25.2.2 公式法 课件（内嵌视频）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的公式法展开，核心内容包括根的判别式推导、求根公式应用及解方程步骤。通过复习配方法步骤导入，以配方法为支架推导一般形式方程，衔接前后知识，构建完整知识脉络。 其亮点在于注重逻辑推理与实际应用，推导过程培养学生数学思维（推理能力），跨学科物理题及中考题体现数学语言（应用意识）。采用讲练结合与结构化小结，帮助学生掌握方法，教师可借助系统资源提升教学效率。

人教版 九年级数学上 25.2.2 公式法 25.2 降次——解一元二次方程 学习目标 1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程. 2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程． 复习回顾 说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 一移：将常数项移到方程的右边； 二化：二次项系数化为1； 三配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的 平方； 四开：利用平方根的意义直接开平方； 五解：解两个一元一次方程. 探索新知 用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：移项，得 ax2+bx = –c. 思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？ 探索新知 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： 方程有两个不相等的实数根 探索新知 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： 归纳总结 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 当△>0 时，方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时，方程有两个相等的实数根; 当△<0 时，方程无实数根. b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. 小试牛刀 一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况 x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根 2x2+3x+2=0 – 7 无实数根 4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根 3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根 探索新知 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式. 知识要点 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值； （2）求：求出 b2–4ac 的值； （3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根. （4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 视频学习 随堂练习 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ） A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0 B C 随堂练习 3.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 B 随堂练习 4. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是（　C　) C A. 33 B. 23 C. 17 D. 12 5. (2025·安徽中考)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　D　) A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0 C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0 D 随堂练习 6. (2025·北京中考)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　C　) C A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 7. (2025·新疆中考)若关于x的一元二次方程x2－2xa＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　B　) B 随堂练习 8. 用求根公式解方程2x2－3＝x时，a，b，c的值分别是(　B　) B A. a＝2，b＝1，c＝－3 B. a＝2，b＝－1，c＝－3 C. a＝2，b＝－1，c＝3 D. a＝2，b＝1，c＝3 9. (2025·内江中考)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　C　) A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1 C 随堂练习 10. 跨学科 物理 如图，小球悬浮于液体中(即F浮＝ G)，若F浮＝20N，小球的质量m＝(x2＋x)kg，g＝ 10N/kg，已知G＝mg，则x的值为(　C　) A. 1 B. 4 C. －2或1 D. －5或4 C 随堂练习 11. 分类讨论思想 (2026·上海宝山区月考)已知等腰 三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2 －5x＋k＝0的两根，则k的值为 ⁠. 随堂练习 12.用公式法解下列方程： 解：这里a＝2，b＝1，c＝－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17， (2)x2－3x＋3＝0； 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 随堂练习 13. 解方程： (1)3x2＋5(2x＋1)＝0； (2)x(2x－5)＝4x－5. 随堂练习 14. 已知 a，b，c为 △ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0 有两个相等的实数根，试判断 △ABC 的形状. 解：将原方程整理，得 3x2–2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0. 因为Δ=b2–4ac=[2(a+b+c)]2–4×3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc)–12(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2–ab–ac–bc) =2[(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(a2–2ac+c2)]=2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2] 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0， 即2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]=0. 所以a–b=0， b–c=0， a–c=0. 所以a=b=c. 故△ABC为等边三角形. 随堂练习 15.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0化为－3x 解：当m＝－1时， －2＝0， 此方程有实数根，不符合题意；当m≠－1时， ∵方程(m＋1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实 数根 随堂练习 16.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 当m＝3时， 方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0化为－12x—8=0 Δ＝4(m＋3)2＋4(m－3)(m＋5)＝8[(m＋2)2－7]， 随堂练习 17.(2026·上海杨浦区期中)如果关于x的方程(m＋ 1)x2＋(2m－1)x＋(m－1)＝0没有实数根，试判断关 于x的方程(m－3)x2－2(m＋3)x－(m＋5)＝0的根的 情况. 即Δ＞0，此时方程有两个不相等的实数根.综上可知， 当m＝3时，所求方程只有一个实数根； 所求方程有两个不相等的实数根. 课堂小结 公式法  定义   把各系数代入求根公式的解一元二次方程的方法  步骤   一化成一般形式，并写出 a，b，c 的值   二求出 b²‑4ac 的值   三代入求根公式 x=   四写出方程的解：，  应用   用判别式△=b²-4ac 判定一元二次方程根的情况 感谢观看 Lavf61.7.100 vid:v0200fg10000c85k1mbc77u0van11ac0 $上个视频我讲了怎么用配方法求解1元2次方程。比如方程2X方加2X减一等于0，你就可以用配方法先通过除以2，把X方的系数变成一，方程就变成了X方加X减2分之1等于0，再把-2分之1移到右边，这样就可以对左边进行配方了。还记得配方吧，就是加上X系数一半的平方，在这里就是加上2分之1的平方，这样左边就是X加2分之1的平方，右边就是2分之1加4分之1，也就是4分之3，接着你在两边开平方就可以求出答案了，具体的方程你已经能用配方法求解了，那如果是一个一般的方程，AX方加BX加C等于0，你又该如何配方呢？方法还是一样的，先把左右两边同时除以A让X方的系数变成一再把A分之C移到右边去，然后再进行配方，也就是方程两边同时加上X系数一半的平方G加上2A分之B的平方。理一下，左边就是X加2A分之B的平方，右边就是4A方分之B方减A分之C咱把右边通分一下，这项的上下都乘4A结果就是4A方分之B方减4AC到了这一步就剩最后的两边同时开方了。开方之后就有X加2A分之B等于正-2A分之根号B方减4AC于是X就等于2A分之负B加减根号B方减4 ac搞定。刚才得到的这个式子也叫做1元2次方程的求根公式。因为你只要知道了2次方程里ABC分别是几，能代入公式直接求解X比如这个方程2X方减3X减一等于0，A是X方的系数，所以A就是2。B是X的系数，所以B就是-3。C是常数项，所以C是负一把ABC代入求根公式，X等于2A也就是2乘2分之负B也就是负-3加减根号B方减4 ac也就是-3的平方减四倍的二乘负一。化简一下就是4分之3加减根号9加8，也就是十七。再把加减号拆开写，就得到了方程的两个根，4分之3加根号17和4分之3减根号17搞定。看来只要能把1元2次方程的ABC搞清楚，就能直接套公式计算。不过很多时候方程的ABC并不清楚，比如这个方程，如果你以为ABC就是231，那可就错大发了。因为这个方程并不符合AX方加BX加C等于零这种标准形式。在标准形式中，方程右边必须是零，而左边只能有一个二次项，一个一次项、一个常数项。但这个方程显然不能完全满足这个要求，所以你得变一变，先把右边的全挪到左边，让右边变成0，这样左边就变成了2X方加3X加一再减6X减2。接着把左边的合并，让左边只有一个二次项，一个一次项，一个常数项。二次项还是2X方，一次项则是3X减6X得-3X常数项是一减2得负一。这样方程就化简成了标准形式，其中的ABC分别是2-3-1。这方程不刚算过吗？那它的根就还是4分之3加根号17和4分之3减根号17。搞定以后，再遇到这种非标准形式的方程，你必须先把它化成标准形式才能找准ABC。以上就是用公式法求1元2次方程的主要内容。总的来说就两点。首先你必须牢记公式，对于1元2次方程AX方加BX加C等于零而言，方程的解X就等于2A分之负B加减根号B方减4AC其次你必须把方程变成AX方加BX加C等于零这种标准形式才能套用这个公式。在这种之中，右边必须是零，左边只有一个二次项，一个一次项，一个常数项。怎么样？明白了吗？如果明白了，就自个儿刷题试。