25.3 第2课时（整改后）平均变化率与传播问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦平均变化率与传播问题，通过侯课任务复习增长前、增长后及增长率关系，以4道基础题搭建新旧知识桥梁，为新课探究提供学习支架。 以探究式学习为主线，设置问题情境引导抽象数量关系建立方程模型，变式训练对比不同问题差异培养模型意识，当堂达标检验应用提升推理能力，助力学生发展数学眼光与思维。

平均变化率与传播问题 优教导学案 主备人：九年级数学组 时间：9.11 班级： 姓名： 一．侯课任务 1、写出“增长前、增长后、增长率”之间的关系： 2、某林场原有森林木材存量为a，木材每年以15%的增长率生长，则经过一年木材存量达到________，经过两年木材存量达到__________． 3、某商品原售价为a元，现连续两次降价10%，则第一次降价后该商品售价为 元，第二次降价后该商品售价为 元。 4、某企业2026年的利润为50万元，�如果以后每年的利润比上一年的年利润都增长p%，那么2027年的年利润将达到_______万元．2028年的年利润将达到_______万元． 二．新课探究 探究1：平均变化率问题 提出问题：为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率？ 分析问题：若设平均每次降价的百分率为x.则经过一次降价后的价格为__________.再经过一次降价后的价格为__________.由此我们可以列方程为_____________________. 解： 归纳总结： 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b， 则它们的数量关系可表示为：_____________________ 探究2：传播问题 提出问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示，第一轮后共有 个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，用代数式表示，第二轮后共有 个人患了流感. 根据等量关系“两轮传染后共有_______个人患了流感”列出方程______________________. 解： 追问1：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？ 追问2：按照这样的情形， 轮之后共有多少人感染流感？ 变式训练： 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 个小分。 2.有一种细胞，一个细胞经过两轮分裂后，共有121个细胞，求每轮分裂中一个细胞分裂成 个。 思考：通过上面三道题的学习，你能发现他们之间的区别和联系吗？请分享给大家。 三、当堂达标 1.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7 000 台？ 2.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 答案 一．侯课任务 1、写出 “增长前、增长后、增长率” 之间的关系： 增长后的量 = 增长前的量 ×(1 + 增长率) 2、某林场原有森林木材存量为，木材每年以 15% 的增长率生长，则经过一年木材存量达到，经过两年木材存量达到． 3、某商品原售价为元，现连续两次降价 10%，则第一次降价后该商品售价为元，第二次降价后该商品售价为元。 4、某企业 2026 年的利润为 50 万元，�如果以后每年的利润比上一年的年利润都增长，那么 2027 年的年利润将达到万元．2028 年的年利润将达到万元． 二．新课探究 探究 1：平均变化率问题 提出问题：为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元。求平均每次降价的百分率？ 分析问题：若设平均每次降价的百分率为. 则经过一次降价后的价格为. 再经过一次降价后的价格为. 由此我们可以列方程为. 解： ，得 ，得（降价百分率不能大于 1，舍去） 答：平均每次降价的百分率为。 归纳总结： 若平均增长 (或降低) 百分率为，增长 (或降低) 前的量是, 增长 (或降低)次后的量是， 则它们的数量关系可表示为：（增长取，降低取） 探究 2：传播问题 提出问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析 设每轮传染中平均一个人传染了个人。 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感。 根据等量关系 “两轮传染后共有个人患了流感” 列出方程。 解： ， ，（传染人数不能为负数，舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了个人。 追问 1：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？ 解：三轮后： 答：三轮之后共有人感染流感。 追问 2：按照这样的情形，轮之后共有多少人感染流感？ 答：轮之后共有人感染流感。 变式训练： 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出 个小分支。 解析：设每个支干长出个小分支，，解得（舍去） 2. 有一种细胞，一个细胞经过两轮分裂后，共有 121 个细胞，求每轮分裂中一个细胞分裂成 个。 解析：设每轮一个分裂成个，，（负根舍去） 思考：通过上面三道题的学习，你能发现他们之间的区别和联系吗？请分享给大家。 · 联系：都可以用一元二次方程解决，都是数量成倍增多的问题。 · 区别： ①流感传播：传染源不会消失，每一轮所有患者都继续传染别人，公式：； ②植物分支：主干→支干→小分支，总数 = 主干 + 支干 + 小分支，方程：； ③细胞分裂：1 个直接分裂，旧细胞变成新细胞，公式：。 三、当堂达标 1. 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7 000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑。 4 轮后总台数： ，会超过 7000 台。 答：每轮平均一台电脑感染台；4 轮后被感染电脑会超过 7000 台。 2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设平均每月增长率为。 二月营业额： 三月营业额： ，（增长率为负舍去） 答：月平均增长率为。 学科网（北京）股份有限公司 $