13.2.2三角形的中线、角平分线、高（分层作业，6大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕“三角形的中线、角平分线、高”，通过A（理解）、B（掌握）、C（运用）三级分层设计，构建从单一概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课基础夯实与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|中线求线段长度、角平分线定义、画高|以选择、填空为主，直接应用概念，强化几何直观与空间观念| |B组|中线与面积、等面积求边或高|结合面积计算，渗透推理能力，体现运算与几何结合| |C组|三线综合|通过探究性问题，培养模型意识与创新意识，综合运用三线性质|

分层作业 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用中线求线段长度 题型02 三角形角平分线的定义 题型03 画三角形的高 B组 能力进阶 题型01 三角形的中线与面积 题型02 等面积求三角形的边或高 C组 思维拔高 题型 三角形三线综合 利用中线求线段长度题型01 1．（25-26八年级上·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．（24-25八年级上·云南昭通·月考）如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 4．（25-26八年级上·广东珠海·月考）如图，是的中线，若，则的长为_______． 5．（25-26八年级上·云南·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 6．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，和的长分别为____________． 7．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 8．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 三角形角平分线的定义题型02 1．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．三角形的角平分线是__________．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 5．如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 6．如图，在中，是的角平分线，，则__________，__________，__________．    7．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 8．如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 画三角形的高题型03 1．（24-25上·北京·期中）在中作边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一个三角形的高（    ） A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．有3条或1条 3．如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中正确的有（    ） ①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 6．作三角形中边上的高． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 三角形的中线与面积题型01 1．有一块三角形土地．现在要在这块地上一半种粮食，一半种蔬菜，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（   ） A．一边上的中线 B．一边上的高 C．一条角平分线 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________． 6．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 _____． 7．如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 8．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 等面积求三角形的边或高题型02 1．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比为(   ) A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 3．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为________． 5．如图，中，，点D在上，于E、于F，若，面积为，则的长为_______． 6．如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D．若，，，则_________． 7．如图，已知是的边上的中线．若的面积为，且边上的高为，求的长． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 三角形三线综合题型 1．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级·质检）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 3．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 6．在学习完三角形的高后，王老师对教材习题进行了改编，让学生探究高之间的数量关系． 如图，在等腰三角形中，，D为边上任意一点，连接．已知，分别是，的高． (1)【作图】请在图上直接作出中边上的高． (2)【探究】通过观察、测量，你发现，，之间的数量关系为____________________． (3)【验证】请验证你的结论． 7．（25-26八年级上·河南长葛·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 8．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用中线求线段长度 题型02 三角形角平分线的定义 题型03 画三角形的高 B组 能力进阶 题型01 三角形的中线与面积 题型02 等面积求三角形的边或高 C组 思维拔高 题型 三角形三线综合 利用中线求线段长度题型01 1．（25-26八年级上·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·云南昭通·月考）如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据三角形中线的定义可得，由的周长为35，，，求出，进而得出的周长． 本题考查的是三角形的中线的含义，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为15，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：C． 3．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 4．（25-26八年级上·广东珠海·月考）如图，是的中线，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，正确掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·云南·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 6．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，和的长分别为____________． 【答案】和 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由题意可得，则，进而根据三角形中线的性质，得出，即可求解． 【详解】解：因为是中边上的中线，所以． 因为，所以． 因为边上的中线把的周长分成60和40两部分，， 所以，即， 解得，则． 故答案为：和． 7．如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 8．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 三角形角平分线的定义题型02 1．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 2．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解 【详解】解：分别是的高，角平分线，中线， ，， 则①②④正确， 故选：C． 4．三角形的角平分线是__________．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故答案为：线段． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 5．如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 6．如图，在中，是的角平分线，，则__________，__________，__________．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，，， 故答案为：，， 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 7．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴平分． 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及判定，平行线的性质，由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，，进而可得出， 即可得出平分． 【详解】略． 8．如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【答案】(1)，理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到的， ． ． 平分， ． ． (2) 证明：∵三角形是由三角形平移得到的， ． 平分， ． ． 平分． 【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等． （1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶ （2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 画三角形的高题型03 1．（24-25上·北京·期中）在中作边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高；作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：过点作边的垂线段，即画边上的高， 所以画法正确的是C选项； 故选：C． 2．一个三角形的高（    ） A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．有3条或1条 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线．根据一个三角形有3个顶点，3条边，得到三角形有3条高线，即可． 【详解】解：一个三角形的高有3条； 故选A． 3．如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形高的定义，根据图形可得，以为高的三角形有共6个三角形，熟记三角形高的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，以为高的三角形有共6个三角形， 故选：A． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中正确的有（    ） ①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线，三角形的高，解题的关键是掌握相应的概念进行判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故错误； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故错误； ③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，线段不一定平行，故错误； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确； ⑥三角形的三条高所在的直线交于一点，故正确； 故有2个正确， 故选：A． 5．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 【答案】 三角形的高 AD 【解析】略 6．作三角形中边上的高． 【答案】如图，线段就是中边上的高： 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； 7．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3)6 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、三角形的中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 过点B作的平行线，如图所示： (4) 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 三角形的中线与面积题型01 1．有一块三角形土地．现在要在这块地上一半种粮食，一半种蔬菜，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（   ） A．一边上的中线 B．一边上的高 C．一条角平分线 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据三角形中线的性质即可选择． 【详解】根据题意可知，一边上的中线将这个边分成相等的两段，然后根据等底同高可知两三角形的面积相等． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中线的性质．掌握三角形一边上的中线将这个边分成相等的两段是解题关键． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 【详解】解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【详解】解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴的面积． 故答案为：6． 6．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 _____． 【答案】8 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积问题，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次推导，即可解题． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， ， 故答案为：8． 7．如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质． 先根据三角形中线的性质可得，进而得，同理可得，接下来说明，最后根据得出答案． 【详解】解：是的中点， . 又是的中点， 同理：． ∴ ， . ∵F是的中点， ． 8．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) (3)75 【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型． （1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，； （2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理； （3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的三等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ∴ ． （2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ， 即． 故答案为：． （3）解：如图，连接、、， 由（2）得：， 同理，，，， ， ， 故答案为：75． 等面积求三角形的边或高题型02 1．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比为(   ) A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【答案】A 【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可． 【详解】S△ABC＝AB•CE＝BC•AD， ∵AB＝2，BC＝4， ∴×2•CE＝×4•AD， ∴. 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的高，利用同一个三角形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积计算，根据题意可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵，把菜地分为面积比的两部分，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 4．若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为________． 【答案】ah 【分析】根据三角形的面积公式，即可求得． 【详解】解：∵S△=×底×高， ∴此三角形面积应为ah， 故答案为：ah． 【点睛】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高． 5．如图，中，，点D在上，于E、于F，若，面积为，则的长为_______． 【答案】4 【分析】连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ，，，的面积为， ， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，作辅助线把分成两个三角形列出方程是解题的关键． 6．如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D．若，，，则_________． 【答案】32 【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知是的边上的中线．若的面积为，且边上的高为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形中线和高，三角形的面积，根据三角形中线的性质求得的面积，再根据三角形的面积公式即可得解．解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵边上的高为， ∴， ∵的面积为，是的边上的中线， ∴， ∴，即， ∴， ∴的长为． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【答案】(1)30º；60º (2) 相等．　理由如下： ∵EF⊥AD， ∴S△ADE=，S梯形EFDG= ∵S△ADE= S梯形EFDG ∴= ∴AD=DF+EG， ∵AD=AF+DF， ∴DF+EG =AF+DF， 即AF=EG． 【分析】(1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数． (2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC， ∴， 又∵EF⊥AD， ∴， ∵EG∥AD， ∴． （2）略 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 三角形三线综合题型 1．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 2．（25-26八年级·质检）如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 3．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可. 【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意. 选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意. 选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意. 选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意. 故答案为：C ． 4．我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）略 （2）略 6．在学习完三角形的高后，王老师对教材习题进行了改编，让学生探究高之间的数量关系． 如图，在等腰三角形中，，D为边上任意一点，连接．已知，分别是，的高． (1)【作图】请在图上直接作出中边上的高． (2)【探究】通过观察、测量，你发现，，之间的数量关系为____________________． (3)【验证】请验证你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 见解析 【分析】（1）过点作的垂线可得到高； （2）通过观察、测量即可发现，，之间的数量关系； （3）运用两种方法表示同一个三角形的面积，得出等量关系即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解： （3）证明：，即， ， ， ． 7．（25-26八年级上·河南长葛·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 8．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $