湖北武汉市汉铁高级中学2026-2027学年上学期高三9月模拟考数学试卷

**基本信息** 高三数学月考卷，19题150分，以天坛圜丘坛、羽毛球比赛等真实情境为载体，融合创新概念（如“分割函数”），梯度覆盖数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、双曲线等|第6题结合天坛文化考查等差数列，第8题以函数图像与等边三角形融合考查数形结合| |填空题|3题15分|向量投影、圆的切线、幂函数|第13题开放设问圆的公切线，培养发散思维| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何、椭圆、概率、创新函数|第18题羽毛球比赛概率考查条件概率与分类讨论，第19题“分割函数”创新定义，考查逻辑推理与数学表达|

高三数学试卷 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．若复数满足，则的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 3．已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由乙开始传，经过4次传递后，球又被传回给乙，则不同的传球方式共有（   ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 6．北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．函数的部分图像如图所示，是等边三角形，其中，两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 10．已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 11．已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 13．写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 14．设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点，幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 16．（15分） 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．（15分） 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的最大值. 18．（17分） 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. (2)设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小. 19．（17分） 三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． (1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； (3)设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A D D B AC ACD 题号 11 答案 ACD 7. 双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为， 由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离， 过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N， 则有， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图， 显然，当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为. 11．因为，，令得：. 令，，则，两边取倒数得：， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.所以. 对A：因为，所以，故A正确； 对B：因为， 所以，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：设，，则在上恒成立， 所以在上单调递减.又，所以当时，都有. 令，所以. 所以， 所以，故D正确. 12． 13．（或，） 14． 14.【详解】设函数（），将点代入，可得，即， 解得，即，所以，因为，所以函数在上为单调递增函数， 设（），将点代入，可得，即， 解得，即，所以，因为，所以函数在上为单调递增函数， 设，则， 因为，所以所以在上为单调递增函数， 又因为，所以不等式，即为，所以，所以的解集为. 15．(1)(2)，或， 【详解】（1）在中，，故 ，将已知等式变形： ，又 ， 代入得： ， 因，，故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，，化简得： ，又再代入余弦定理，得 ，整理得，解得或，对应代入，得或，故，或，. 16．(1)证明：取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且，则有、， 故四边形是平行四边形，故，又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则有， 即点到平面的距离为. 17．(1)(2) 【详解】（1）由题意得,解得,，， ∴椭圆的方程为 . （2）因为，所以设直线的方程为，，. 联立得得 ，又直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，∴ ∴， ∴ 故当，即直线过原点时，最大，最大值为. 18．(1)（i）；（ii） (2)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）（i）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为，若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局.所以乙获胜的概率为； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，若甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢；若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜”， ， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为. （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则.对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以，则.因此. 因为，可得，又， 所以.当时，可得，即； 当时，；当时，. 19．(1)是与在区间上的“分割函数”； 不是与在区间上的“分割函数”(2)(3) 【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在区间上的“分割函数”； 又因为，当与1时，其值分别为1和， 所以与在上都不恒成立，故不是与在区间上的“分割函数”. （2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立， 因为，当时，它的值为4， 可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图： 所以，可得， 所以对一切实数恒成立，可得且，即，又因为时，与为相同函数，不合题意，故所求的函数为. （3）关于函数，令，可得，当与时，， 当与时，， 可知是函数的极小值点，0是极大值点， 该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则由，可得， 所以 令，，（当且仅当时，）， 所以严格减，故的最大值为， 可知的最大值为，所以的最大值为. 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $