精品解析：湖北省武汉市九师联盟2027届高三年级上学期8月月考数学试卷

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，所以. 2. 设，其中是实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，因为，可得，解得， 所以，则. 故选：B. 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为，结合常数项求解即可． 【详解】根据题意二项展开式的通项公式为， 当，解得， 所以常数项为． 故选：D． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 由可得，故或，解得或， 因此由推不出，由也推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 5. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，结合表面积公式，可得圆锥底面半径r与球的半径R的关系，代入体积公式，整理变形，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， 由题意，圆锥的母线长为，高为， 则圆锥的表面积，球的表面积， 所以，解得， 则圆锥的体积，球的体积， 所以圆锥的体积与球的体积的比. 6. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小. 【详解】构造函数，由换底公式，， 所以， 再令，， 当时，，单调递增， 所以当时，，即在有， 所以在上单调递减， 又，， 由对数函数的单调性得，， 所以，所以. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列的性质可得，根据等比数列前项和公式计算可得，进而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ ） A. 该组数据的平均数为94 B. 该组数据的众数与中位数相同 C. 该组数据的极差为8 D. 该组数据的方差为4.44 【答案】BCD 【解析】 【详解】将数据从小到大排序：, 该组数据的平均数为，故A不正确； 该组数据的众数为，中位数为，故B正确； 该组数据的极差为，故C正确； 该组数据的方差为,故D正确 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和模长公式，即可求解AB，举反例即可求解CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，取，则，此时，，故C错误； 对于D，取，则，此时，故D错误， 故选：AB 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：由，两边求导可得答案； 选项B：由，得，从而证得是周期函数； 选项C：结合的奇偶性和周期性可判断； 选项D：结合的周期性即可求. 【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得： 即， 故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确; 选项B：由，替换为得： 故，则的周期为4， 替换为得：， 故可设 又由， 设, 故，由是奇函数，得 易得，替换为得： ， 故， 故的周期为4, 故选项B正确； 选项C：当时，， 令，则， 由选项B知，且是奇函数， 得， 故，则： ， 故选项C错误； 选项D：由周期为4，即，替换为得： 则，由选项B知， 故， 又， 故， 由，得，则： ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 13. 若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解. 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 14. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦及正弦函数的性质可知，从而得在上恰有3个实数根，可得，，由正弦函数的性质可知，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以函数在区间上恰有3个零点， 即在上恰有3个实数根， 所以，， 又， 所以在上恰有3个实数根， 所以， 解得， 即的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得， ，， 在中，由正弦定理得， 所以的面积为. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，解得即可求解； （2）设，联立得到，再根据，得到，再结合求出即可得到直线方程． 【小问1详解】 解：由题意，得的准线方程为， 因为直线与交于两点，所以的纵坐标为2， 又，所以，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 因为直线与交于两点，不妨设在第一象限， 所以， 由题意知直线的斜率存在且不为0，， 故可设直线，不妨设， 则由题意知， 联立，得， ， 因为， 所以， 又 ， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）因为为的中点，， 所以， 因为， 所以四边形是正方形， 所以， 因为平面平面， 所以， 因为平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面中，过点作的垂线为轴，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系． 则， 设平面的法向量为，， 有，取，得， 设直线与平面所成的角为，则. 【小问3详解】 在（2）的空间直角坐标系中，， 设平面的法向量为， 则取，得， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 有编号为的个相同大小的小球，，从中有放回地随机取次，每次取个球，记为这个球中未被取到的球的个数． （1）已知． （i）若，求的分布列； （ⅱ）若，求的概率； （2）若都是离散型随机变量，则．证明：． 【答案】（1）（i） 3 4 P （ⅱ） （2）从n个相同小球中有放回地随机取m次中，定义随机变量，其中表示第k个小球未被取到，表示第k个小球至少被取到1次，则服从两点分布， 所以. 由题意知， 又，所以， 所以，因为，所以： ， 故． 【解析】 【分析】（1）（i）有放回取2次共种情况，表示未被取到的球数，取值为3(取到2个不同球，概率)和4(取到同一个球，概率)，据此列出分布列； （ⅱ）推广到取次，表示未被取到的球数为3(即取到2个不同编号的球)，总情况数为，符合条件的情况数为，故概率为. （2）引入指示变量(表示第个小球是否未被取到)，则未被取到的总球数；由得；再对到求和，用等比数列求和公式计算，最终得. 【小问1详解】 （ⅰ）从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有种情况．的取值为3，4． 表示2次取球中未被取到的球的个数为3，即2次取球中取到2个不同编号的球， 表示2次取球中未被取到的球的个数为4，即2次取球中取到的是同一个编号的球， 所以，， 所以的分布列为 3 4 P （ii）表示m次取球中未被取到的球的个数为3个. 即次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取次，共有种情况，时有种情况. 所以的概率为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中是实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ ） A. 该组数据的平均数为94 B. 该组数据的众数与中位数相同 C. 该组数据的极差为8 D. 该组数据的方差为4.44 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 13. 若直线是曲线在处的切线，则______________． 14. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 有编号为的个相同大小的小球，，从中有放回地随机取次，每次取个球，记为这个球中未被取到的球的个数． （1）已知． （i）若，求的分布列； （ⅱ）若，求的概率； （2）若都是离散型随机变量，则．证明：． 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $