云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三高考适应性月考卷（一）数学数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1.已知A=(-0,3],B=,+, 则A∩B= A.(0.) D.(3,+0） 2.已知{an}是等比数列，若ag=6,则a6aga1o= A.6 B.18 C.216 D.无法计算 3已知随机变量X~B6,》, 则E(2X-5)= A.10 B.3 C.-2 D.-5 4.已知名1=m+2i,z2=m2-4m+2-mi,m∈R,若z,+z2是纯虚数，则m的值为 A.1 B.0或1 C.1或2 D.2 的展开式中的常数项为24，则n= A.2 B.4 C.8 D.12 6.已知椭圆C: +31(>3),点F,P,分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C上 x2 3y2 存在一点P,使得∠R,PF,=号，则a的值不可能是 A.√5 11 B.22 C.3 D. 3 数学·第1页（共4页） 7.某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位)，需要给8位 同学a1,a2,…,ag安排到该组中，若同学a1,a2、同学a,a4确定做同桌，则该 教师共有()种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A.72 B.108 C.156 D.196 61 8.已知a=2,6=l血5，c=石则 A.c>b>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f代x)=x3- )2-2x+3,则下列选项正确的有 A八x)的极大值点是- 3 B.f(x)在(2，+∞)上单调递增 C.当x≥1时，f(x)≥-3 1, D. 是f(x)的一个对称中心 10.在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现过如图1所 示的形状，后人将其称为三角垛.若三角垛的最上层（第一层)有1 个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…， 设各层球数构成一个数列{an}，则下列结论正确的有 图1 A.a5=15 B.an-an-1=n-1(n≥2) C. 是等差数列 D.1<2 n 气a: 11.已知正方体的棱长是4，点O1是上底面的中心，如图2所示，圆O,是正方形 AB,CD1的内切圆，切点分别为M,N,P,Q.点E是圆O1上的动点（异于M, Q),点F是底面正方形ABCD及其内部的动点，且满足FA-FB=2,则下列命题正确 的是 A.MQ⊥CO B.点C到平面AB,D1的距离是23 B 113m C.三棱锥F-EMQ外接球的表面积的最小值是 4 D.三棱锥F-EMQ外接球的表面积的最大值是4 135m 图2 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=2在点(1,2)处的切线斜率为 13.已知G,6是平面a的基底，a内的两个向量分别为a=k+2t6,石=36-2水6，若a/, 则实数k的值为 14.已知圆0：x2+y2=1,直线1：3x+4y-15=0,圆A与圆0外切，且圆A与直线1相 切，记圆心A的轨迹为T,若直线MN经过点O,且与曲线T交于MN两点，则 |MN|的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,6,c已知函数f(x)=sin2x-石 且对于Hx∈R都有f(x)≤fA). (1)求角A的大小； (2)若a=2,b=√3，求边c的大小 16.（本小题满分15分) 皂知双曲线C:)2行 -亡=1，斜率为2的动直线与双曲线C交于A,B两点，点M是 A,B的中点 (1)证明：点M在直线y=2x上： (2)若点M(2,1),O为坐标原点，试求此时三角形OAB的面积. 17.（本小题满分15分) 某校为了解初一学生的体能素质，随机抽取了 ↑频率 组距 100名学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整 a 0.0125 理后，绘制成如图3所示的频率分布直方图 0.01 0.0075 (1)①求a的值； 0.005 ②估算这100名学生跳绳次数的中位数（精确到 80100120140160180次数 0.1); 图3 数学·第3页（共4页） 圆■口■■口■■口■口 (2)规定跳绳次数不低于140次为“优秀”.现从样本中利用分层抽样的方法抽取5 人进行复测、已知优秀组的复测通过率为；，非优秀组的复测通过率为)若有1个 人通过复测，试求这个人来自优秀组的概率.（每个学生参与复测的成绩互不影响） 18.（本小题满分17分)》 1 已知函数f代x)=l血(x+1)-ax+2(x≥0)，a∈R (1)若a=2,求f(x)的极值点； (2)若Hx∈[0，+∞)，都有f(x)≥0，求a的取值范围； ③)证明：VneN,有n(n+I24+。++”二 19.（本小题满分17分) 如图4，圆心在坐标原点0的圆0经过点（√3,1）.记圆0与y轴正半轴的交点为 B,圆O与x轴的交点从左往右分别是C,A. (1)求圆0的方程； (2)点P是圆O上在第二象限的动点，点P,是点P关于y轴的对称点（在平面xOy 上).现将圆O的左半部分(x≤0)沿着y轴翻折，使点P,C达到点P',C的位置， 记二面角A-OB-C'的大小为(0<0<π).以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点 0与平面AOB垂直的直线为z轴，建立如图示空间直角坐标系O-xyz. ①若翻折前∠A0P=平，9=，求锐=面角A-0P-B的余弦值： ②记，点P,和点P'的中点在平面yOz的正投影为点M. ()证明：当0为定值时，点M的轨迹为椭圆的一部分； (i)若0[？引，求(i)中韩圆的离心率e的取值范围 B B 图4 数学·第4页（共4页） ■■口■■■口■■■口■口 云南师大附中2027届高考适应性月考卷（一) 数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的. 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B C C A B A 0 【解析】 1.4n8=3, 故选B 2.因为{a}是等比数列，根据等比中项的性质知a6·a。=a2，所以aaa。=a,=216,故选 C. 3.因为随机变量X-86引，则0)=，所以2X-)=3-5=-2,放选C。 4.3+5=m-3m+2+2-m,因为3+马是纯虚数，故m-3加+2=0，解得m=1,故 `2-m≠0 选A. s任*八-2C(图-宫c2故n=,所以c时2=2，解得=2. 故n=4,故选B. 6.由题知，∠FPF,的最大值要大于等于”，记椭圆的上顶点为B,易知∠RPF≤∠RBR, 则∠RB那≥登又因为∠RB明=2∠08R,则∠0R≥没，cas∠0BR=名≤ ,所以 a≥6，故a的值不可能是√5，故选A. 7.同学a,a,已是同桌，a,a己是同桌，故只需为剩下4位同学安排同桌，从4个人中选2 个人做同桌，剩下2个人也做同桌，然后安排组当中的前后顺序，故排座位的方法数共有： CixCxA=72种，故选A 数学参考答案·第1页（共7页） ■■口■■■▣■■■口■口 8.易知a=2,2=1,且6=n(}c=名1，放a最大，对于ac,设函数 网=nx+1,了)-上故函数四在，+0)上单调递增，所以 - f得)>0=0，则ng+名-1hg名0所以b>6,散选D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 ABC ACD AC 【解析】 9.广=3x-5-2=6x+x-2),易知f在(0，司》上单调递增，在（分2上单 调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以选项A,B正确：f(2)=-3是，+∞)上的最小值， 故选项C正确：易知)的对称中心的横坐标是，故D选项错误，故选ABC. 10.由三角垛的构成知an-a-1=n(n≥2)，所以a-a,=5,可得a,=a4+5=15,故选项A 正确，选项B错误：通过累加法，可以得到a,=+DmeN,所以仁是以1为首 2 n 项号为公差的等差数列，故选项C正确：因为 分-名0到什)--}2，做选项D正确，散选A0心 11.由题知，点M,N,P2分别是4B,BC,CD,D,4的中点，对选项A, BD⊥AC,BD⊥CC→B,D⊥平面4CC.又COc平面ACC，则BD⊥CO,,又 B,D∥MQ,所以MQ⊥CO,故选项A正确：对选项B,因为CA⊥平面ABD,设交点 为，则有CT-号C4-子45-85，放选项B错误：对进项CD,三角形BQ的 3 3 外心是点O,设下底面ABCD的中心为O2,又O,O,⊥平面EMg,则三棱锥的外接球球 心O在直线O,O,上，设球的半径是R，在直角三角形OOM中， 10MR1OM=2,100卡VR2-4,则|0O,上4-√R2-4.在平面ABCD上，以直线 数学参考答案·第2页（共7页） ■回口■■■口■■口■口 AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，点F满足 FA-FB=2,则动点F的轨迹是双曲线兰上=1的一部分，即双曲线右支且在正方形 13 内部及其周边的部分.设点F(x,),y∈[0,3])，记1O,F=d,则在直角三角形OO,F中， 100+10,FP=R2,即16-8NR2-4+R2-4+d2=R2,化简 得到：d2=8√R2-4-12 另 水 d产=+0-2-护-4y+50≤≤，所以的取值范国 是[2,5]，解得R2e 113545 所以外接球表面积的取值范 16’ 64 围是 [113π545π 41 16 故选项C正确，D错误，故选AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2ln2 - e 【解析】 12.因为'(x)=n2·2,所以∫'0①)=2ln2,故答案为2ln2. 13.a6“中3=3r(-2刘，解得=号 14.设点A(x。,y)到直线1的距离为d,设，：3x+4y-20=0,点A到直线1，的距离为d, 据题意知104-1=d.又因为4，=B%+4%-20_Bx,+4%-15-=d+1(点A在直 5 5 线1下方，故3x。+4y。-15<0,所以13x。+4%-15-5日3x。+4。-151+5),所以 1OA=d,+1=d,根据抛物线的定义知，点A的轨迹是抛物线，记该抛物线为厂，其中 点O为厂的焦点，直线l,为厂的准线，易得抛物线厂的焦准距p= -20L=4.1MN1 V32+4 的最小值是通经2p=8,故答案为8. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)已知f(x)=sin 数学参考答案·第3页（共7页） ■■口■■■口■■■口■口 因为对xeR,都有f(x)≤f() 所以m(24-君)-1→24-君登+2he刀. 因为角A是三角形的内角，故Ae(0,π)， 则A5 …(7分) (注：不对角A的范围进行限制，直接得到角A的值，扣2分.) (2)由余弦定理知：b2+c2-a2=2 bccosA, 化简得：3+c2-4=V5c=c2-√5c-1=0, 解得：c=5+迈或c=5-五，舍去负根，故e=5+ 2 2 2 (13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：设A(,片)B(3,y2)M(xoy),因为点4，B在双曲线C上， x_=1 则27→名-x+)_4-0+2=0, 左=1 2 22 即：1-%-+以=0→1=2x女心%= 1 (5-x2)x+x) 点M在直线yx上，得证。 …(7分) (2)解：直线AB的方程是：y=2x-3, [y=2x-3 与双曲线方程联立得： 父-￡-1→3x-12x+11=0, -=1 22 所以3+名=45= 31 4B=1+2%-x=5V3+x)2-4xx2 2v5 点O到直线AB的距离是d,则d= 3 1×325 所以sao吃*方×月 =√5，… …(15分) 数学参考答案·第4页（共7页） ■口■■口■■■口■口 17.(本小题满分15分) 解：(1)①根据题图中信息知：a= 20 -(0.005+0.0075+0.01+0.0125)=0.015. …(4分） ②从左往右，每个组的频率为0.1,0.2,0.3,0.25,0.15， 故中位数是120+02 20≈133.3.…(8分) 0.3 (2)由题图知，优秀率是0.4，则按分层抽样抽出的5个学生中，有2个优秀，3个人为 非优秀. 记事件M表示某一个人通过复测，事件A表示这个人是优秀组的，事件A表示这个人是 非优秀组的， 则M=MAUMA,故 P(M)=P(MA)+P(MA)=P(MIA)P(A)+P(MP( =4×2+上×3_31 552550 则P(AM)=PM) P(M-PM|A)·P(A)_16 P(M) 31 所以若有1个人通过复测，则这个人来自优秀组的概率是 31 …（15分) 18.(本小题满分17分) 0解当a=2时，=cx+-2x+分式20e)= -2+x, 令f'(x)=0, 则2+x-2x-2+1=0,x-x-1=0,5=1+5(舍负)， 2 f(x)在(0，x)上单调递减，在(：，+∞)上单调递增， 心倒有极小值点x=1+5 无极大值点。… …(6分) 2 2)解)中+41-a-山20，由基本不等式知 ，+x+1≥2， x+ 所以当a☒时，-a-1≥-2，∴.f'(x)≥0， 则∫(x)函数在[0，+o)上单调递增， 所以∫(x)≥∫(0)=0，符合题意：… …(10分) 数学参考答案·第5页（共7页） ■■口■■■口■■■口■口 当a>1时，∫0=1-a<0,=+d-or+0-@, x+1 记g()=x2+1-a)x+1-a,则g)是开口向上，对称轴为-1二口>0的二次函数. 又&0<0，在a2上g)单调递减，则(2g0<0. xe0)时，了e)<0单澜递诚，0=0， 不符合题意：综上a国.…(12分) 8)证明：由2)知+m式，令x女，于是（片京> 1,0 即1n0+>+++n二，证毕. (17分) 49 n2 19.(本小题满分17分) 解：(1)x2+y2=4.… …(2分) (2)由题知，OB⊥OC,OB⊥OA.翻折后仍有OB⊥OC,OB⊥OA,OC∩OA=O, ,OAC面AOB,OCc面COB,面AOB∩面COB=OB, ∴.∠AOC为二面角A-OB-C的平面角，∴.∠AOC=0. ④翻折前∠40P-3红，：翻折前O驴=5C+5O丽， 4 2 2 翻折后OP.巨0C+三丽，易知在空间直角坐标系0-2中， 2 0=(0,2,0,0C=(-1,0,5), op.oc+5o丽=-5,25 A(2,0,0). 2 2 -2 设面AOP的法向量为？，面BOP的法向量为，则 oP.元=0→元=05-2) OA.n=0 0p.m3=0 台n3=(W3,00, OB.n2=0 cosM-OP-B)= 2- …(8分) 数学参考答案·第6页（共7页） ■■口■■■口■■■口■口 ②(i)设翻折前∠BOP=a,则OP=sina.OC+cosa·OB, 翻折后，0C=(2cos8,0,2sin), OP=sinaOC'+cosaOB=(2sinacos0,2cosa,2sin@sina), R=(2sina,2cosa,0),设P与P的中点为M', 则M'=(sina cos日+sina,2cosa,sin0sina),M为M'在yOz的正投影， .M(0,2cosa,sin@sina),M(0,Y,Z(Y>0,Z>0). cosa= 则 2 4+si血日1Y>0,Z>0)M的轨迹是椭圆的一部分 Y2z2 ’ sina = sin ……(14分） (i)易知4>sin2a,sin0e e2=4-sin20 4 e …(（17分) 数学参考答案·第7页（共7页）