25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式导入，以“两根与系数还有其他关系吗”的问题连接旧知，搭建从求根公式推导到韦达定理的学习支架。 其亮点在于采用求根公式和因式分解两种推导方法培养推理能力，结合例题、中考题及代数式变形练习发展应用意识，课堂小结结构化呈现关系及应用。学生能提升数学思维，教师可高效开展教学。

人教版 九年级数学上 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 25.2 降次——解一元二次方程 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题． 复习回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 探索新知 m+n m–n 发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号. 探索新知 你还有其他方法得出上述关系吗？ 探索新知 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 知识总结 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 探索新知 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. 探索新知 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6 3x2+2=1–5x 3 5 1 – x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 – 探索新知 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： = (x1+x2)2 – 2x1x2 x12 + x22 = (x1+x2)2 – 4x1x2 (x1 – x2)2 ｜x1–x2｜ = x1x2(x1+x2) x1x22 + x12x2 视频学习 随堂练习 A. －25 B. －20 C. 20 D. 25 1. (1)(2025·广西中考)已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　C　) C (2)(2025·湖北中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　D　) A. x1＋x2＝－4 B. x1＋x2＝3 C. x1x2＝4 D. x1x2＝3 D 随堂练习 2. 关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，则b，c的值分别为(　B　) A. b＝1，c＝－6 B. b＝－1，c＝－6 C. b＝5，c＝－6 D. b＝－1，c＝6 B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 新视角 模块综合 (2025·河北中考)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　C　) C 随堂练习 4. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　B　) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－6 D. 两根之和为1 5.已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0，k＜0，则该方程的根的情况是(　C　) C 随堂练习 6.设 x1，x2 是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则： （1）x1x22 + x12x2 =_______； （2）(x1 – x2)2 =_______. 10 3 随堂练习 7.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____. – 7 随堂练习 8. 已知一元二次方程x2－mx＋4＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝ ⁠. 4　 　条件变式·已知两根积→已知两根和 (2025·苏州中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2 ＝ ⁠. －3　 随堂练习 9.若关于x的方程x2＋(m2－4)x＝0的两根互为相反数，则m的值为 ⁠. ±2　 易错变式 (1)若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为倒 数，则k的值为 ⁠. (2)新考向 开放设问 写一个关于x的一元二次方程， 使其两根互为倒数： ⁠. －1　 3x2－10x＋3＝0 随堂练习 10. (2025·广安中考)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为 ⁠. 29　 随堂练习 12.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15. 随堂练习 （4）2x2–x+2=3x+1. （3）5x2–1=4x2–x； 解：（3）方程化为 x2+x–1=0，所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1. 随堂练习 13.已知关于 x 的方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根之和等 于两根之积，求 m 的值. 解：设方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2 . 所以 x1+x2=2m+3，x1x2=m2. 根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3，m2= – 1. 当 m=3 时，原方程为 x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当 m= – 1时，原方程为 x2–x+1=0，b2–4ac= – 3<0. 方程无实数根，此 m 值舍去. 所以 m 的值为3. 随堂练习 14. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. (1)当x1＝－1时，求x2及m的值； (1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2， 得m2＝6. ∴(x－4)(x＋1)＝0.∴x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4， 随堂练习 14. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是程(x－1)(x－2)＝m2的两根. (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. (2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2 －m2＝0. ∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2， ∵方程(x－1)(x－2)＝m2， ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2. 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理）  内容   如果一元二次方程   ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两个根分别是 ，，那么   += -  =  应用   ²+² = (+)²−2   (−)² = (+)²−4   + = 感谢观看 Lavf61.7.100 vid:v0300fg10000d73oa17og65vaiitv0m0 $这个视频我要给你讲讲根与系数关系的应用。前面的视频我讲过，对于方程AX方加BX加C等于零而言，两根之和就等于负A分之B两根之积就等于A分之C比如这个方程X方加2KX加K方减2，K加一等于0，它的A11B12KC是K方减2，K加1，那它的两根之和就是-1分之2K即-2K它的两根之积就是一分之K方减2K加1，即K方减2K加1。如果我再告诉你X1减1乘X2减1等于6，你能求出K是多少吗？你肯定想要是能把它变成两根之和与两根之积的形式就好了。那咱一起试一试，先用分配律把括号拆了，这俩相乘是S1S2，这俩相乘是负S1，这俩相乘是负S2，这俩相乘是一括号。拆完了，如果我在这儿再加个括号，这不就出现两根之和与两根之积了吗？那你就可以把他俩带进去了。结果就是K方减2K加一减-2K加一等于6。把-2K消掉，两一合在一起再扔到右边就得到K方等于4，K就等于正-2。但这俩答案都是正确的吗？那可不一定，因为你还没检验data，有两根那德耳塔就得大于等于0，如果小于零可就完蛋了。德尔塔等于B方减4AC即2K的平方减四倍的一乘K方减2K加1，化简一下就是8K减4要它大于等于0，那K就得大于等于2分之1。刚才算出来K是二或-2，显然二是大于等于2分之1的没问题，而-2小于2分之1的，所以不行。到此为止，题目算是完全搞定，以后遇到这种带括号的情况，你只要先把括号拆了，再变成两根之和，两根之积就行，当然解完之后还得去验证一下德尔塔是否大于等于0，有括号的你已经会了，可如果给出的条件不是带括号，你又该咋办呢？还是这个方程，但这次告诉你的是两根平方和等于4，你能求出K吗？跟刚才一样，你还是把它变成两根之和与两根之积的形式，稍加观察不难发现，它不就是X1加X2的平方再减二倍的X1乘S2吗？那剩下的就比较简单了，把他俩带进去，就是-2K的平方减二倍的K方减2K再加一等于4，接着你解这个方程就能求出K来了，稍加计算就可得K等于一或-3。接着老规矩还是得验证下delta，刚才已经算过，如果delta大于等于0，K就得大于等于2分之1，而一和-3两个答案只有一是满足要求的，负三不行，所以答案只有一个，就是K等于一，以上就是根与系数关系应用的主要内容，总的来说就两点，首先，不管是这种带括号的形式还是平方和的形式，你都得先把它变成两根之和与两根之积的形式进行求解。其次，解除参数之后，一定要记得验证德尔塔。好了，速速刷题去吧。