模) 函数，的值域为________. 【答案】 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域. 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 技法点拨03 函数求参问题 【方法技巧】函数求参的核心是性质与条件的转化：① 已知单调区间求参数：由f'(x)≥0（或≤0）在区间上恒成立，分离参数求最值；② 已知最值求参数：分类讨论极值点是否在区间内，比较端点与极值；③ 已知零点个数求参数：分离参数后转化为图像交点数，找临界位置；④ 已知奇偶性求参数：利用f(-x)=±f(x)对比系数，或用特殊值f(0)=0（奇函数）。 【典例01】（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（     ） A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误 【答案】B 【分析】①求导，分和讨论函数单调性，再结合零点问题确定参数范围即可；②令，求导，根据单调性即可判断． 【详解】①， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以 ，结合 ，则的取值范围为 . 结论①正确 ②由题，，记上式为 ， 由，则 ， 所以函数 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误． 注意到待求方程 ，对中含的部分单独考察，即 ， 其中关于的多项式的解为 或（舍去）， 因此时可消去. 当 时，有，满足题意； 综上，原方程的解为． 故选：B． 【典例02】（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 易错点01 函数不等式恒成立问题 易混易错： ① 恒成立看最大，能成立看最小，方向别反。 ② ， 取等，端点别漏。 ③ 分离参数除负数变号，除含参式子讨论正负。 ④ 参数范围端点单独代回验证。 【典例01】（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、绝对值三角不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】求出集合，再利用交集的运算即可求出答案. 【详解】根据三角不等式，当且仅当时等号成立，所以，即， 解不等式得或，即， 所以. 【典例02】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用cosx（型）函数的对称性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 【典例03】（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【答案】(1) (2)   又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由偶函数的定义可求得，进而利用指数函数的单调性可求得； （2）由题意可得，由基本不等式可得，可证结论. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； （2）略 易错点02 函数新定义 易混易错： ① 新定义先翻译：把集合/文字定义转化为等式或不等式，明确"对任意"还是"存在"。 ② 全称命题找反例：一个反例即可否定；证明正确须对所有情况成立。 ③ 分清函数对象： 与 是不同函数，奇偶性判断勿混淆。 ④ 定义域值域不可忽略：题目给出的定义域、值域约束是推理前提。 【典例01】（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 【典例02】（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； (2)； (3) 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）略 （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）略 【典例03】（2026·上海闵行·二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. (1)判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； (2)是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； (3)设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【答案】(1)不是“ 型函数”，是“ 型函数” (2)， (3)由点是的“ 点”可知恒成立，取得，同理可得， 因为 ，所以，所以有，，已知，所以即， 必要性，若函数在上为严格减函数，当时，有， 所以，，，所以， 充分性，对任意，时，均有， 可知在上，所以在上严格单调，又因为，所以在上严格递减， 设，则有即 关于中心对称， 同理有即 关于中心对称，因为严格递增， 所以根据复合函数单调性可知 在上严格递减，同时因为连续且 ，所以 也连续， 于是可以通过中心对称得到 在和上严格递减，不断往两边扩展， 即可得到 在上严格递减，所以在上严格递减， 所以“对任意，当时，均有” 是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、函数新定义 【分析】（1）根据“ 型函数”定义直接验证等式能否恒成立即可； （2）通过条件隐含的恒等式，得到只有两种取值，然后分情况讨论即可； （3）必要性的证明只需要利用单调性证明不等式成立即可，充分性的证明则需要先证明在上的单调性，再通过对数变换转化为中心对称函数，进而利用连续性不断扩展得到整个实数集上的单调性. 【详解】（1）对于，考查，为随变化的变量， 不可能恒等于某个常数，所以不是“ 型函数”； 对于，考查，取 即可满足恒成立，所以是“ 型函数” （2）依题意这样的函数意味着对于任意实数和，都有， 令，可得，所以对任意实数，只能取或， 若存在使得，由是“ 点”可知对任意实数成立， 又因为只能取或，所以且对任意实数成立， 也即对任意实数成立，反过来函数确实满足恒成立； 若对任意实数都有，此时函数也满足恒成立， 综上所述，满足题意的有和. （3）略 【点睛】中心对称可以保持函数的单调性，若函数存在两个对称中心，则对称中心之间的单调性可以通过不断对称扩展到整个定义域上. 优题精练·专题实战通关 （上海市静安区2025-2026学年度高三第二学期教学质量调研）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． （上海市奉贤区2026届高三上学期数学一模）若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： （上海市静安区2025-2026学年高三一模）已知函数，则___________． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. （上海市虹口区2025-2026学年高三一模）函数的定义域为___________ 【答案】 【分析】根据偶数根式被开方数非负，结合分式不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以定义域为. 故答案为： （上海市杨浦区2026届高三一模）已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 【答案】 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为：. （上海市嘉定区2025-2026学年高三上学期一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. （上海市普陀区2025-2026学年高三模拟）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. （上海市嘉定区2025-2026学年高三下学期质量调研）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. （上海市崇明区2026届高三下学期二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. （上海市金山区2025-2026学年模拟）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. （上海市闵行区2025-2026学年二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 （山西应县第一中学校2026届高三下学期一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C 【分析】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； （上海市徐汇区2025-2026学年模拟）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. （2025届上海浦东新区二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . $