25.2.2公式法-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖标准形式、根的判别式、求根公式及解题步骤，通过配方法推导求根公式衔接旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于分层练习设计与易错点总结，结合中考题培养推理意识，分层训练提升运算能力。学生能巩固基础、突破难点，教师可借助系统资源高效教学，落实核心素养。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.2公式法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.2.2公式法专项练习 一、核心知识点梳理 公式法是解一元二次方程的通用万能解法，由配方法推导得出，无需复杂配方变形，适用于所有一元二次方程，也是中考解方程的核心常用方法。相较于直接开平方法和配方法，公式法步骤固定、容错率高，适合各类常规及复杂一元二次方程求解。 1. 一元二次方程标准形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，其中$$a$$为二次项系数，$$b$$为一次项系数，$$c$$为常数项，求解前必须先将方程化为标准形式，准确对应$$a、b、c$$的值。 2. 根的判别式：$$\Delta=b^2-4ac$$，用于提前判断方程实数根的情况。当$$\Delta>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程无实数根。 3. 求根公式：当$$\Delta\geq0$$时，一元二次方程的根为$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。公式由配方法推导而来，核心优势是直接代入数值计算，规避配方过程的繁琐步骤。 4. 标准解题步骤：先整理方程为标准形式，确定$$a、b、c$$的值；再计算判别式$$\Delta$$，判断根的存在情况；最后代入求根公式计算，化简得出方程的实数根。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 写出方程$$x^2-5x+6=0$$中$$a、b、c$$的值，并计算判别式$$\Delta$$。 2. 用公式法解方程：$$x^2+2x-3=0$$ 3. 用公式法解方程：$$x^2-6x+9=0$$ 4. 用公式法解方程：$$x^2+4=0$$ （二）能力提升题（共4题） 1. 用公式法解方程：$$2x^2+3x-2=0$$ 2. 用公式法解方程：$$3x^2-2x-1=0$$ 3. 用公式法解方程：$$x^2-3x-1=0$$ 4. 用公式法解方程：$$4x^2-4x+1=0$$ （三）拓展培优题（共2题） 1. 用公式法解方程：$$2x^2-7x+3=0$$ 2. 已知方程$$x^2+2kx+1=0$$有两个相等的实数根，求$$k$$的值。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 答案：$$a=1，b=-5，c=6$$，$$\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1$$。解析：对照一元二次方程标准形式，直接对应系数代入判别式公式计算即可。 2. 解析：$$a=1，b=2，c=-3$$，$$\Delta=4+12=16>0$$，方程有两个不等实数根。代入公式得$$x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}$$，解得$$x_1=1$$，$$x_2=-3$$。 3. 解析：$$a=1，b=-6，c=9$$，$$\Delta=36-36=0$$，方程有两个相等实数根。代入公式得$$x=\frac{6\pm0}{2}=3$$，即$$x_1=x_2=3$$。 4. 解析：整理得$$x^2+0x+4=0$$，$$a=1，b=0，c=4$$，$$\Delta=0-16=-16<0$$，故此方程无实数根。 （二）能力提升解析 1. 解析：$$a=2，b=3，c=-2$$，$$\Delta=9+16=25>0$$，$$x=\frac{-3\pm5}{4}$$，解得$$x_1=\frac{1}{2}$$，$$x_2=-2$$。 2. 解析：$$a=3，b=-2，c=-1$$，$$\Delta=4+12=16>0$$，$$x=\frac{2\pm4}{6}$$，解得$$x_1=1$$，$$x_2=-\frac{1}{3}$$。 3. 解析：$$a=1，b=-3，c=-1$$，$$\Delta=9+4=13>0$$，代入公式得$$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$$，即$$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$，$$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$。 4. 解析：$$a=4，b=-4，c=1$$，$$\Delta=16-16=0$$，$$x=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，故$$x_1=x_2=\frac{1}{2}$$。 （三）拓展培优解析 1. 解析：$$a=2，b=-7，c=3$$，$$\Delta=49-24=25>0$$，$$x=\frac{7\pm5}{4}$$，解得$$x_1=3$$，$$x_2=\frac{1}{2}$$。计算后可代入原方程验算，确保结果准确。 2. 解析：由题意可知方程$$\Delta=0$$，$$a=1，b=2k，c=1$$，则$$\Delta=(2k)^2-4\times1\times1=4k^2-4=0$$，化简得$$k^2=1$$，解得$$k=\pm1$$。本题考查判别式的逆向应用，是高频考点题型。 四、易错点总结 1. 未整理标准形式，看错$$a、b、c$$符号，尤其忽略$$b、c$$的负值，是最核心易错点；2. 计算判别式时，遗漏$$b$$的平方运算符号，或忘记$$4ac$$的负号；3. 代入公式时，忽略$$-b$$的符号，负数系数代入极易出错；4. $$\Delta<0$$时仍强行计算根，未判断无实数根；5. 含根式的结果未化简、约分不彻底，导致答案不规范。解题需先标准化、再判式、最后代公式，步步核对符号与数值。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过阅读课本学生可以由配方法推导求根公式，培养学生的推理能力. 结合使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力. 通过教师讲解让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 新知探究 知识点1 一元二次方程根的判别式 情境导入 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题. 移项，得 二次项系数化为 1，得 探究新知 配方，得 即 探究新知 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (1) 当 b2-4ac > 0 时， 由①得 方程有两个不相等的实数根 探究新知 ① 因为 ，所以 . 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (2) 当b2-4ac = 0 时， 由①可知，方程有两个相等的实数根. 探究新知 ① (3) 当 b2-4ac < 0 时， 由①得 而  取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根. 探究新知 可以发现，式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac. 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 探究新知 知识点1 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程 的根的判别式的值是( ) C A.33 B.23 C.17 D. 返回 举一反三 10 2.关于的方程 的根的判别式的值( ) A A.是正数 B.是负数 C.是0 D.无法确定 返回 举一反三 11 利用根的判别式判断下列方程的根的情况. (1) 2x2-3x-=0； (2) 16x2-24x+9=0. 所以方程有两个不相等的实数根. 解：（1）因为a=2，b=-3，c=- 所以Δ=b2-4ac =(-3)2-4×2×(﹣) =21>0. 解：（2）因为a=16，b=-24，c=9 所以Δ=b2-4ac =(-24)2-4×16×9 =0. 所以方程有两个相等的实数根. 例1 探究新知 知识点2 利用根的判别式判断根的情况 3.[扬州中考] 关于一元二次方程 的根的情况，下列结论 正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 返回 举一反三 13 4.下列方程中，无实数根的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 14 5.［教材习题 变式］不解方程，判断下列方程的根的情况： （1） ； 解：，， ， ， 方程有两个相等 的实数根. 举一反三 15 （2） ； 解：，， ， ， 方程有两个不相等 的实数根. 举一反三 16 （3） ； 解：整理方程得 ， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根. 举一反三 17 （4） . 解：整理方程得 ， ，， ， ， 方程无实数根. 返回 举一反三 18 利用根的判别式判断下列方程的根的情况. (1) x2-4x+9=0； (2) 3x2+10=2x2+8x. 所以方程无实数根. 解：（1）因为a=1，b=-4，c=9 所以Δ=b2-4ac =(-4)2-4×1×9 =-4 < 0. 解：（2）化简，移项得 x2-8x+10=0. 所以a=1，b=-8，c=10 所以Δ=b2-4ac =(-8)2-4×1×10 =24>0， 所以方程有两个不相等的实数根. 跟踪训练 探究新知 当Δ≥0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的实数根可写为 x 的形式， 这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 探究新知 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 探究新知 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 用公式法解一元二次方程的步骤 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(1)因为a=1，b=﹣4，c=-7， 所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0， 方程有两个不相等的实数根x===2. 即 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(2) 因为 ， 所以， 方程有两个相等的实数根 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(3) 方程化为 ，此时 ， 所以 = (-4)2-4×5×(-1) =36>0. 方程有两个不相等的实数根x===. 即 探究新知 用公式法解下列方程： (1) x²-4x-7=0； (2) 2x²-2x+1=0; (3) 5x²-3x=x+1； (4) x²+17=8x. 例2 解：(4) 方程化为 ， 此时a=1，b=-8，c=17， 所以 (-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程无实数根. 探究新知 知识点3 用公式法解一元二次方程 6.用公式法解方程时，，， 的值依次是( ) B A.0，， B.1，3， C.1，， D.1，， 返回 举一反三 27 7.下列一元二次方程中，根是 的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 28 8.用公式法解方程： . 解：方程化为一般形式，得_________________. ___，___， ____. ______0. 方程有______________实数根，为 _ ______， 即__， ____. 2 3 两个不相等的 返回 举一反三 29 公式法解一元二次方程 根的判别式 步骤 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac，求根公式 x （b2-4ac≥0） 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 . 二定：确定a,b,c的值，不要漏掉符号. 三算：计算 △=b2-4ac 确定方程根的情况. 四求： 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $