精品解析：黑龙江肇源县第四中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

2026—2027学年度上学期期初作业验收测试 初四数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相垂直 C. 每条对角线平分一组对角 D. 四边相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质进行综合比较分析即可得出答案． 【详解】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知， 它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，熟知平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 2. 下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程； 综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 3. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：， 则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象是中心对称图形 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误； B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误； C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确； D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 5. 某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（ ） A. 10支 B. 6支 C. 5支 D. 4支 【答案】C 【解析】 【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有场，再根据共有20场比赛来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加，依题意， ， 整理，得， ， 解得：，（舍去）； 即：共有5个足球队参加比赛． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 7. 元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及其性质的运用是关键，根据题意，四边形，四边形是矩形，证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意，， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 8. 某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x,那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平均变化率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：. 9. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合非负性确定，是比较大小关系的关键． 通过点的纵坐标，确定反比例函数常数，再根据反比例函数的性质计算并比较，，的大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴． 对于点：， 对于点：， 对于点：． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为A． 10. 如图1，在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线－运动，到点B停止．过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的函数图象，如图2所示．当点P运动5秒时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图2得到．根据勾股定理得，过点C作于点H，可证明．则，求得，得到点E的坐标是，点F的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】由图2知，点P在上的运动时间时间分别是3秒和4秒， ∵点P的运动速度是每秒 ， ∴． ∵在中，， ∴根据勾股定理得：． 如图，过点C作于点H， 则， ∵， ∴． ∴，即． ∴如图，点E的坐标是，点F的坐标是． 设直线的解析式为，则 ， 解得：． ∴直线的解析式为． ∴当时，． 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，即可求解． 【详解】解：由可得，则， 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 12. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，分别为，的中点，若，则的长为___________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据矩形的性质可求出，然后根据三角形的中位线定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴. 14. 如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为_____． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 15. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 16. 如图，在正方形的边的延长线上取一点，使，连接交于，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°,由求出 ，则由求解即可. 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACE=180°－∠ACB=135°， ， ∴∠CAE=∠E=（180°－135°）÷2=22.5°， ∴∠AFC=180°－∠CAE－∠ACD=112.5°， 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，属于简单题． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积． 18. 若点C是线段的黄金分割点，则等于__． 【答案】或 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，分情况进行解答即可． 【详解】解：设线段，C是线段的黄金分割点， 当， ∴， ∴； 当， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金比． 三、解答题 19. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先进行因式分解，再行求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得： 配方得： 即： 由平方根的意义得： 所以，，． 【小问2详解】 移项得： 因式分解得： 即： 所以，或 ， 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法与因式分解法：其中因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是个单位长度． （1）请画出关于轴对称的点的对应点分别为，，； （2）请以原点为位似中心，在第四象限内画一个，使它与的相似比为． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示， 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质即可求解； （2）根据位似的定义和性质即可求解． 【小问1详解】 ，图形关于轴对称的中，， ∴根据对称的性质可知，即为所求图形． 【小问2详解】 解：，，， ∴连接， ∴，，， ∴，，，且，，， ∴，，，符合题意， ∴即为所求图形． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换，掌握对称的性质，位似的作图方法，位似的性质是解题的关键． 21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【答案】（1）长15米，宽10米； （2）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得： ， 整理得：， ∴， ∵方程没有实数根， ∴不能否达到200m2． 【解析】 【分析】（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，根据根的情况判断即可； 【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴养鸡场的长15米，宽10米； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在， 假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0 设方程的两根为 ．则 ∴ 即，且 解得 又∵ ∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）用含k的式子表示出方程的两个实数根的倒数和等于0，计算出k的值，再结合题意进行判断即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得且 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，两根之和，两根之积是解题的关键． 23. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 24. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【解析】 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）直接写出关于不等式：的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意，得到，再由，得到，解得即可得到答案； （2）根据题意，先求出，利用待定系数法确定直线关系式，再由直线与轴交于点，代值求解即可得到； （3）解不等式，用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， 当时，，即， ， 直线与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，， ，解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：直线与反比例函数交于点， ，即， ，解得， 直线的表达式为， 直线与轴交于点， 当时，，解得，即； 【小问3详解】 解：求关于不等式的解集，由（1）（2）可知反比例函数的表达式为，直线的表达式为， 解不等式用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的的取值范围， 联立，解得或，即、， 数形结合，得到的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质是解决问题的关键． 26. 如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：； （3）若，，且，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （）先证明，，可得，则，从而可得结论； （）根据题意先画图，过点作于点，求解，结合，可得，，证明，在中，，再利用勾股定理可得答案； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期期初作业验收测试 初四数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相垂直 C. 每条对角线平分一组对角 D. 四边相等 2. 下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象是中心对称图形 D. 当时，随的增大而增大 5. 某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（ ） A. 10支 B. 6支 C. 5支 D. 4支 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 7 D. 7. 元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( ) A. B. C. D. 8. 某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线－运动，到点B停止．过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的函数图象，如图2所示．当点P运动5秒时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则的值为______． 12. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，分别为，的中点，若，则的长为___________． 14. 如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为_____． 15. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 16. 如图，在正方形的边的延长线上取一点，使，连接交于，则的度数为______． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为_________． 18. 若点C是线段的黄金分割点，则等于__． 三、解答题 19. 解下列一元二次方程： （1） （2） 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是个单位长度． （1）请画出关于轴对称的点的对应点分别为，，； （2）请以原点为位似中心，在第四象限内画一个，使它与的相似比为． 21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 23. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数交于点，，过作轴于，连接、，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）直接写出关于不等式：的解集为______． 26. 如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：； （3）若，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $