云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第一次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 参考答案 1.C2.D3.B4.B5.D6.C7.C8.B 9.BC 10.ACD 11.BCD 12.3 13.99 14.8π 15.【小问1详解】在△ABC中，c=2b,A=120°」 a2=b2+c2-2 bccosA=b2+4b2-2b×2b× 由余弦定理得 cosB=a+e-b762+462-b2 57 得到a=V7b,故 2ac 2√7b×2b14 …6分 【小问2详解】由4)可知a=V7b,因为a=4V7,所以b=4,c=8, 1 设BC边上的高为h,则2 =Ibcsin ah h=16542 ,可 447 7 4V21 故BC边上的高为7 …3分 16.【详解】(1)由表知：a=45-10=35,d=55-15=40 m=100-50=50 。。。。。。。。。。。。。 …3分 零假设H0为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关。… …4分 n(ad-bc)2 X2= 100×(35×40-15×10≈25.253>6.635 则 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)50×50×45×55 …6分 ·依据小概率值=0.01的独立性检验，有充分证据推断H不成立， 因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关；…7分 20 2=40 =1500元=1x (2)因 i=1 ,则20 =2=1 20名75 9分 -20 6= 310-20×2×75_100=5 xy=3100 =10 20 -20x2 100-20×22 20 又间 则 i=1 …11分 则a=)-b-75-5×2=65 …12分 于是'关于x的一元线性回归方程为户=5x+65 …13分 当x=2.5时，=5×2.5+65=77.5 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 …14分 所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分.…15分 17.【答案】(1)因为AD∥BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD, 在Rt△ABD中，AB=V5,AD=1,所以BD=2, ∠BDA= 3 因为AD/BC,所 ∠CBD=∠BDA=T 3，因为BC=BD=2,所以△BCD是等边三角形， 因为点O为BD的中点，所以CO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,COC平面ABCD,所以CO⊥平面 PBD,因为PBc平面PBD,所以CO⊥PB. …7分 【小问2详解】连接PO,因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD 因为平面PBDL平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD,所以PO⊥平面 ABCD,因为 n0-×2503 32 2,所以P0=3 如图，以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 在等边△BCD中，0C=5,OB=0D=1,则B(1,0,0),C0,V5,0.D(-1,00),P(0,03) 可得PD=(-L0-3),P元-(0,5，-3)】 nPD=-x-3z=0, 设平面PCD的法向量为%=(x,2),则·PC=V5y-3z=0, 令2=1，解得x=-3,=5,枚法向量=(35，】 易知乃=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，又点0在半平面CDA内，故二面角P-CD-A是锐二面 n1·n2 13 角.所以二面角P-CD-A的余弦值为m V13x113 …15分 18.【小向1详解】因为函数f()=(-)e,所以f'(x)=e+(x-1)e=e 当x<0时f(x)<0,f(x)单调递减：当x>0时f'()>0,(x)单调递增。 故(x)的单调递减区间为0,0)，单调递增区间为(0，+0）， …4分 【小问2详解】O因为8(0)=f()”,所以8(x)和f(x)的单调性一致，所以8(x)在(0，+0)上单调 递增，构造函数hm=(a-e'-n,则h()）=ne-1 当m≥2时，y=me,因为少=(n+l)e°>0，所以y=ne单调递增， 所以e"≥2e2>1,故h(m)>0,则h(四在[2，+切)上单调递增， 故(m)≥h(2)=e2-2>0,即8()=(u-le-n>0 g(a,)=f(a)-n=0.则8(n)>8(a.）, 又因8（在(0，+切）上单调递增，故得4.<(n≥2），即，<n(n之2）得证；…10分 11 21> ②由①知，对k≥2，a<k,故4：k,因此台a4台k 先证明不等式t>血(1+x)(x>0) a=-h0)则p 当>0时， ()-平>0，p四在0+回)单调道流 即当x>0时，p()>p(O)=0,即x-l血(1+)>0，即x>血(1+x), 。3 n+1 而台k23 n =In3-In2+In4-In3+..+In(n+1)-Inn=In(n+1)-In2=In+ 2 51> n+1 L>是>nn+1L>n"+1 所以台k2,所以台0台k2,故台a2得证.…17分 19.【小问1详解】 c v13 e=- 由题意，得a2,且2a=4,则a=2,c=V13,即b2=c2-a2=9, x2 y2 =1 则双曲线C的标准方程为49 …3分 3 3 h:y= 【小问2详解】渐近线为 ,4y=2 、2 2 显然直线的斜率不为0，设直线1的方程为-3=m(-3),5m<5,M(,y),N(3,). x-3=m(y-3) 联立(49 ,得9m2-4y-54m(m-0y+81m-l-36=0,则9m2-4≠0. 54m(m-1) y+y2= -810,36 +2=27m(m-1) 且 9m2-4, 9m2-4,则29m2-4, 梦岁- x-3=m(y-3) 3 y= _9(m-1) 一X 联立( 2 得=3m-2,设直线l与交于点H, ,解得 x-3=m(y-3) 3 y=--x 9(m-1) 联立( 2 yH- ，解得 3m+2, 9(m-1),9(m-1)54m(m-1) p+yH= Yp+yn_27m(m-1) 则 3m-23m+2 9m2-4,即29m2-4, 22 +=3-319(m-)9m-）) 12(m-1) 而2 2 33m-23m+2 9m2-4 xp+xn+x2 yp+yny+y2 因此2 2,2 2，,则PH的中点即为MN的中点， 所以PM=HN,则S△opN+SAOPN=SAOPM, PH=+myr-yul=1+m2 9(m-_9m--+m.36m- 公 3m-2 3m+2 9m2-4 d=-3m-3-3-3m 点0到直线l的距离为V1+m2V1+m2, S.o+oromd6(-1)3-m54-m) 则 9m2-4V1+m2 4-9m2 541-m)2 54 54 -91-m)2+181-m)-5518 +9 9)236 1-m)21-m 5 1-m55 19 4 15 1m= 则1-m5,即9时，△OPM与△OPN面积之和取得最小值2， 915 此时直线的方程为 …9分 9 9 【小间3详解】设斜率为4，与双曲线右支相交于M:,N:两点的直线方程为'4+m, y= ，其中 l≤k≤n,k∈N, x2 y =1 49 9 y= x+m 联立方程4 ,消去y可得45x2+72m,x+16m2+144=0 △=722m2-180(16m2+144)>0 XM +xN = 72mk>0 45 16m+144 >0 m<- 3v5 XMAXN= 该方程有两个正根，则 45 ,解得 2 9 直线M,Q1的方程为 ）=4w+m:即y= 3,15 ,即24 XMg+me ,而 9 v+my= 33 直线VQ.1的方程为 YN= ，即2 x+xv+mk ,而 4 3.15 51 y=- 4xy,+m x+ X= 2 4M,-4w 33 153 y= x+ y= 联立方程( 2 4w+m: ,解得少=8w,+8+m 5 1 153 即24w4w,=8+g%+ 又2w+%-72m “, 45, 3 15 3 3 @3+52+m 845 2w-2m 9 95 所以a=,设2(，），则直线4N方程为'=4x-)+4x- y=- m=5 ,即 25x2+144 5 1 则Mu+xxw=2 Vr XMa XN= .=4m4 45 而100，P=+号=2x. 00f=0小c-6-2任“ -广-8w*广-]-2✉-42551-2- 45 所uo0-ee°=2 ,为定值。… …17分 云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 4．某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．当时，函数的零点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．记为数列的前项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：）的折线图，则（ ） A．这组数据的众数是56 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的60%分位数是55 D．去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10．已知函数，则（ ） A． B．有4个极值点 C．在上有零点 D．在上单调递增 11．已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上任意不同的三点，则下列结论正确的有（ ） A．焦点为，且到准线的距离为 B．点到直线距离的最小值为 C．不存在点，使得为等边三角形（为坐标原点） D．若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正方形的边长是2，是的中点，则________． 13．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则________． 14．已知菱形，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16．某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高三年级100名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于1小时”“少于1小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于1小时”“少于1小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： （1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中． （ii）在线性回归方程中，，； 17．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，平面平面，点为的中点． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积是，求二面角的余弦值． 18．已知函数． （1）求的单调区间； （2）设，设对于每个正整数，方程的正数根为． ①证明：； ②证明：． 19．已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为，，，渐近线为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（点在点上方），直线与交于点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线的方程； （3）在（2）的条件下，过点，分别作渐近线，的平行线，两平行线交于点，过点作直线的平行线与双曲线交于点，（点在点上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一列点，，…，，求证：为定值，，． 学科网（北京）股份有限公司 $